2013高校自主招生数学仿真模拟试题及答案1

数学模拟试题(第一套)
一、选择题
1.在ABC ∆中， 120=∠C ，12=+b a ，C ∠的角平分线为CD ，则CD 的最大值为(
)
A. 12+
B. 12-
C. 13+
D. 13-
2.正四棱锥ABCD P -底面边长和侧面棱长均为10，PC 上一点Q ，2=CQ ，则从A 沿正四棱锥表面到Q 的最短路径长位于区间（ ）内.
A. )13,12(
B. )14,13(
C. )15,14(
D. )16,15(
3.设0>a ,复数5)(i a +的虚部为-4，则其实部为( )
A. 4
B. -4
C. 1
D.-1
4.在ABC ∆中,c b a 4=+，则B A cos cos +的最大值为( )
A. 61
B. 31
C. 21
D. 32
5.长为4的线段AB 的两个端点在抛物线x x y +=2上，则其中点P 到x 轴的最短距离为( )
A. 2
B.
2
3 C. 1 D.
2
1
6.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有三分之一到A 景点，三分之一到B 景点，其余三分之一留在原地，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）
A. 1:1:1
B. 3:2:1
C. 2:2:1
D. 3:2:2 7.半径为1的圆内接正八边形，其中内三角形的最大面积为（ ） A. 2 B. 1 C.
22
1+ D.
2
3
8.一块豆腐一刀切成2块，2刀4块，那么连续5刀最多切成( )块 A. 25 B. 27 C. 30 D. 32
9.一个封闭的圆台状容器，壁厚忽略不计，里面装有水，正立时水面高占容器高1/4，在瓶壁齐水面处做个记号，倒立时水面仍齐刚才的记号.则圆台下底与上底半径之比为（ ）
A.
5
6
692- B.
31
11
692- C.
5
6
692+ D.
5
11
692+
10.设σ是坐标平面按逆时针方向绕原点做角度为
5
2π的旋转，τ表示坐标平面关于直线
x y =的反射.用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用k
σ表示连续k 次σ的变换，则
=τστστσσ3
57（ ）
A. στ
B. τσ
C.τσ2
D. 2τσ
二、解答题
11.正四面体ABCD 的棱长为4，BD 的中点为P ，CD 上一点E ，1=CE .求点P 到平面
ABE 的距离.
12.数列{}n a 满足k k k a a a 2312+=++，n S 为前n 项之和. (1)若k k k a a b -=+1，求证: {}n b 为等比数列，并求公比q ； (2)若31=a ，且n n S S ∞
→=lim 存在，求1b 及S .
13.在锐角ABC ∆中，c b a 32=+，求角C 的最大值.
14.已知a ，b ，c 为正数，求证:c b a b
c
a
b
c
a
++≥+
+
2
2
2
15.在ABC ∆中，22=++c b a ，求三角形面积的最大值.
答 案
1.选择题
1. ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+，
C ab C a C
D C b CD sin 2
12
sin
2
12
sin
2
1=
⋅+
⋅，
b
a a
b C b
a a
b CD +=
+=
2cos
2.
令
t b
b b b
a a
b =--=
+122
，则0)1(22
=++-t b t b .
因为2
10<<b ，12
10<+<
t ，11<<-t ，08)3(8)1(2
2≥--=-+=∆t t t ，2
23+≥t （舍去）或223-≤t ，即223-≤CD ，12-≤CD . 答案：B
2. 有两种可能最短的路径：①绕过底面，路径长为3201849)310(2
2+=
++；②
绕过侧面，路径长为244)35()2510(2
2
=+-+.相比，前者较短，位于)15,14(之间.
答案 C
3. i a a a a a i a )1105()510()(24355+-++-=+.由4110524-=+-a a ，得
01224=+-a a ，12=a ，1=a ，则实部45103
5-=+-a a a .答案： B
4. 利用正弦定理：将边的关系转化为角的关系，)sin(4sin 4sin sin B A C B A +==+，
2
cos
2
sin
42
cos
2sin
B A B A B A B A ++=-+，2
cos
42
cos
B A B A +=-.两边同乘以
2cos
2B
A -，得)c o s (c o s 4)c o s (1
B A B A +=-+，而1)c o s (≤-B A ，2
1cos cos ≤+B A .
答案： C
5. 抛物线方程可换为4
12
-
=x y ，准线为2
1-
=y ，要使点P 到x 轴的距离最短，就是A ，
B 到准线的距离之和最短，所以AB 经过焦点A ，B 到准线的距离之和为4，点P 到准线的
距离为2，到x 轴的距离为2
3. 答案: B
6. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则
3
z x =
,3
z x y +
=,3
z y z +
=,所以3:2:1::=z y x . 答案： B
7. 证明面积最大时，顶点在正八边形的边上.当其中两个顶点固定时，第三个顶点在正八边形的顶点时面积较大，从而三角形的三个顶点都在正八边形的顶点上.连接外接圆的圆心到三角形的三个顶点，得到三个圆心角分别为 90， 135， 135，从而面积为
2
12135sin 2
1135sin 2
190sin 2
1+=
+
+
， 答案： C
8. 3刀8块，4刀15块，5刀27块. 答案： C
9. 由已知水的体积占容器体积的一半.将容器侧面延长，上方得到一个圆锥，设下底半径比上底半径长x 倍.(上方圆锥体积)+(以下底为底的圆锥体积)= 2(以水面为底的圆锥体积)，而三个圆锥的高之比为)1(:)4
31(:1x x ++
，所以3
3
3
)4
31(2)1(1x x +
=++，
0)48125(2
=--x x x ，
5
6
692+=x ，所以圆台下底与上底半径之比为5
11
6921+=
+x
答案： D
10. 解法一:把一个向量),(y x =α，经过τστστσσ357变换后进行检验即知. 答案： B
解法二:⋅⋅⋅====3
32
2τσ
στσ
σστστ，且15
=σ
，
所以σττσστστσστσσστστστσσ===4
2
2
3
3
4
3
5
7
))()((. 答案： B 解法三:τστσστσσστσττσστστστσσ====10
3
7
3
7
3
5
7
. 答案： B
B. 解答题
11. 先求D 到面ABE 的距离，取AB 的中点F ，考虑CDF ∆，32==DF CF ，
3
1cos =∠CDF ，3
2sin =∠CDF .连接EF .由余弦定理，得DE EF ==3.作
EF DH ⊥，易证DH 为点D 到面ABE 的距离，CDF DF DFE DF DH ∠=∠⋅=sin sin
22=.取BE 的中点Q ，连接PQ ，则DE PQ //，DE PQ 2
1
=，所以点P 到面ABE 的
距离为点D 到面ABE 的距离的一半，为2.
12. （1）由k k k a a a 2312+=++转化为k k k k a a a a 22)(3112+-=-+++，
)(3
2112k k k k a a a a --
=-+++，即k k b b 3
21-
=+.
故{}n b 为等比数列，公比3
2-
=q .
（2）q
q
b a b b a a n
n n --+=+⋅⋅⋅++=+111
1111，1115
331lim b q
b a a n n +
=-+
=∞
→，而n n S ∞
→l
i m 存在，05
33lim 1=+
=∞
→b a n n ，则51-=b .
1lim +∞
→=n n S S
)]()([lim 11111n n b b a b a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++=∞
→
)]2()1[(lim 21n n n nb b b a n +⋅⋅⋅++-+=∞
→
)2(lim 21n n nb b b +⋅⋅⋅++-=∞
→
)21(lim 51
-∞
→+⋅⋅⋅++=n n nq
q
设)1|(|1)(3
2<-=⋅⋅⋅++=x x
x x x x x f .
由2
')
1(1)(x x f -=，得25
9)
1(1)(2
'=
-=
q q f .故5
9)(5'
=
=q f S .
十三、设t C =cos ，将它与a c b 23-=一起代入0cos 2222=--+c C ab b a ，得
08)126()54(22=++-+c ac t a t ，
由0)54(84)126(2
≥+⋅-+=∆t t ，得9
2
102-≥t 或
9
2
102+-
≤t （舍去），所以C ∠的最大值9
2
102arccos
-.
十四、利用柯西不等式，得 2
22
2
2
2
2
2
)()(
))((
c b a b b
c
a a
b
c c
a
c b a b
c
a
b
c
a
++=⋅+
⋅+
⋅≥+++
+
，
则c b a b
c
a
b
c
a
++≥+
+
2
2
2
十五、首先证明当ABC S ∆取最大值时，b a =.假设b a ≠，找一点D ，使得
2
b a BD AD +=
=.考虑以A ，B 为焦点，长轴长为b a +的椭圆，可知ABD ∆的高大于
ABC ∆的高，所以ABC ABD S S ∆∆>，即ABC S ∆未取到最大值.当b a =时，1=+c a ，取AB 的
中点D ，则ADC ∆为直角三角形，22
22
)2()1(2
)2(2
2c c c c a c DC AD S S ADC ABC --=
-=
⋅==∆∆2
3
4
4834
1c
c c +-=
令234483c c c y +-=，则08241223'=+-=c c c y ，02632
=+-c c ，3
11+
=c （舍
去）或3
11-，此时3326
13
2)
3
11(4
14834
2
-=
-
⨯=
+-=
∆c c c S ABC .。