建筑制图第二章

上一页 下一页 返回
第三节

直线的投影



比较图2-21和图2-22，所得的线段实长是一样的。不过， 以水平投影ab为直角边的直角三角形反映线段对H面的倾角 α，以正面投影a′b′为直角边的直角三角形反映线段对V面的 倾角β。 由此可以归纳出用直角三角形法求线段实长和倾角的方法是： 以线段在某一投影面上的投影为底边，两端点与这个投影面 的距离差为高，形成的直角三角形的斜边是线段的实长，斜 边与底边的夹角就是该线段对这个投影面的倾角。 例5 如图2-23（a）所示，已知线段AB的投影ab和a′， AB对H面的倾角α=30º ，试求AB的正面投影。 作图步骤如图2-23（b）所示： 1）过点a作一条与ab成30 º 的直线，与过点b所作ab的垂 线交于点B1，得一直角三角形，其直角边b B1为点A、点B 的Z坐标差ΔZAB； 2）根据点的投影规律和ΔZAB，作出b′、b1′，连接a′b′、 a′b1′。本题有两解。

上一页 下一页 返回
第二节

点的投影



例3 如图2-16（a）所示，已知点A的三个投影，另一点B 在点A的下方5mm，左方8mm，前方6mm，求点B的三 面投影。 作图步骤如图2-16（b）所示： 1）在a′左方8mm，下方5mm 处确定b′； 2）作b′b⊥OX轴，且在a前方6mm处确定b； 3）按投影关系求得b″。 2．重影点 若空间两点在某个投影面上的投影重合，这两点称为对该投 影面的重影点。显然，重影点有两个同面坐标相等。根据不 等的那个坐标来判断重影点的可见性，即坐标值大的可见， 小的不可见。当点的投影不可见时，要将投影加括号。如图 2-17所示，点M、N对H面重影，水平投影为m(n)；点E、 F对V面重影，正面投影为e′(f′)。
上一页 下一页 返回
第二节

点的投影




2）根据X、Y坐标，确定水平投影a； 3）过a作aaYH⊥OYH轴，以点O为圆心，OaYH为半径 作圆弧，交OYW轴于ayw； 4）过ayw作OYW轴的垂线，与a′az的延长线相交，交点 即为侧面投影a″。 四、特殊点的投影 如图2-14所示，空间一点的三个坐标为特殊值（零）时， 会出现以下情况： 1．投影面上的点 点的三个坐标有一个为零时，该点必在某个投影面上。投影 面上的点在该投影面上的投影与此点重合，另两面投影分别 落在相应的投影轴上。如图2-14所示，点A在V面上，点B 在H面上。注意：b″是在OYW轴上，而不能画在OYH轴上。
下一页 返回
第二节

点的投影
通常选用三个相互垂直的投影面，构成三投影面体系，如图 2-9所示。其中H面为水平投影面，V面为正面投影面，W 面为侧面投影面。三投影面之交线构成投影轴，分别用OX、 OY、OZ表示。三投影轴交于原点O。


二、点的投影
如图2-10（a）所示，点A的三面投影就是过点A分别向三 个投影面所做垂线的垂足a、a′、a″，分别称为点A的水平 投影、正面投影和侧面投影。
由此可见，点的投影和点的坐标之间存在如下关系： ⑴ V面投影反映点的X、Z坐标； ⑵ H面投影反映点的X、Y坐标； ⑶ W面投影反映点的Y、Z坐标。 综上所述，可以得出点的三面投影规律如下： ⑴ 点的正面投影和水平投影都反映X坐标，且投影连线垂直 于OX轴，即aa′⊥OX; ⑵ 点的正面投影和侧面投影都反映Z坐标，且投影连线垂直 于OZ轴，即aa″⊥OZ; ⑶ 点的水平投影和侧面投影都反映Y坐标，其投影连线分为 三段，其中两段分别垂直于OYH轴和OYW轴，中间一段为 圆弧，也可将前两段延长交汇于过点O的45º 辅助线上。

上一页 下一页 返回
第一节

投影法的基本知识
正投影法：投射方向S与投影面H垂直的平行投影法，如 图2-2a所示。 斜投影法：投射方向S与投影面H倾斜的平行投影法，如 图2-2b所示。 平行投影法所得到的物体投影大小不会因物体与投影面之 间距离的变化而变化，度量性好，作图简便。工程技术上 多采用正投影法绘制图样，为了叙述方便，如不特殊说明， 投影一般均指正投影。
上一页 下一页 返回
第三节

直线的投影
投影面垂直线投影特性小结：


⑴ 在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。
⑵ 另外两个投影分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。 3. 一般位置直线


与三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。
如图2-19所示，一般位置直线的投影特性是： ⑴ 三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，且小于实长。

2）正垂线的水平投影垂直于OX轴，所以作bf⊥OX轴，且 bf=12mm；

3）再根据点的投影规律，求出W面投影f″，连接b″f″。
上一页 下一页 返回
第三节


直线的投影
三、一般位置直线段的实长及其对投影面 的倾角
一般位置直线段的三个投影均不反映实长，也不反映对投影 面的倾角。但在工程上，经常会遇到求一般位置直线段的实 长和倾角问题，通常采用的方法有直角三角形法、换面法和 旋转法。本小节仅介绍前一种，后两种在第三章介绍。 如图2-21（a）所示，过线段AB的点B作BC∥H面，则得 直角三角形ABC。直角边BC=ab，AC=ΔZAB,即等于点A、 点B的Z坐标差，斜边就是空间线段AB实长，∠ABC为线段 AB对H面的倾角α。

题和学习机械制图起着极其重要的指导作用。
上一页
返回
第二节

点的投影
点是最基本的几何元素，一切形体都可看成是点的集合。因 此首先研究点的投影规律。


一、投影面体系与投影轴
如图2-8所示，用正投影法将空间点A投射到投影面H上，将 得到唯一的一个投影点a与之对应。反之，如果已知一点在H 面上的投影为b,却不能确定该点的空间位置。所以，点的一 个投影不能唯一确定空间点的位置。为此，需要增加新的投 影面，用多面正投影来确定空间点的位置。

下一页 返回
第三节

直线的投影





1. 投影面平行线 平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投 影面平行线。投影面平行线又分为三种：水平线（∥H面）、 正平线（∥V面）和侧平线（∥W面），投影特性见表2-1。 投影面平行线投影特性小结： ⑴ 在所平行的投影面上的投影反映实长，并与投影轴倾斜， 夹角反映直线对另两个投影面的真实倾角。 ⑵ 另外两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。 2. 投影面垂直线 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线称为投影 面垂直线。投影面垂直线又分为三种：铅垂线（⊥H面）、 正垂线（⊥V面）和侧垂线（⊥W面），投影特性见表2-2。
上一页 下一页 返回
第二节

点的投影

2．投影轴上的点 点的三个坐标有两个为零时，该点必在投影轴上。投影轴 上的点在包含这条轴的两个投影面上的投影均与该点重合， 第三面投影则落在原点O上。如图2-14所示，点C 在 OX轴上。


五、两点的相对位置和重影点
1．两点的相对位置 两点的相对位置指空间两点的上下、前后、左右位置关系， 可以根据它们的投影或坐标值来判断。X坐标大的点在左， Y坐标大的点在前，Z坐标大的点在上。 如图2-15所示，点A在点B的右、前、上的位置，而点B 在点A的左、后、下的位置。


三、点的坐标及点的投影规律
如图2-11（a）所示，若将三投影面体系看作笛卡儿直角坐 标系，则投影轴、投影面、点O分别相当于坐标轴、坐标面、 原点。因此，点的空间坐标（x,y,z）在三面投影图中，就 是点到投影轴的距离，如图2-11（b）所示。
上一页 下一页 返回
第二节

点的投影




上一页 下一页 返回
第二节

点的投影

一般规定空间点用大写字母表示，点的水平投影用相应的小 写字母表示，点的正面投影和侧面投影分别用相应的小写字 母加一撇和两撇表示。 按图2-10（a）所示箭头方向，把H、W投影面展开到V投 影面上，得到点的三面投影图，如图2-10所示，可有（b）、 （c）两种表示。注意：因为投影面的大小不受限制，画图 时，不必画投影面的边框。


二、平行投影的基本性质
1. 平行性 如图2-3所示，空间上平行两直线的同面投影一般仍相互 平行。
上一页 下一页 返回
第一节

投影法的基本知识
2. 定比性 如图2-4所示，若点在直线上，则点的投影必在该直线的同 面投影上，且该点分线段之比，投影后保持不变。 3. 同素性



如图2-4所示，点的投影是点，直线的投影一般是直线。

⑵ 投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。
上一页 下一页 返回
第三节

直线的投影
例4 如图2-20（a）所示，试过点B作一长度为12mm的 正垂线BF，点F在点B的正前方。 作图步骤如图2-20（b）所示： 1）正垂线的正面投影积聚，因点F在点B的前面，所以点B、

F对V面重影f′(b′)；

上一页 下一页 返回
第三节

直线的投影
作图方法见图2-21（b）所示。为作图简便，利用已知投影 ab为一直角边，aA1=ΔZAB为另一直角边，作一直角三角 形abA1，则斜边bA1即为线段AB实长，∠abA1即为α。

当然，如图2-22（a）所示，过线段AB的点A作AD∥V面， 则得直角三角形ABD。直角边AD=a′b′，BD=ΔYAB,即 等于点A、点B的Y坐标差，斜边就是空间线段AB实长， ∠BAD为线段AB对V面的倾角β。

如图2-1所示，S为投射中心，Sa、Sb、Sc为投射线， △abc为空间物体△ABC在投影面H上的投影。一般规定空 间点用大写字母表示，而用小写字母表示相应空间点的投影。
下一页 返回
第一节



投影法的基本知识
一、投影法的种类
投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。 1.中心投影法 如图2-1所示，投射线汇交于一点的投影方法称为中心投 影法。中心投影法所得到的物体投影大小会随物体、投影 面、投射中心之间的距离改变而改变，一般不能反映物体 的真实大小。但它接近于视觉映象，直观性强，常用于建 筑效果图。 2.平行投影法 如图2-2所示，投射中心移至无穷远处，投射线相互平行 的投影方法称为平行投影法。平行投影法中，投射线方向 称为投射方向S，因投射方向S的不同又分为正投影法和 斜投影法。
上一页 下一页 返回
第二节

点的投影





例1 如图2-12（a）所示，已知点A的投影a′和a″，求作 第三面投影a。 作图步骤如图2-12（b）所示： 1）过点O作45º 辅助线； 2）过a′作OX轴的垂线； 3）过a″作OYW轴的垂线交45º 辅助线，由交点作OYH轴 的垂线，交2）所作延长线，交点即为所求水平投影a。 例2 如图2-13（a）所示，已知点A的坐标为（15，10， 20），求作点的三面投影。 作图步骤如图2-13（b）所示： 1）根据X、Z坐标，确定正面投影a′；
第二章 正投影基础



第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 位置
投影法的基本知识 点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面、平面与平面的相对
第一节

投影法的基本知识
物体在光线的照射下，会在地面或墙面上产生影子，这就是 投影现象。人们经过科学的抽象、总结，概括出在平面上得 到物体投影的投影法，并用此投影来表达该物体。
4. 类似性 如图2-5所示，，平面图形的投影一般仍为原图形的类似性。
上一页 下一页 返回
百度文库
第一节

投影法的基本知识
5. 积聚性 如图2-6所示，当直线或平面与投射方向平行时，其投影积 聚成一个点或一条直线。 6. 实形性


如图2-7所示，当线段或平面与投影面平行时，其投影反映
该线段或平面的实形。 以上所述平行投影法的基本性质，对图示、图解空间几何问
上一页 返回
第三节


直线的投影
一、直线的投影
直线是无限长的，在两定点之间的部分称为线段。本书中所 讲直线一般用线段表示，如图2-18所示，将点A、点B的同 面投影用粗实线连接起来，即得到直线AB的投影。


二、各种位置直线的投影特性
根据直线相对于投影面的位置不同，直线可分为三类：投影 面平行线、投影面垂直线和一般位置直线，其中前两种统称 为特殊位置直线。各种位置直线具有不同的投影特性。 直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，称为该直 线对投影面H、V、W的倾角，分别用α、β、γ表示。