第六章 平面向量及其应用 章末总结

章末总结

素养一 数学运算

例1 (1)如图所示,在△ABC 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AP 的中点为Q,BQ 的中点为R,CR 的中点为P,则AP

⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A.1

2a +1

2b

B.13a +2

3b

C.2

7a +4

7b D.4

7a +2

7b

(2)已知c =m a +n b ,c =(-2√3,2),a ⊥c ,b 与c 的夹角为2

3π,b ·c =-4,|a |=2√2,求实数m,n 的值及a 与b 的夹角θ.

答案 (1)C

解析 (1)连接BP,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +PR ⃗⃗⃗⃗⃗ ,① AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +RP ⃗⃗⃗⃗⃗ -RB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,② 由①+②,得2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b -RB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,③ 又RB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12

(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

=12(a -1

2 AP

⃗⃗⃗⃗⃗ ),④ 将④代入③,得2AP

⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b -12(a -12 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴AP

⃗⃗⃗⃗⃗ =2

7

a +4

7b . (2)因为c =(-2√3,2),所以|c |=4. 因为a ⊥c ,所以a ·c =0.

因为b ·c =|b ||c |cos 2

3π=|b |×4×(-1

2)=-4, 所以|b |=2.

因为c =m a +n b ,所以c 2=m a ·c +n b ·c , 所以16=n×(-4),所以n=-4.

在c =m a +n b 两边同乘a ,得0=8m-4a ·b ,① 在c =m a +n b 两边同乘b ,得m a ·b =12,② 由①②,得m=±√6,所以a ·b =±2√6, 所以cos θ=√62

√2×2

=±√3

2.

所以θ=π

6或θ=5

6π. 素养探究:

1.向量线性运算的注意点:

(1)向量的加、减、数乘结果仍是一个向量.

(2)向量加法运算,要注意向量的首尾相连,利用三角形法则进行运算;向量减法运算,要注意向量的起点相同,差向量应是两个向量终点的连线,指向被减向量.

(3)所求向量用已知向量表示时,通常把待求向量放在三角形或平行四边形中,结合三角形法则或平行四边形法则求解.

2.数量积的运算途径:

(1)垂直:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ x 1x 2+y 1y 2=0.

(2)夹角:①求|a |,|b |,a ·b .②求cos θ=a ·b

|a||b|(夹角公式).③结合θ的范围[0,π]确定θ的大小.

(3)模长:①若a =(x,y),则|a |2

=x 2

+y 2

或|a |=√x 2+y 2.

②平方法:|a |2=a 2=a ·a ,|a ±b |2=a 2±2a ·b +b 2. 3.向量的坐标运算:

(1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法的具体体现.

(2)通过坐标运算可以求向量的坐标、向量的模、夹角,判断共线、平行、垂直等问题.

1-1 (2020江苏南通高一期末)已知向量m =(2,1),n =(0,1),p =(3,4),若λ∈R ,(m +λn )∥p ,则λ=( )

A.3

5

B.-35

C.5

3

D.-5

3

答案 C ∵向量m =(2,1),n =(0,1),∴m +λn =(2,λ+1), 又∵p =(3,4),且(m +λn )∥p ,∴3(λ+1)=2×4,解得λ=5

3.

1-2 如图,在平行四边形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 的中点,DE 交AF 于点H,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b ,则AH

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .

答案 2

5a +4

5b

解析 设AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为F 为CD 的中点,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12

(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),

所以AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ

2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2

AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC

⃗⃗⃗⃗⃗ , AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )

=(1-μ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-μ2

)BC

⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以λ2=μ,λ=1-μ2,解得μ=25,λ=4

5.

因此AH

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25a +4

5

b . 1-3 已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a +b |和|a -b |;

(3)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,作△ABC,求△ABC 的面积. 解析 (1)由(2a -3b )·(2a +b )=61, 得4|a |2-4a ·b -3|b |2=61.①

∵|a |=4,|b |=3,代入①式,得a ·b =-6, ∴cos θ=a ·b

|a||b|=-6

4×3=-1

2. 又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.

(2)由(1)知,a ·b =-6,则|a +b |2=(a +b )2=|a |2+2a ·b +|b |2=42+2×(-6)+32=13, ∴|a +b |=√13.

同理,|a -b |=√a 2-2a ·b +b 2=√37. (3)由(1)知,∠BAC=θ=120°, |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a |=4,|AC

⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b |=3, ∴S △ABC =12×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin ∠BAC=12×3×4×sin 120°=3√3.

素养二 直观想象

例2 (1)(2020宁夏银川一中月考)已知正方形ABCD 的边长为2,M 为正方形ABCD 内一点(包含边界),则(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC

⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A.-11

B.-12

C.-13

D.-14

(2)如图所示,P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,四边形PECF 是矩形,求证:PA=EF.

答案 (1)B