线性代数--同济大学PPT课件

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§3 n 阶行列式的定义
观察二、三阶行列式，得出下面结论：
1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性
所确定。
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定义1： n! 项
(1)ta1p1a2p2 ann p的和
( 1 )ta 1p 1a 2p 2 a nnp
t = t1 + t2 + … + tn
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例4：求排列 32514 的逆序数。
解： t10, t21, t30, t43, t51 排 列 的t逆 5序 数
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逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
a n1 a n 2 a nn
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例1：写出四阶行列式中含有因子
a1 1a2 3a3 4a4 2
a11a23a32a44
a11a 23 的项。
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例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h
于是
x1D 1b b1 2
a12, a22
x2D 1a a1 21 1
b1 b2
其中D a11 a12 a21 a22
2Fra Baidu bibliotek21
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称 a1a 122a1a 22为 1 二阶行列式，记作
(1,2) 元素 a 11 a 12 a 21 a 22
行标 列标
也称为方程组的系数行列式。
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对角线法则:
a a a
n1
n2
nn
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(3) 对角行列式
a11
D
a 22
a1a 122 ann
a nn
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(4) 副对角行列式
a1n
D
a2,n1
n(n1)
(1) 2
aa a 1n 2,n1
n1
an1
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行列式的等价定义
a 11 a 12 a 1 n
( 1 )aa a a a a
当 a1a 122 a1a 221 0时，方程组有唯一解
x1a b 1 1a a 1 2 2 2 2a a 1 1b a 2 2 2 2,1x2a a 11 a 1 b 2 1 2 2 b a 1 1 a a 2 2211
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记
a11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
则有
b1a22 a1b 22b b1 2 a a1 22 2 ,a1b 12b1a21 a a1 21 1b b1 2.
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
称 a1a 12a 233 a1a 22a 33 1a1a 32a 132 a1a 32a 23 1a1a 22a 13 3 a1a 12a 33 2
为三阶行列式, 记作
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
2(4)30(1)(1)118 1(4)(1)0132(1)8
24 84164
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§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6
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例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6
21
22
2n
t 1 j1 2j2
n nj
a n 1 a n 2 a nn
( 1 )ta i1 1 a i22 a in n
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§5 行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
设
D
a 21
a 22
a2n
则
DT
a12
a22
an2
a n1 a n 2 a nn
一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!
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标准次序：标号由小到大的排列。
定义2：
在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
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一个排列的逆序数的计算方法：
设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为
D = acfh + bdeg – adeh – bcfg
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重要结论： (1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a 22
a2n
aa a 1122 nn
0 0 ann
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(2) 下三角形行列式
a11 0
D
a 21
a 22
0
0
a1a 122 ann
线性代数（第五版）
2015.10.14
修改人：XFSU
第一章 行列式
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§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
(1) (2)
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用消元法
(1)a22(2)a12 得
(a1a 12a22x1a11a 2a221 )2 xx1 2 b b12a22a1b 22
主对角线
a 11 a 12 a 21 a 22
副对角线
a11a22a12a21
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例. 解方程组
32x1x1 2xx22
12 1
解：
D3
2 3(4)70
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 142, D7
x2
D2 213 D7
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2. 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
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对角线法则：
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a1 1a2 2a3 3a1 2a2 3a3 1a1 3a2 1a3 2 a1 1a2 3a3 2a1 2a2 1a3 3a1 3a2 2a3 1
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例：
201 1 4 1 1 8 3
a1n a2n ann
称 DT 为 D 的转置行列式。
D 经过“行列互换”变为 DT
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性质1：行列式与它的转置行列式相等。