全等三角形辅助线系列之三截长补短类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全

一、截长补短法构造全等三角形

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．

截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

典型例题精讲

【例1】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度

数．

【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC ．

由AC AB BD =+知AE AC =，

而60BAC ∠=︒，则AEC ∆为等边三角形．

注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.

从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，

故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.

所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：

13

18012022

ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，

故80ABC ∠=︒. 【答案】见解析．

【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判

断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

【解析】BE CD BC +=，

理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，

∵60A ∠=︒，∴1

901202

BOC A ∠=︒+∠=︒，∴120DOE ∠=︒，

∴180A DOE ∠+∠=︒，∴180AEO ADO ∠+∠=︒， ∴13180∠+∠=︒，

∵24180∠+∠=︒，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =， ∴BC BF CF BE CD =+=+． 【答案】见解析．

【例3】 如图，已知在△ABC ，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是

∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．

D

O

E

C

B A

4321

F

D

O

E C

B A

【解析】延长AB 至D ，使BD BP =，连DP ．

在等腰△BPD 中，可得40BDP ∠=︒， 从而40BDP ACP ∠=︒=∠， △ADP ≌△ACP （ASA ），故AD AC =

又40QBC QCB ∠=︒=∠，故 BQ QC =，BD BP =． 从而BQ AQ AB BP +=+．

【答案】见解析．

【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．

【解析】延长BA 至F ，使BF BC =，连FD △BDF ≌△BDC （SAS ），

故DFB DCB ∠=∠，FD DC =

又AD CD =，故在等腰△BFD 中，DFB DAF ∠=∠ 故有180BAD BCD ∠+∠=︒ 【答案】见解析．

【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求

证：MN MB NC =+．

【解析】延长NC 至E ，使得CE MB =

Q

P

C

B

A

C

D

B

A

1

B

M

N

M C

B

A

∵ BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，∴30DBC DCB ∠=∠=︒ ∵ ABC ∆是等边三角形．

∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒

∴90MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=︒ 在DBM ∆和DCE ∆中，BD DC =，MB CE =， ∴ DBM DCE ∆∆≌. ∴DE DM =, 12∠=∠.

又∵ 160NDC ∠+∠=︒，∴ 2+60NDC END ∠∠=∠=︒. 在MDN ∆与EDN ∆中，

ND ND =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DE DM = ∴ MND END ∆∆≌

∴ MN EN NC MB ==+

【答案】见解析．

【例6】 如图在△ABC 中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点，求证：AB AC PB PC ->-．

【解析】延长AC 至F ，使AF AB =，连PD

△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP PF =

由三角形性质知

< PB PC PF PC CF AF AC AB AC -=-=-=-

【答案】见解析．

【例7】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求证：

BC AB DC =+．

2

1

E

A

B

C

D

M

N