【小高数学知识点】抽屉原理

抽屉原理
一、知识结构图
抽屉原理
二、方法讲解
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。

它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决。

1、抽屉原理
将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

例如：有5个苹果放进4个抽屉，那么一定有一个抽屉至少放了 个苹果；
将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

例如：如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

如果把97个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

如果把98个苹果放入8个抽屉，那么一定会有抽屉至少放了_______个苹果。

2、最不利原则
这是一种从反面思考问题的思想，也是抽屉原理中非常重要的思考方法，就是从最不利的方向出发分析问题。

例如：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。

问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
解析：
（1）如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，答案是 ，这是从最有利原则考虑的，这是最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同，而不是“保证至少有4个小球颜色相同”。

（2）为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。

如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。

“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 个红球、 个黄球和 个蓝球，此时三种颜色的球都是 个，却无 个球同色。

这样摸出的 个球是“最不利”的情形。

这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。

所以回答应是最少摸出 个球。

由此看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。

如果问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。

现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。

三、例题精讲
例题1、教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业。

试说明：这 5 名学生中，至少有两个人在做同一科作业．
答案：苹果：5 名同学，抽屉：4 个科目
5÷4=1 (1)
1+1=2（个）
根据抽屉原理，这 5 人至少有两个在做同一课业。

练习1、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿、老虎的毛绒玩具，每个小朋友任意选择两件不同的玩具，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
答案：四个玩具中选择两个，共有3+2+1=6种不同的搭配。

苹果：7名小朋友，抽屉：6个搭配
7÷6=1 (1)
1+1=2（个）
根据抽屉原理，这7人至少有两个选择的玩具相同。

例2、班上有40名小朋友，老师拿了一些书，随意分给小朋友。

问多少本书，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于3本书？
答案：至少需要书：40×2+1=81本书
练习2、一个班级，想要保证至少4个人出生的月份相同，至少有几个人？
答案：至少需要有：3×12+1=37人
例3、把125 本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4 本书，那么，这个班最多有多少人？
答案：答案：125÷（4-1）=41人···2个
所以如果有41名学生，则可以保证每人分3个苹果，还余2个，则可再分给两个学生，就能保证有人分到至少4本书。

练习3、100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于 12 个.
答案：100÷（12-1）=9人···1个
所以如果有9名学生，则可以保证每人分11个苹果，还余1个，则再分给一个学生，就能保证一个学生获得的苹果不少于12个。

例4、一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能够保证：
（1）至少有5张牌的花色相同；
（2）四种花色的牌都有；
（3）至少有3张牌是红桃。

答案：54张扑克牌分为：大小鬼、4种花色每种13张。

（1）最不利情况为：2+4×4=18张
18+1=19张
（2）最不利情况为：2+3×13=41张
41+1=42张
（3）最不利情况为：2+3×13+2=43张
43+1=44张
练习4、将1只白袜子，2只黑袜子，3只红袜子，8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里，请问：
（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？
（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）
答案：（1）要保证摸出颜色相同的两双袜子，即某种颜色需要4只
最不利情况为，摸出：1+2+3+3+3=12只
所以要保证，需要摸出12+1=13只
（2）要保证颜色不同的两双袜子，
最不利情况为：1+1+1+1+9=13只（绿色全部摸出，其他颜色各1只）
所以要保证，需要摸出13+1=14只
例5、：一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错或者不答扣1分问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
答案：按这种记分方法，最高可得10×3+10=40（分），最低是倒扣10分后得0分。

但是由于每错或不答一题少得：1+3=4分，所以最高分是40分，第二高分是：40-4=36分，之后依次类推为32、28···4、0，共11种不同的分数。

为了保证至少有4人得分相同，那么参加考试的学生至少有：11×3+1=34（人）．
练习5、老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得2分，没有做得1分，做错的0分。

老师说：“可以肯定全班同学中至少有6名同学各题的得分都相同。

”那么，同学们请算算这个班至少有多少个人？
答案：一个学生两道题的得分共有（2、2）（2、1）（2、0）（1、2）（1、1）（1、0）（0、2）（0、1）（0、0）9种情况，相当于9个抽屉。

要保证一个抽屉中有6个苹果（学生），至少有5×9+1=46个苹果（学生）
例6、说明：在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。

答案：一个数除以3的余数有0、1、2两种，可以理解为3个抽屉
4个数相当于4个苹果，放入3个抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中有两个苹果。

则这两个数相减，结果能被3整除。

练习6、证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数．
答案：一个数除以7的余数有0-6七种，可以理解为7个抽屉
8个数相当于8个苹果，放入7个抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中有两个苹果。

则这两个数相减，结果能被7整除。

四、课后作业
1、某公司有32名同事是在5月份出生的，能否找到两人的生日是同一天？
答案：5月有31天，相当于31个抽屉，32名同事相当于32个苹果。

32÷31=1 (1)
1+1=2
所以有两人的生日是同一天。

2、班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于3本书？
答案：至少需要书：28×2+1=57本书
3、某次选拔考试，共有523名同学参加，小明说：“至少有 10 名同学来自同一个学校．”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？
答案：523÷（10-1）=58个··1名
所以如果有58所学校，则可以每所学校有9人，还剩1人，则再分给一所学校，就能保证有10名学生来自同一所学校。

4、如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各10根。

在黑暗中取出一些筷子，如果两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子
（1）为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？
（2）为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？
答案：（1）要保证摸出颜色相同的两双筷子，即某种颜色需要4根
最不利情况为，摸出：3+3+3+3+3=15根
所以要保证，需要摸出15+1=16根
（2）要保证颜色不同的两双筷子，
最不利情况为：1+1+1+1+10=14只（某种颜色全部摸出，其他颜色各1根）
所以要保证，需要摸出14+1=15根
5、一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．
答案：10道题全部答对，满分为50分；全部不答或打错，最低分为0分。

所以得分情况共有50、45、40···5、0，共有11种不同的分数。

因此，至少有11×2+1=23人，才能保证3人得分相同。

6、任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是9的倍数？为什么？
答案：一个自然数除以9的余数共有0-8九种情况
所以取9+1=10个数就能保证。