教学研究项目材料二：习题讲义
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u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = ( f ( x ), g ( x )).
4．证明：
x d − 1 x n − 1 ⇔ d n.
5．设 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 是数域 p 上的多项式，且有：
( x + 1) f ( x) + ( x + 2) g ( x) + ( x 2 − 2)h( x) = 0 ( x − 1) f ( x) + ( x − 2) g ( x) + ( x 2 − 2)h( x) = 0
L L L
L a a L a a L a a L L L L x a L −a x
3 2 3 2
． ，
b=
3．当 t 满足
，c =
，d =
3 2
．
条件时， f ( x) = x − 3 x + tx − 1 有重根．
2
4．用 g ( x ) = 3 x − 2 x + 1 除 余式为 5． 4 x
4
f ( x ) = x3 − 3x 2 − x − 1 ，商式为
，
.
− 7 x 2 − 5 x − 1 的有理根集合为
2
)
3 −1
教学研究项目材料二： 《高等代数》习题讲义，制作人：孔妮娜
A. －2；
B. 2；
C. －1；
D. 1．
0 0 L 0 1 0 0 L 1 0 2． n 阶行列式 L L L L L 的值为（ 0 1 L 0 0 1 0 L 0 0
A. (−1) ；
n2
）
B. (−1)
1 n ( n −1) 2
4．求极限
lim
x →0
x 1 sin x
x2 2 x
x3 3 2
1 1 1 1 + sin x cos x 1 −1 0 1
.
5．设 n 阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 . L L L L L 1 0 0 L n
6．计算下列行列式
1 1 1） 1 1
1 1 1 2 3 4 3 6 10 4 10 20
教学研究项目材料二： 《高等代数》习题讲义，制作人：孔妮娜
2． ( x − 1) / Ax + Bx + 1, 则（
2 4 2
）
A. A = 1, B = 2 ； C. A = −1, B = 2 ；
'''
B. A = 1, B = −2 ； D. A = −1, B = −2 ．
3. 如果 α 是 f ( x) 的 k 重根，那么 α 是 g ( x) = 的一个（ ）重根．
n(n − 1) ． 2
二．填空题
1． 5 阶行列式中，项 a32a41a22a13a54 的符号是 ．
10 9 2． 4 阶行列式 7 4
3．排列
8 6 3 0
5 2 0 0
1 0 = 0 0
．
j1 j2 L jn 的逆序数为 I ，则排列 jn jn −1 L j1 的逆序数为
3
．
4．设 x1 , x2 , x3 是方程 x
L L L L
a11 ( x) a12 ( x) L a1n ( x) L L L L a1n ( x) ai −1,1 ( x) ai −1,2 ( x) L ai −1,n ( x) n a2 n ( x) ai 2 ( x) L ain ( x) . = ∑ ai1 ( x) L i =1 ai +1,1 ( x) ai +1,2 ( x) L ai +1, n ( x) ann ( x) L L L L an1 ( x) an 2 ( x) L ann ( x)
4 3
5x 1 2 3 2 1 x 3 f ( x) = . x x 2 3 x 2 1 −3 x
3．设 aij ( i, j = 1, 2,L , n ) 均可导，证明：
教学研究项目材料二： 《高等代数》习题讲义，制作人：孔妮娜
a11 ( x) a12 ( x) d a21 ( x) a22 ( x) L dx K an1 ( x) an 2 ( x)
2 −1 −1 2 0 −1 1） L L 0 0 0 0
0 −1 2 L 0 0
L 0 0 L 0 0 L 0 0 L L L L 2 −1 L −1 2
1 2 3 L n a 1 2 L n −1 a a 1 L n−2 2） L L L L L a a a L 2 a a a L 1
1 − a1 −1
5 4 3 2
4．如果 α 是 f ( x) 的 m 重根，那么 α 是 f ( x) 的 m + 1 重根．
'
5． x + 1 在实数域上可约．
4
二．填空题
1．若 ( f ( x ), g ( x ))＝ 1， ( f ( x), h( x))＝1， 那么 ( f ( x), g ( x)h( x))= 2．设 2 x − x + 3 x − 5 = a ( x − 2) + b( x − 2) + c( x − 2) + d ，则 a = ＿
3 2
11．证明: x + 1 在有理数域上不可约．
8
x2 xp 12．证明: f ( x ) = 1 + x + + L 在有理数域上不可约， p 为一素数． p! 2!
13 ． 设 f ( x ), g ( x ) ∈ p ( x ) ， 证 明 ： f ( x ) 与 g ( x ) 互 素 ⇔ f ( x ) + g ( x ) 与
因式是一次的，并求出最大公因式． ７．用综合除法计算 f (c) 1） f ( x) = 3 x − 12 x − 10 x − 587 x − 113
5 3 2
c = 5;
c = 1 + i.
2） f ( x) = x + (1 + i ) x + (2 − 3i ) x + x − 1 + i
4 3 2 '
2
ca11
3． ca21
ca12 ca22 ca32
ca13 ca33
a11 a31
a12 a22 a32
a13 a3 , c ≠ 0. ． a33
ca23 = c a21
ca31
4．在 n 阶行列式次对角线上元素的乘积 a1n a2, n −1 L an −1,2 an1 是带负号． 5． 2n 阶排列 135L (2n − 1)246L (2n) 的逆序数为
证明: x − 2 是 f ( x), g ( x) 的公因式．
2Hale Waihona Puke Baidu
（1） （2）
6 ． k 为何值时， f ( x) = x + (k + 6) x + 4k + 2 和 g ( x) = x + ( k + 2) x + 2k 的最大公
2 2
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3）
a2 0 1 − a2 −1 a3
L L
0 0 0
0 0 0 L an 1 − an
0 L 0 0
1 − a3 L
L L 0 0 0 0
L L L 1 − an−1 L −1
x a −a x −a −a 4） L L −a −a −a −a
x 0 −1 0 x −1 0 x L L
a a x L −a −a
x −α ' [ f ( x) + f ' (α )] − f ( x) + f (α ) 2
C. k + 2 ； D. k + 3 ．
A. k ；
B. k + 1 ；
则多项式 4． 设 p1 , p2 ,... ps 是 s 个互不相同的素数， 有理数域上（ ）
f ( x ) = x n − p1 p2 ... ps ( n > 1) 在
；
C. (−1)
1 n ( n +1) 2
；
D. 1 ．
3. 设 Aij 是行列式 A 的元素 aij ( i, j = 1, 2,L , n ) 的代数余子式，当 i ≠ j 时，下列各式 中错误的是（ ）
A. A = ai1 A j1 + ai 2 Aj 2 + L ain Ajn ； C. A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L anj Anj ；
1 2 3 4 −2 1 −4 3 2） 3 −4 −1 2 4 3 −2 −1 0 x 4） y z x 0 z y y z 0 x z y x 0
1 1 x −1 −1 1 −1 x + 1 −1 3） 1 x −1 1 −1 1 x + 1 −1 −1
７．计算下列 n 阶行列式
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A. 可约；
5．多项式用
B. 不可约；
C. 不一定可约；
)
D. 无法判断．
f ( x ) 除以 ax − b(a ≠ 0) 所得余式为(
B. f (b) ；
A. f (a) ；
b C. f ( ) ； a
D. f (ab) ．
四．计算证明题
1．当 k , l , m 适合什么条件时， x + kx + 1/ x + lx + m ？
B. D ；
C. abdf ； a1 + 2b1 + 3c1 a2 + 2b2 + 3c2 = ( a3 + 2b3 + 3c3
C. 2 D ；
)
D. cdf ．
c1 c3
b1 + 2c1 b2 + 2c2 b3 + 2c3
c2 , 则 c2
a3
A. − D ；
D. −2 D ．
四．计算证明题
1．写出 5 阶行列式中所有带有正号并且包含因子 a13 a32 的项. 2．试求证 f ( x) 中 x 与 x 的系数，其中
B. A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L ain Ain ； D. 0 = ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L ain Ajn ．
0 b 4．行列式 0 0
a c 0 0
0 0 d 0
0 0 的值等于（ e f
）
A. abcdef ； a1
5．设行列式 D = a2
B. −abdf ； b1 b2 b3 c1 c3
+ px + q = 0 的三个根，则行列式 x3
x2
x1
x2 x1 x3
x3 x2 = x1
. 5． n 阶行列式 D 的值为 c ，若将 D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的 次序向左移动，则得到的行列式的值为 ．
三．选择题
2 −1
1．若行列式 1
0
x
−2 = 0 , 则 x = (
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第一章
多项式
一．判断题
1．如果有等式 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) 成立，则 f ( x), g ( x) 和 g ( x), r ( x) 有相同的 公因式． 2．任一多项式 f ( x) 一定整除零次多项式． 3．2 是 f ( x) = x − 6 x + 11x − 2 x − 12 x + 8 的三重根．
2 4
2．求证 ( x + 1) /( x + x + x + x + x + x + x + 1 .
2 7 6 5 4 3 2
3．求多项式 f ( x ) = x + x − 3 x + 1 与 g ( x ) = x 4 − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 的最大公因式，
3 2
并求 u ( x ), v ( x ) ，使
3
[ f ( x) ⋅ g ( x)]
2
互素．
5 3 2
14．判断数域 p 上多项式 f ( x) = x − 10 x − 20 x − 15 x − 4 有无重因式，若有，求出 重因式．
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第二章
行列式
一．判断题
1． a32 a 41a 22 a13 a54 是 5 阶行列式中的一项． 2．若在 n 阶行列式中等于零的元素个数超过 n − n 个，则这个行 列式的值等于零．
．
三．选择题
1．若多项式 f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 互素，则（ ）
A. f1 ( x), f 2 ( x) 必互素；
B. f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 两两互素；
C. 若 ( f1 ( x), f 2 ( x))＝d1 ( x)， ( f 2 ( x), f3 ( x))＝d 2 ( x), 则 (d1 ( x), d 2 ( x))＝1 ； D. 存在 u ( x), v( x), 使得 u ( x) f 2 ( x) + v( x) f3 ( x)＝1 ．
8．设 α 是 f ( x) 的 3 重根， g ( x) = f ( x) − (a − x ) f ( x). 证明：设 α 是 g ( x) 的 3 重根. 9．求证： ( f ( x), g ( x ) ) = 1 ⇔ ( f ( x ) + g ( x ), f ( x) g ( x) ) = 1. 10．当 k 为何值时， f ( x) = x − 3 x + kx − 1 有重根．
4．证明：
x d − 1 x n − 1 ⇔ d n.
5．设 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 是数域 p 上的多项式，且有：
( x + 1) f ( x) + ( x + 2) g ( x) + ( x 2 − 2)h( x) = 0 ( x − 1) f ( x) + ( x − 2) g ( x) + ( x 2 − 2)h( x) = 0
L L L
L a a L a a L a a L L L L x a L −a x
3 2 3 2
． ，
b=
3．当 t 满足
，c =
，d =
3 2
．
条件时， f ( x) = x − 3 x + tx − 1 有重根．
2
4．用 g ( x ) = 3 x − 2 x + 1 除 余式为 5． 4 x
4
f ( x ) = x3 − 3x 2 − x − 1 ，商式为
，
.
− 7 x 2 − 5 x − 1 的有理根集合为
2
)
3 −1
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A. －2；
B. 2；
C. －1；
D. 1．
0 0 L 0 1 0 0 L 1 0 2． n 阶行列式 L L L L L 的值为（ 0 1 L 0 0 1 0 L 0 0
A. (−1) ；
n2
）
B. (−1)
1 n ( n −1) 2
4．求极限
lim
x →0
x 1 sin x
x2 2 x
x3 3 2
1 1 1 1 + sin x cos x 1 −1 0 1
.
5．设 n 阶行列式
1 2 3 L n 1 2 0 L 0 Dn = 1 0 3 L 0 . L L L L L 1 0 0 L n
6．计算下列行列式
1 1 1） 1 1
1 1 1 2 3 4 3 6 10 4 10 20
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2． ( x − 1) / Ax + Bx + 1, 则（
2 4 2
）
A. A = 1, B = 2 ； C. A = −1, B = 2 ；
'''
B. A = 1, B = −2 ； D. A = −1, B = −2 ．
3. 如果 α 是 f ( x) 的 k 重根，那么 α 是 g ( x) = 的一个（ ）重根．
n(n − 1) ． 2
二．填空题
1． 5 阶行列式中，项 a32a41a22a13a54 的符号是 ．
10 9 2． 4 阶行列式 7 4
3．排列
8 6 3 0
5 2 0 0
1 0 = 0 0
．
j1 j2 L jn 的逆序数为 I ，则排列 jn jn −1 L j1 的逆序数为
3
．
4．设 x1 , x2 , x3 是方程 x
L L L L
a11 ( x) a12 ( x) L a1n ( x) L L L L a1n ( x) ai −1,1 ( x) ai −1,2 ( x) L ai −1,n ( x) n a2 n ( x) ai 2 ( x) L ain ( x) . = ∑ ai1 ( x) L i =1 ai +1,1 ( x) ai +1,2 ( x) L ai +1, n ( x) ann ( x) L L L L an1 ( x) an 2 ( x) L ann ( x)
4 3
5x 1 2 3 2 1 x 3 f ( x) = . x x 2 3 x 2 1 −3 x
3．设 aij ( i, j = 1, 2,L , n ) 均可导，证明：
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a11 ( x) a12 ( x) d a21 ( x) a22 ( x) L dx K an1 ( x) an 2 ( x)
2 −1 −1 2 0 −1 1） L L 0 0 0 0
0 −1 2 L 0 0
L 0 0 L 0 0 L 0 0 L L L L 2 −1 L −1 2
1 2 3 L n a 1 2 L n −1 a a 1 L n−2 2） L L L L L a a a L 2 a a a L 1
1 − a1 −1
5 4 3 2
4．如果 α 是 f ( x) 的 m 重根，那么 α 是 f ( x) 的 m + 1 重根．
'
5． x + 1 在实数域上可约．
4
二．填空题
1．若 ( f ( x ), g ( x ))＝ 1， ( f ( x), h( x))＝1， 那么 ( f ( x), g ( x)h( x))= 2．设 2 x − x + 3 x − 5 = a ( x − 2) + b( x − 2) + c( x − 2) + d ，则 a = ＿
3 2
11．证明: x + 1 在有理数域上不可约．
8
x2 xp 12．证明: f ( x ) = 1 + x + + L 在有理数域上不可约， p 为一素数． p! 2!
13 ． 设 f ( x ), g ( x ) ∈ p ( x ) ， 证 明 ： f ( x ) 与 g ( x ) 互 素 ⇔ f ( x ) + g ( x ) 与
因式是一次的，并求出最大公因式． ７．用综合除法计算 f (c) 1） f ( x) = 3 x − 12 x − 10 x − 587 x − 113
5 3 2
c = 5;
c = 1 + i.
2） f ( x) = x + (1 + i ) x + (2 − 3i ) x + x − 1 + i
4 3 2 '
2
ca11
3． ca21
ca12 ca22 ca32
ca13 ca33
a11 a31
a12 a22 a32
a13 a3 , c ≠ 0. ． a33
ca23 = c a21
ca31
4．在 n 阶行列式次对角线上元素的乘积 a1n a2, n −1 L an −1,2 an1 是带负号． 5． 2n 阶排列 135L (2n − 1)246L (2n) 的逆序数为
证明: x − 2 是 f ( x), g ( x) 的公因式．
2Hale Waihona Puke Baidu
（1） （2）
6 ． k 为何值时， f ( x) = x + (k + 6) x + 4k + 2 和 g ( x) = x + ( k + 2) x + 2k 的最大公
2 2
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3）
a2 0 1 − a2 −1 a3
L L
0 0 0
0 0 0 L an 1 − an
0 L 0 0
1 − a3 L
L L 0 0 0 0
L L L 1 − an−1 L −1
x a −a x −a −a 4） L L −a −a −a −a
x 0 −1 0 x −1 0 x L L
a a x L −a −a
x −α ' [ f ( x) + f ' (α )] − f ( x) + f (α ) 2
C. k + 2 ； D. k + 3 ．
A. k ；
B. k + 1 ；
则多项式 4． 设 p1 , p2 ,... ps 是 s 个互不相同的素数， 有理数域上（ ）
f ( x ) = x n − p1 p2 ... ps ( n > 1) 在
；
C. (−1)
1 n ( n +1) 2
；
D. 1 ．
3. 设 Aij 是行列式 A 的元素 aij ( i, j = 1, 2,L , n ) 的代数余子式，当 i ≠ j 时，下列各式 中错误的是（ ）
A. A = ai1 A j1 + ai 2 Aj 2 + L ain Ajn ； C. A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L anj Anj ；
1 2 3 4 −2 1 −4 3 2） 3 −4 −1 2 4 3 −2 −1 0 x 4） y z x 0 z y y z 0 x z y x 0
1 1 x −1 −1 1 −1 x + 1 −1 3） 1 x −1 1 −1 1 x + 1 −1 −1
７．计算下列 n 阶行列式
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A. 可约；
5．多项式用
B. 不可约；
C. 不一定可约；
)
D. 无法判断．
f ( x ) 除以 ax − b(a ≠ 0) 所得余式为(
B. f (b) ；
A. f (a) ；
b C. f ( ) ； a
D. f (ab) ．
四．计算证明题
1．当 k , l , m 适合什么条件时， x + kx + 1/ x + lx + m ？
B. D ；
C. abdf ； a1 + 2b1 + 3c1 a2 + 2b2 + 3c2 = ( a3 + 2b3 + 3c3
C. 2 D ；
)
D. cdf ．
c1 c3
b1 + 2c1 b2 + 2c2 b3 + 2c3
c2 , 则 c2
a3
A. − D ；
D. −2 D ．
四．计算证明题
1．写出 5 阶行列式中所有带有正号并且包含因子 a13 a32 的项. 2．试求证 f ( x) 中 x 与 x 的系数，其中
B. A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L ain Ain ； D. 0 = ai1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + L ain Ajn ．
0 b 4．行列式 0 0
a c 0 0
0 0 d 0
0 0 的值等于（ e f
）
A. abcdef ； a1
5．设行列式 D = a2
B. −abdf ； b1 b2 b3 c1 c3
+ px + q = 0 的三个根，则行列式 x3
x2
x1
x2 x1 x3
x3 x2 = x1
. 5． n 阶行列式 D 的值为 c ，若将 D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的 次序向左移动，则得到的行列式的值为 ．
三．选择题
2 −1
1．若行列式 1
0
x
−2 = 0 , 则 x = (
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第一章
多项式
一．判断题
1．如果有等式 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) 成立，则 f ( x), g ( x) 和 g ( x), r ( x) 有相同的 公因式． 2．任一多项式 f ( x) 一定整除零次多项式． 3．2 是 f ( x) = x − 6 x + 11x − 2 x − 12 x + 8 的三重根．
2 4
2．求证 ( x + 1) /( x + x + x + x + x + x + x + 1 .
2 7 6 5 4 3 2
3．求多项式 f ( x ) = x + x − 3 x + 1 与 g ( x ) = x 4 − x 3 + 2 x 2 − 3 x + 1 的最大公因式，
3 2
并求 u ( x ), v ( x ) ，使
3
[ f ( x) ⋅ g ( x)]
2
互素．
5 3 2
14．判断数域 p 上多项式 f ( x) = x − 10 x − 20 x − 15 x − 4 有无重因式，若有，求出 重因式．
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第二章
行列式
一．判断题
1． a32 a 41a 22 a13 a54 是 5 阶行列式中的一项． 2．若在 n 阶行列式中等于零的元素个数超过 n − n 个，则这个行 列式的值等于零．
．
三．选择题
1．若多项式 f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 互素，则（ ）
A. f1 ( x), f 2 ( x) 必互素；
B. f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x) 两两互素；
C. 若 ( f1 ( x), f 2 ( x))＝d1 ( x)， ( f 2 ( x), f3 ( x))＝d 2 ( x), 则 (d1 ( x), d 2 ( x))＝1 ； D. 存在 u ( x), v( x), 使得 u ( x) f 2 ( x) + v( x) f3 ( x)＝1 ．
8．设 α 是 f ( x) 的 3 重根， g ( x) = f ( x) − (a − x ) f ( x). 证明：设 α 是 g ( x) 的 3 重根. 9．求证： ( f ( x), g ( x ) ) = 1 ⇔ ( f ( x ) + g ( x ), f ( x) g ( x) ) = 1. 10．当 k 为何值时， f ( x) = x − 3 x + kx − 1 有重根．