苏教版高中数学选修4-4课时作业【4】及答案

1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：

(1)射线y ＝3x(x≤0)；

(2)圆x 2＋y 2

＋2ax ＝0(a≠0)．

【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x ，

得ρsin θ＝3ρcos θ，

∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3

. 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3

， ∴射线y ＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3

(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得

ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2a ρcos θ＝0，

即ρ(ρ＋2acos θ)＝0，

∴ρ＝－2acos θ，

∴圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a≠0)的极坐标方程为

ρ＝－2acos θ.

2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：

(1)ρ＝5cos θ

；(2)ρ2＝tan θ. 【解】 (1)由ρcos θ＝5，得x ＝5.

(2)x 2＋y 2＝y x

(x≠0)，即x(x 2＋y 2)－y ＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x 2＋y 2)－y ＝0.

3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4

(ρ∈R)，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．

(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；

(2)求弦AB 的长度．

【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4

(ρ∈R)表示直线y ＝x ； 曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.

(2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322

，r ＝3，所以弦长AB ＝3 2. 4．求点A(2，π3)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝－2的距离．

【解】 A(2，π3

)的直角坐标为(1，3)， l ：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12

cos θ)＝－2. 即： x －3y －4＝0.

故A(1，3)到l ：x －3y －4＝0的距离为|1－3－4|

12＋32＝3.

5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．

(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；

(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

【解】 (1)由ρcos(θ－

π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1， 即x ＋3y ＝2， 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2)． (2)∵M 的直角坐标为(2,0)，N 的直角坐标为(0，23

3)． ∴P 的直角坐标为(1，33)．P 的极坐标为(233，π6

)． 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6

(ρ∈R)． 6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，

求Q 点的轨迹方程．

【解】 以圆心O 为极点，x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．

因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP .

即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ ＝12

·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝32

cos θ. 7．(2018·南京质检)在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

【解】 分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2

＝25，圆心C(5,0)；

直线l ：3x －4y －30＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝

|15－0－30|5＝3，所以AB ＝225－d 2＝8.

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8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－π

6

)上的动点，试求PQ的最

大值．

【解】∵ρ＝12sin θ，

∴ρ2＝12ρsin θ，

∴x2＋y2－12y＝0，

即x2＋(y－6)2＝36.

又∵ρ＝12cos(θ－π

6 )，

∴ρ2＝12ρ(cos θcos π

6

＋sin θsin

π

6

)，

∴x2＋y2－63x－6y＝0，

∴(x－33)2＋(y－3)2＝36.

∴PQ的最大值为6＋6＋32＋32＝18.