第四章分层随机抽样
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第四章 分层随机抽样
4.1 概述
4.1.1分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样(stratified random sampling)：
分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总体，子总体的
大小分别为N1、 N2、… NL，皆已知，且 L
Nh N
h 1
每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样，这样的抽样方 法称为分层抽样。 分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都是简单随机抽 样，则这样的分层抽样称为分层随机抽样。
4.1.2分层抽样的适用场合： （1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层
参数。 （2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分
来分层。 （3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表
性。 （4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部
比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以 提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把 它们分离出来形成一层。
209650
(2)Yˆ的方差V (Yˆ)的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h 1
Nh2
•
1
f nh
h
sh
2
5.39 108
s(Yˆ) v(Yˆ) 23208
（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为
Yˆ
u1 2
s(Yˆ ), Yˆ
u1 2
s(Yˆ )
164162，255138
即“层间方差大，层内方差小”。
4.2 简单估计量及其性质
对总体均值或总值的估计：
设总体分为L层，以h表示层的编号，h 1，2，，L
总体第h层
Nh
Yh Yhi
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1
1 Nh
Yh
Nh
Yhi
i 1
S
2 h
1 Nh 1
Nh
（Yhi
i 1
Yh）2
第h层样本
nh
yh yhi
i 1
1 nh
yh nh i1 yhi
L WhYˆh
h1
方差V（Yˆst） L Wh2V (Yˆh ) h1
分层随机抽样, 则Yˆh的简单估计为yh
1.Y的无偏简单估计Yˆst为：yst L WhYˆh L Wh yh ,Yˆst记为yst
h1
h1
Y 的置信度为1 的置信区间为：
yst
u1 s( yst ), 2
yst
解： yst W1 y1 W2 y2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为ph，则
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
•
Nh Nh 1
PhQh
解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722 s22 2166.667 s32 8205.556 s42 193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h 1
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
u1 2
s
(
y
st
)
2.总体总和Y的估计：
Yˆ
L
Yˆh
L
NhYˆh L
Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
h1
L h1
N h 2V（yh）
L h1
Nh2
1 fh nh
Sh2
例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
4627
42
45岁以上
5366
50
总计
35050
320
试估计总体中会计算机者占的比例。
样本中会使 用计算机的
人数
24 12
22
11
4
解：
5
(1) pst Wh ph 0.2286
h1
(2)v( pst )
5
Wh2 (1
h1
fh)
ph (1 ph ) nh 1
0.000534
(3)P置信度为95%的置信区间为：
10
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 23456789
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
Ph
Qh
(当N
很大时）
h
(4)P的置信度为1 的置信区间为：
pst
u 1
s
(
pst
),
2
pst
u 1
2
s(
pst
)
例：在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用计算机者所占 的比例。数据如下：
层
人数
入样人数
30岁以下
7781
71
30~35岁
7497
68
36~40岁
9779
89
41~45岁
pst
u1 2
v(
pst
),
pst
u 1
2
18.33%,27.39%
v( pst )
4.3 各层样本量的分配
在分层随机抽样中，假设样本量n固定
Yˆ的方差：
V ( yst )
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L Wh2Sh2 L WhSh2
n h1
h
h1 N
考虑简单线性费用函数，则总费用为：
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
PhQh
(当N
很大时）
h
估计的性质
（1） pst的性质：
L
P的简单估计为pst Wh ph h1
且是pst的无偏估计。
（2）
L
pst的方差V（pst） Wh2V（ph） h 1
L
Wh 2
h 1
•1 fh nh
•
Nh Nh
1
PhQh
L
Wh 2
h 1
•1 fh nh
例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户， 调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为 2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。
sh2
1 nh 1
nh
（yhi
i 1
yh）2
一、分层抽样中
若对任一层，假设为第h层，都有Yˆh NYˆh，
L
Y Yh
h1
(1)Yˆ L Yˆh L NhYˆh
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
L
N h 2V（Yˆh）
h1
h1
L
(2)Yˆst
Yˆh
h1
N
L h1
Nh N
Yˆh
4.1 概述
4.1.1分层抽样（stratified sampling)、分层随机抽样(stratified random sampling)：
分层抽样：将容量为N的总体分成L个不相重叠的子总体，子总体的
大小分别为N1、 N2、… NL，皆已知，且 L
Nh N
h 1
每个子总体就称为层。从每层中独立地进行抽样，这样的抽样方 法称为分层抽样。 分层随机抽样：在分层抽样中，如果每层中的抽样都是简单随机抽 样，则这样的分层抽样称为分层随机抽样。
4.1.2分层抽样的适用场合： （1）不仅需要估计总体参数，也需要估计各层
参数。 （2）便于管理，按现成的地理分布或行政划分
来分层。 （3）希望样本中能包含各个部分，以增加代表
性。 （4）把一个内部差异很大的总体分成几个内部
比较相似的子总体（层）进行分层抽样，可以 提高估计量的精度。如果有极端值，也可以把 它们分离出来形成一层。
209650
(2)Yˆ的方差V (Yˆ)的估计：
v(Yˆ )
v(Nyst )
L h 1
Nh2
•
1
f nh
h
sh
2
5.39 108
s(Yˆ) v(Yˆ) 23208
（3）该地区居民奶制品年消费总支出的置信度为95%的置信区间为
Yˆ
u1 2
s(Yˆ ), Yˆ
u1 2
s(Yˆ )
164162，255138
即“层间方差大，层内方差小”。
4.2 简单估计量及其性质
对总体均值或总值的估计：
设总体分为L层，以h表示层的编号，h 1，2，，L
总体第h层
Nh
Yh Yhi
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1
1 Nh
Yh
Nh
Yhi
i 1
S
2 h
1 Nh 1
Nh
（Yhi
i 1
Yh）2
第h层样本
nh
yh yhi
i 1
1 nh
yh nh i1 yhi
L WhYˆh
h1
方差V（Yˆst） L Wh2V (Yˆh ) h1
分层随机抽样, 则Yˆh的简单估计为yh
1.Y的无偏简单估计Yˆst为：yst L WhYˆh L Wh yh ,Yˆst记为yst
h1
h1
Y 的置信度为1 的置信区间为：
yst
u1 s( yst ), 2
yst
解： yst W1 y1 W2 y2
23560 15180 148420 9856 10585.39
171980
171980
3、分层随机抽样中，总体比例P的简单估计 设Ph的简单估计为ph，则
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
•
Nh Nh 1
PhQh
解：
y1 39.5
各层样本均值及方差为：y2 105 y3 165
y4 24
s12 1624.722 s22 2166.667 s32 8205.556 s42 193.333
L
(1)Yˆ Nh yh h 1
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
u1 2
s
(
y
st
)
2.总体总和Y的估计：
Yˆ
L
Yˆh
L
NhYˆh L
Nh yh
h1
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
h1
L h1
N h 2V（yh）
L h1
Nh2
1 fh nh
Sh2
例4.２：调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元， 根据经济及收入水平将居民户分为４层，每层按简单随机抽样抽 取１０户，调查数据如下，估计该地区居民奶制品年消费总支出 及估计的标准差。表：样本户奶制品年消费支出
4627
42
45岁以上
5366
50
总计
35050
320
试估计总体中会计算机者占的比例。
样本中会使 用计算机的
人数
24 12
22
11
4
解：
5
(1) pst Wh ph 0.2286
h1
(2)v( pst )
5
Wh2 (1
h1
fh)
ph (1 ph ) nh 1
0.000534
(3)P置信度为95%的置信区间为：
10
层 居民
户总 数
1
样本户奶制品年消费支出 23456789
1 200 10 40 0 110 15 10 40 80 90 0 2 400 50 130 60 80 100 55 160 85 160 170 3 750 180 260 110 0 140 60 200 180 300 220 4 1500 50 35 15 0 20 30 25 10 30 25
Ph
Qh
(当N
很大时）
h
(4)P的置信度为1 的置信区间为：
pst
u 1
s
(
pst
),
2
pst
u 1
2
s(
pst
)
例：在某行业技术人员中，按年龄分层，调查会使用计算机者所占 的比例。数据如下：
层
人数
入样人数
30岁以下
7781
71
30~35岁
7497
68
36~40岁
9779
89
41~45岁
pst
u1 2
v(
pst
),
pst
u 1
2
18.33%,27.39%
v( pst )
4.3 各层样本量的分配
在分层随机抽样中，假设样本量n固定
Yˆ的方差：
V ( yst )
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
Sh2
L Wh2Sh2 L WhSh2
n h1
h
h1 N
考虑简单线性费用函数，则总费用为：
L
Wh 2
h1
•1 fh nh
PhQh
(当N
很大时）
h
估计的性质
（1） pst的性质：
L
P的简单估计为pst Wh ph h1
且是pst的无偏估计。
（2）
L
pst的方差V（pst） Wh2V（ph） h 1
L
Wh 2
h 1
•1 fh nh
•
Nh Nh
1
PhQh
L
Wh 2
h 1
•1 fh nh
例4.3：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居 民两部分抽样，在全部城镇居民23560户中随机抽取 300户，在全部农村居民148420户中随机抽取250户， 调查结果是城镇年平均户收入为15180元，标准差为 2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为 2546元。求全市年平均户收入的置信度为90%的置信 区间。
sh2
1 nh 1
nh
（yhi
i 1
yh）2
一、分层抽样中
若对任一层，假设为第h层，都有Yˆh NYˆh，
L
Y Yh
h1
(1)Yˆ L Yˆh L NhYˆh
h1
h1
方差V（Yˆ）
L
V（Yˆh）
L
N h 2V（Yˆh）
h1
h1
L
(2)Yˆst
Yˆh
h1
N
L h1
Nh N
Yˆh