线性代数(同济六版)知识点总结

3.矩阵之间等价关系的性质： ①反身性： ②对称性：若
4.行阶梯形矩阵：
，则 ③传递性：若
， ，则
1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 2）每个台阶只有一行； 3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素. 行最简形矩阵： 4）非零行的首非零元为 1; 5）首非零元所在的列的其它元素都为零. 5.初等矩阵：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）
或 使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多 0 的行（列），从该行选取一个非 0 元素 aij，并将该行其他元素
通过性质化为 0，则 D=aijAij 9.利用 Cramer 法则求解 n 个 n 元线性方程组：
①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于 0，则无解
其中 (j=1,2…n)是把系数行列式中的第 j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的 n 阶行列式 即： ②对于齐次线性方程组，如果系数行列式 D≠0，则该方程组只有零解，若 D=0，则存在非零解。
性质 2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 P1,P2,…,Pl，使 A=P1P2…,Pl．
推论：方阵 A 可逆的充要条件是
r
A~ E
如果 r ，则存在可逆矩阵 P，使 PA=B。?
r：即当 A 变换成 B 是时，E 变为 P（求 P）
求方阵 A 的逆矩阵方法总结：
方法 1：①判断 A 可不可逆：若
b=l1a1+l2a2+…+lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示． 向量 b 能由向量组 A 的线性表示?R(A)=R(A,b)?方程组 x1a1+x2a2+…+xmam=b 有解 5.设有向量组 A：a1,a2,…,am 及 B：b1,b2,…,bl，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价． 两个向量组等价?R(A)=R(B)=R(A,B) 6.向量组 B 能由向量组 A 线性表示?存在矩阵 K，使 B=AK?矩阵方程 AX=B 有解
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如
第 j 列的 k 倍加到第 i 列上：
5.伴随矩阵：其中 是 的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）
A11 A21
An1
6.逆矩A阵：B对为于A A的n1阶逆2 方矩阵阵A，A22，记如为果有 n。A阶且n方2A阵的B逆，注矩使阵意得的是：第A唯B元=j一B素A行的=E第。，的则i代列称数（A 余可类逆子似，式于转置是）位于
注意：一般情况下：AB≠BA。但是满足结合律和分配律。
EA=AE=A
4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：
显然：
Ak Al Akl , (Ak )l Akl
( AB)k Ak Bk
( A B)2 A2 2AB B2
A、B 可交换时才成立
( A B)( A B) A2 B2
3.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作 AT.
如：
性质： 1 2 2 设 A 为An(3阶)方(阵4，A如)T5果满8足AT,;
1 4
A(，4T即) ( AB22)T ，58则BTA;A为T对. 称阵
如果满足
，即
，则 A 为反对称阵
4.方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或 detA.
性质：①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。
第三章
1.初等行变换：（运算符号： ）----注意与行列式的运算加以区分
①互换两行，记做 ②第 i 行乘以非 0 常数 k，记做
③第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记做
2.若矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记做
的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ=B
代数余子式：记 Aij=(?1)i+jMij 为元素 aij 的代数余子式。 ②重要性质，定理
1）第 i 行各元素的余子式，代数余子式与第 i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，
即 推论：：D行列 式ai某1 A一i1行（a列i2）Ai2的元素与另一a行in（Ai列n ）或的对D应元a素1j的A1代j 数 余a2子j A式2j乘积之和等于a零nj A.即nj
个
2.矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于 0。
常用：
1）对于 n 阶方阵 A，R(A)=n(称 A 满秩)?
?A 可逆
2）若 ，则 R(A)=R(B) 3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
第二章
1.矩阵相关的概念：
矩阵：由 m×n 个数 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。
行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵 A=B：矩阵 A 和矩阵 B 为同型矩阵，且对应的元素相等。 零矩阵：所有元素为 0 的矩阵，记为 O，不同型的零矩阵是不相等的。
每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）
1）加法：要求矩阵 A 和 B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)
2）分块矩阵 A 的转置 ：除了 A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
8.分块对角矩阵：
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 2.向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 3.给定向量组 A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数 k1,k2,…,km，表达式
k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 A 的一个线性组合。k1,k2,…,km 称为这个线性组合的系数． 4.给定向量组 A：a1,a2,…,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,…,lm，使得
7.重要性质：利用行列式的性质
或
，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算 n 阶
行列式的值。（P11 页例 7） 8.行列式按行（列）展开法则（***重要***） ①重要概念：
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去,剩下的(n?1)2 个元素按原来的排法构 成的 n?1 阶行列式叫做 aij 的余子式，记为 Mij
A1
设 A 是 n 阶矩阵，若： ①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块， ②其余子块都为零矩阵
Awk.baidu.com
A2
③对角线上的子块都是方阵
As
则称 A 为分块对角矩阵。 性质：①|A|=|A1||A2|…|As|
②若|As|≠0，则|A|≠0，并且
分块副对角矩阵：
A11
A1
A21
As1
A=O 的充分必要条件：
a1n
a2n
amn
① ()A ( A) ，② ( )A A A ， ③ (A B) A B
3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；
乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；
即：乘积矩阵的第 i 行，第 j 列元素为前一个矩阵的第 i 行元素与后一个矩阵的第 j 行元素对应相乘再相加。
判断方阵 A 是否A可1n逆：A2≠n 0 A 可逆A，nn且逆矩性阵 质：
推论：若 ≠0，则
。此时称 A 为非奇异矩阵。若
二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 A=
单位矩阵 E 是可逆的
。零矩阵是不可逆的。
，则称 A 为奇异矩阵。 ----->
对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。
1 . 二 阶 行 列 a式 -a - a- - - - - - 对 角 线 法 则 :
11
12
13
2.三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则
aaa
21
22
23
aaa
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a a a a 33
11 22 33
12 23 31
对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
4. a a a
11
12
13
(1) a a a 21
22
23
a a a t ( j1j2j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
a a a 3 1
23
33
其中： t(
是 1,2,3 的一个排列， )是排列 的逆序数
5对 6..行角列下 ① ②行式三 互行列的角 换列式λ性行 行式：1 质列 列与λ：式 式它2 的:的两转aaa行置12n111（行列列aa2n式）22λ，相1λ行.等2.列...（.式.a转变0λn置nn号：。副行推a对1变论1a角列2：2行.，两.列列行.式a变（n：n行列））。副相D三λ=同角2的跟λ行副1列对式角(值相1为识)n零(n2。1)λ 互1λ换2两行：λn ③行列式的某一行（λ列n ）中的所有元素都乘以同一个λ数nk，等于用数 k 乘此行列式。第 i 行乘 k： xk
：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，B 就变成了所求的
二、矩阵的秩
1.k 阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
8）R(AB)≤min{R(A),R(B)}
3.线性方程组的解
n 元非齐次线性方程组
---P75 页例 13P79 页 17 题
1）无解? 2）有解? n 元齐次线性方程组
①有唯一解?
有非零②解有?R无(A限)解<n?
第四章
一、向量组及线性组合 1.n 维向量：n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组。这 n 个数称为该向量的 n 个分量，
推论：如果 n 阶方阵 A、B 可逆，那么 、 、λA(λ≠0)、AB 也可逆
用逆矩阵且求：解线(性A方程1组)：1 A,
( AT )1 ( A1 )T ,
（5）
已知
，若 AB 可逆，则
（A 在 X 左边，则 必须在 C 左边，B 也如此）
7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；
对角矩阵：对角线元素为 1, 2 , , n ，其余元素为 0 的方阵单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵，
2.矩阵的运算
1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律
2）数与矩阵相乘
a11 a12
A
A
a21
a22
am1
am1
求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵
4）
5）若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)(∵
)
即：可逆矩阵与任何矩阵 A 相乘，都不会改变所乘矩阵 A 的秩
6）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
当 B=b 为非零列向量时，R(A)≤R(A,B)≤R(A)+１
7）R(A+B)≤R(A)+R(B)
13 21 32
11 23 32
12 21 33
13 22 31
3.全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， =n！
逆序数：对于排列 … ，如果排在元素 前面，且比 大的元素个数有 个，则 这个元素的逆序数为 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即
1）单位矩阵对换 i，j 行，记作
2）以常数 k≠0 乘单位矩阵第 i 行（列），记作
3）以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行，记作
性质 1：左行右列
设 A 是一个 m×n 矩阵，
对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
?A 可逆---书中 P41 页
②
：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号
方法 2：本身蕴含了判断 A 可不可逆的条件，即 r ?A 可逆---书中 P64 页例 2 r ：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当 A 变成 E 时，E 就变成了所求的
求
：该方法r 用来求方程组
?
---若
，可先化为
方法：