立体几何证明方法总结及经典3例

∴ PA⊥ BC ．
∵ AD ∩ PA= A， ∴BC ⊥平面 PAC ． 4 、证明：取 AB 的中点 Ｆ，连结 CF ， DF ．
∵ AC BC ， ∴ CF AB ．
∵ AD BD ，（等腰三角形三线合一）
∴ DF AB ． 又 CF DF F ， ∴ AB 平面 CDF ． ∵ CD 平面 CDF ， ∴ CD AB ． 又 CD BE ， BE AB B ， ∴ CD 平面 ABE ， CD AH ． ∵ AH CD ， AH BE ， CD BE E ， ∴ AH 平面 BCD ．
∴ AF// 平面 PEC
3 、证明：在平面 PAC 内作 AD ⊥ PC 交 PC 于 D ．
∵平面 PAC⊥平面 PBC ，且两平面交
于 PC， AD 平面 PAC，且 AD ⊥ PC，
∴ AD ⊥平面 PBC ．
又∵ BC 平面 PBC ，
∴ AD ⊥ BC ．
∵ PA⊥平面 ABC ， BC 平面 ABC ，
∴ PQ ∥面 BCE.
证法二：
如图 (2) ，连结 AQ 并延长交 BC 或 BC 的延长线于点 K ，连结 EK.
∵ AD ∥ BC,
DQ AQ
∴
.
QB QK
又∵正方形 ABCD 与正方形 ABEF 有公共边 AB ，且 AP=DQ ，
AQ AP
∴
.则 PQ ∥EK.
QK PE
∴ EK 面 BCE ， PQ 面 BCE.
A 是 P1 D 的中点，沿 AB 把平面 P 1AB 折起到平面 PAB 的位置（如图（ 2）），使二面角 P— CD — B 成 45 °，设 E 、 F 分别是线段 AB 、 PD 的中点 . 求证： AF// 平面 PEC ；
垂直题目
3 、如图 2 ， P 是△ ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC ，平面 PAC ⊥平面 PBC ．
∴ PQ ∥面 BCE.
例2 ：垂直类证明
【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、
90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、
线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示， ABCD 为正方形， SA⊥平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB， SC， SD 于 E， F， G ． 求证： AE SB， AG SD ．
求证： BC ⊥平面 PAC ．
4 、如图 2 ，在三棱锥 Ａ－ BCD 中， BC ＝ AC ， AD ＝ BD ，作 BE ⊥ CD ， Ｅ 为垂足，作 AH ⊥ BE 于 Ｈ． 求证： AH ⊥平面 BCD
向量法解立体几何题目
5 、在三棱柱 ABC － A1B 1 C1 中， AB ⊥侧面 BB 1C1C， E 为棱 CC1 上异于 C、 C1 的一点， EA
5 、以 B 为原点，分别以 BB 1、BA 所在直线为 y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面 AB 1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．
由于 BC ＝ 1， BB 1＝ 2， AB ＝ 2 ，∠ BCC 1＝ ， 3
∴在三棱柱 ABC － A1B 1C1 中，有 B （０，０，０）、 A（０，０，
简解：（ 1 ）略； （2 ）由题设知， ABCD 是正方形，且 AC⊥ BD ．由（ 1）， PQ⊥平面 ABCD ，故可分别以直
线 CA， DB， QP 为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系（如图 1 ），易得
AQ ( 2 2，0， 2)，PB (0，2 2， 2) ， cos AQ，PB
2 ）、 B 1（０， 2 ，
０）、 c
3 ， 1，0 、 C1
3 ，3 ，0 ．设 E
3 ， a，0 且
1
a
3
，
22
22
2
2
2
由 EA ⊥ EB 1，得 EA EB1 0 ，
即
3 ， a， 2
2
3 ，2 a，0 2
3 a(a 2) a2 2a 3 0 ，∴ a 1
3 a
0，
4
4
2
2
即a
1或a
3
（舍去）．故
⊥EB 1．已知 AB
的正切值．
2 ， BB 1＝ 2 ， BC ＝ 1 ，∠ BCC 1＝ ．求二面角 A－ EB 1－ A1 的平面角 3
立体几何证明经典习题答案
1 、证明：如图，连结 AC 交 BD 于点 O.
∵ ABCD 是平行四边形，
∴ AO= OC. 连结 OQ ，则 OQ 在平面 BDQ 内，
AQ PB 1
．
AQ PB 3
所求异面直线所成的角是
arccos1 ． 3
（3 ）由（ 2 ）知，点 D (0， 2 2，0，) AD ( 2 2， 2 2，0)，PQ (0，0， 4) 设 n =（ x ，y ，z）是平
n AQ 0， 2x z 0，
面 QAD 的一个法向量， 则
得
取 x ＝ 1 ，得 n = (1，1， 2) ．点 P
n AD 0， x y 0，
到平面 QAD 的距离 d
PQ n 2 2．
n
立体几何证明经典习题 平行题目 1 、 P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点 ,Q 是 PA 的中点 .
求证： PC ∥面 BDQ.
2 、如图（ 1 ），在直角梯形 P1DCB 中， P1D//BC ，CD ⊥ P1 D ，且 P1 D=8 ，BC=4 ，DC=4 6 ，
x1 y1 z1
2
2
2
x 2 y2 z2
夹角公式：
cos
n1 n2 .
| n1 | | n 2 |
距离公式：
| AB n | d | CD |
|n|
【例】已知两个正四棱锥 P－ ABCD 与 Q－ ABCD 的高都为 2， AB ＝ 4 ． （1 ）证明： PQ⊥平面 ABCD ；
（2 ）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； （3 ）求点 P 到面 QAD 的距离．
若 a (x1, y1, z1), b ( x2 , y2 , z2 ) ，则
① a b x1x2 y1 y2 z1z2 ；
②| a |
2
2
2
x1 y1 z1 ,| b |
2
2
2
x2 y 2 z2 ；
③ a b x1x2 y1 y2 z1 z2
Байду номын сангаас④ cos a,b
x1x2 y1 y2 z1 z2
2
2
2
证明：∵ SA 平面 ABCD ， ∴ SA BC ． ∵ AB BC ，
∴ BC 平面 SAB ． 又∵ AE 平面 SAB ， ∴ BC AE ．
∵ SC 平面 AEFG ，
∴ SC AE ． ∴ AE 平面 SBC ． ∴ AE SB ． 同理证 AG SD ．
例3 ：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式
面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。 【例】正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB ，在 AE 、BD 上各有一点 P 、Q，且 AP=DQ. 求证： PQ ∥面 BCE.
证法一：
如图（ 1），作 PM ∥ AB 交 BE 于 M ，
作 QN ∥ AB 交 BC 于 N, 连接 MN,
因为面 ABCD ∩面 ABEF=AB,
则 AE=DB.
又∵ AP=DQ,
∴ PE=QB.
又∵ PM ∥ AB ∥ QN,
∴ PM AB PM
∴ AB
PE QN ,
AE DC QN
. DC
BQ .
BD
∴ PM ∥ QN.
四边形 PMNQ 为平行四边形 .
∴ PQ ∥ MN.
又∵ MN 面 BCE ， PQ 面 BCE ，
立体几何证明方法总结及典例 例1 ：平行类证明 【平行类证明方法总结】 线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱 柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 线面平行的证明方法：
面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等 面面平行的证明方法：
E
3 ，1 ，0 ．
2
2
22
由已知有 EA EB1 ，B1A1 EB1 ，故二面角 A－ EB 1－ A 1 的平面角 的大小为向量 B1A1
与 EA 的夹角．
因 B1 A1 BA (0，0， 2) ， EA
故 cos
EA B1A1 EA B1A1
2 ，即 tan
3
31 ， ，2
22
2 2
且 OQ是△ APC 的中位线，
∴ PC ∥ OQ.
∵ PC 在平面 BDQ 外，
∴ PC ∥平面 BDQ.
2、证明：如图，设 PC 中点为 G ，连结 FG ，
则 FG//CD//AE
1
，且 FG= CD=AE ，
2
∴四边形 AEGF 是平行四边形
∴ AF//EG ，
又∵ AF 平面 PEC ， EG 平面 PEC ，