2013高校自主招生数学仿真模拟试题及答案1

数学模拟试题(第一套)

一、选择题

1.在ABC ∆中， 120=∠C ，12=+b a ，C ∠的角平分线为CD ，则CD 的最大值为(

)

A. 12+

B. 12-

C. 13+

D. 13-

2.正四棱锥ABCD P -底面边长和侧面棱长均为10，PC 上一点Q ，2=CQ ，则从A 沿正四棱锥表面到Q 的最短路径长位于区间（ ）内.

A. )13,12(

B. )14,13(

C. )15,14(

D. )16,15(

3.设0>a ,复数5)(i a +的虚部为-4，则其实部为( )

A. 4

B. -4

C. 1

D.-1

4.在ABC ∆中,c b a 4=+，则B A cos cos +的最大值为( )

A. 61

B. 31

C. 21

D. 32

5.长为4的线段AB 的两个端点在抛物线x x y +=2上，则其中点P 到x 轴的最短距离为( )

A. 2

B.

2

3 C. 1 D.

2

1

6.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有三分之一到A 景点，三分之一到B 景点，其余三分之一留在原地，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）

A. 1:1:1

B. 3:2:1

C. 2:2:1

D. 3:2:2 7.半径为1的圆内接正八边形，其中内三角形的最大面积为（ ） A. 2 B. 1 C.

22

1+ D.

2

3

8.一块豆腐一刀切成2块，2刀4块，那么连续5刀最多切成( )块 A. 25 B. 27 C. 30 D. 32

9.一个封闭的圆台状容器，壁厚忽略不计，里面装有水，正立时水面高占容器高1/4，在瓶壁齐水面处做个记号，倒立时水面仍齐刚才的记号.则圆台下底与上底半径之比为（ ）

A.

5

6

692- B.

31

11

692- C.

5

6

692+ D.

5

11

692+

10.设σ是坐标平面按逆时针方向绕原点做角度为

5

2π的旋转，τ表示坐标平面关于直线

x y =的反射.用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用k

σ表示连续k 次σ的变换，则

=τστστσσ3

57（ ）

A. στ

B. τσ

C.τσ2

D. 2τσ

二、解答题

11.正四面体ABCD 的棱长为4，BD 的中点为P ，CD 上一点E ，1=CE .求点P 到平面

ABE 的距离.

12.数列{}n a 满足k k k a a a 2312+=++，n S 为前n 项之和. (1)若k k k a a b -=+1，求证: {}n b 为等比数列，并求公比q ； (2)若31=a ，且n n S S ∞

→=lim 存在，求1b 及S .

13.在锐角ABC ∆中，c b a 32=+，求角C 的最大值.

14.已知a ，b ，c 为正数，求证:c b a b

c

a

b

c

a

++≥+

+

2

2

2

15.在ABC ∆中，22=++c b a ，求三角形面积的最大值.

答 案

1.选择题

1. ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+，

C ab C a C

D C b CD sin 2

12

sin

2

12

sin

2

1=

⋅+

⋅，

b

a a

b C b

a a

b CD +=

+=

2cos

2.

令

t b

b b b

a a

b =--=

+122

，则0)1(22

=++-t b t b .

因为2

10<

10<+<

t ，11<<-t ，08)3(8)1(2

2≥--=-+=∆t t t ，2

23+≥t （舍去）或223-≤t ，即223-≤CD ，12-≤CD . 答案：B

2. 有两种可能最短的路径：①绕过底面，路径长为3201849)310(2

2+=

++；②

绕过侧面，路径长为244)35()2510(2

2

=+-+.相比，前者较短，位于)15,14(之间.

答案 C

3. i a a a a a i a )1105()510()(24355+-++-=+.由4110524-=+-a a ，得

01224=+-a a ，12=a ，1=a ，则实部45103

5-=+-a a a .答案： B

4. 利用正弦定理：将边的关系转化为角的关系，)sin(4sin 4sin sin B A C B A +==+，

2

cos

2

sin

42

cos

2sin

B A B A B A B A ++=-+，2

cos

42

cos

B A B A +=-.两边同乘以

2cos

2B

A -，得)c o s (c o s 4)c o s (1

B A B A +=-+，而1)c o s (≤-B A ，2

1cos cos ≤+B A .

答案： C

5. 抛物线方程可换为4

12

-

=x y ，准线为2

1-

=y ，要使点P 到x 轴的距离最短，就是A ，

B 到准线的距离之和最短，所以AB 经过焦点A ，B 到准线的距离之和为4，点P 到准线的

距离为2，到x 轴的距离为2

3. 答案: B

6. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则