一元二次不等式及其解法教学讲义

一元二次不等式及其解法教学讲义
ZHI SHI SHU LI
知识梳理)
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的判别式.
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．三个二次之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根
x1，x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b
2a
没有
实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x>x2或
x<x1}
{x|x∈R
且x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|
x1<x<x2}
∅∅
ZHONG YAO JIE LUN
重要结论)
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项
系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件． 3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根． 4．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )
>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )
g (x )≥0(≤0)⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )·
g (x )≥0(≤0)g (x )≠0. 5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 若0<a <1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )．
(2)若a >1，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0； 若0<a <1，log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．
SHUANG JI ZI CE
双基自测 )
1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( A ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2}
D ．{x |x <1或x >2}
[解析] 由(x －1)(2－x )≥0可知(x －2)(x －1)≤0，所以不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．故选A ． 2．不等式1－x
2＋x ≥0的解集为( B )
A ．[－2,1]
B ．(－2,1]
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
[解析] 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧
(1－x )(2＋x )≥0，
2＋x ≠0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －1)(x ＋2)≤0
x ＋2≠0，所以－2<x ≤1.故选B ． 3．(教材改编)不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，1
3)，则a ＋b 的值是( D )
A ．10
B ．－10
C ．14
D ．－14
[解析] 由题意知－12，1
3
是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14.
4．(2018·山东烟台期中)若集合M ＝{x |x 2＋x －12≤0}，N ＝{y |y ＝3x ，x ≤1}，则集合{x |x ∈M 且x ∉N }等于( D ) A ．(0,3] B ．[－4,3] C ．[－4,0)
D ．[－4,0]
[解析] M ＝[－4,3]，N ＝(0,3]， ∴{x |x ∈M 且x ∉N }＝[－4,0]，故选D ．
5．若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]
D ．(－1,3] [解析] 当a ＝3时，－4<0恒成立；
当a ≠3时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a <3，
Δ＝4(a －3)2＋16(a －3)<0，
解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.
6．(2018·山东烟台联考)不等式x >1
x
的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).
[解析] 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1
x 的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
考点1 一元二次不等式的解法——多维探究
角度1 不含参数的不等式
例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0； (3)2x －13－4x
≥1. [分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集； (3)移项通分化为f (x )g (x )>0的形式，进而化为f (x )·g (x )>0求解．
[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，
∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)(x －3
2)>0，
∴x >3
2
或x <－1，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3
2
，＋∞)．
(2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R .
(3)化2x －13－4x ≥1为6x －43－4x ≥0，即3x －24x －3
≤0，
∴(3x －2)(4x －3)≤0，且x ≠34，即(x －23)(x －34)≤0(且x ≠34)
∴原不等式的解集为{x |23≤x <3
4}．
名师点拨 ☞
解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 角度2 含参数的不等式
例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )；
[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1
a 与1的关系，故需分a <0，a ＝0,0<a <1，a ＝1，a >1五种情况求解；
(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于(x －1a )(x －1)＞0，解得x ＜1
a 或x ＞1.
若a ＞0，原不等式等价于(x －1
a
)(x －1)＜0.
①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1
a )(x －1)＜0无解；
②当a ＞1时，1a ＜1，解(x －1a )(x －1)＜0得1
a ＜x ＜1；
③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解(x －1a )(x －1)＜0得1＜x ＜1
a
.
综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜1
a 或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1
时，解集为{x |1＜x ＜1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |1
a ＜x ＜1}．
(2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅； 当Δ＝0，即a ＝±2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根， 当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}， 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}；
当Δ＞0，即a ＞2或a ＜－2时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋
a 2－2，且x 1＜x 2，所以原不等式的解集为{x |a －
a 2－2≤x ≤a ＋
a 2－2}．
综上，当a ＞2或a ＜－2时，解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋
a 2－2}；当a ＝2时，解集
为{x |x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－2}；当－2＜a ＜2时，解集为∅.
名师点拨 ☞
含参数的不等式的求解往往需要分类讨论
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x 1＝x 2确定)；若不易分解因式，且判别式符号确定，可考虑求根公式，以便写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．
(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零． (4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·陕西部分学校摸底检测)已知集合U ＝Z ，集合A ＝{x ∈Z |3≤x <7}，B ＝{x ∈Z |x 2－7x ＋10>0}，则A ∩(∁U B )＝( A ) A ．{3,4,5} B ．{2,3,4,5} C ．{4,5}
D ．{2,3,4}
(2)(角度1)不等式x －12x ＋1≤1的解集为{x |x >－1
2或x ≤－2}.
(3)(角度2)解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0(a ∈R )
[解析] (1)∵A ＝{3,4,5,6}，B ＝{x ∈Z |x >5或x <2}，∴∁U B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩(∁U B )＝{3,4,5}，故选A ．
(2)x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋2
2x ＋1
≥0. x ＋2
2x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋2)(2x ＋1)≥0，2x ＋1≠0，
解得{x |x >－12或x ≤－2}．
(3)由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1，
①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．
考点2 三个二次间的关系——师生共研
例3 (1)(2018·重庆模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．5
2
B ．7
2
C ．15
4
D ．152
(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A ) A ．(－23
5，＋∞)
B ．(－23
5，1]
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－23
5
]
[分析] (1)思路一：利用根与系数的关系求解．思路二：因为a >0，可解方程x 2－2ax －8a 2＝0，得两根x 1，x 2，代入x 2－x 1＝15求解；
(2)令f (x )＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f (1)≥0或f (1)<0且f (5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f (5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．
[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a >0，∴a ＝15
6＝
5
2
，故选A ． 解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )． 又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∴x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝5
2，故选
A ．
(2)令f (x )＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f (x )＝0，有两个不等实根，又两根之积为负，∴方程有一正根和一负根． 解法一：不等式x 2＋ax －2>0
在区间[1,5]上有解，只要f (1)≥0或⎩⎨⎧
f (1)<0，
f (5)>0.
解得a ≥1或－
23
5
<a <1. ∴a 的取值范围是(－23
5
，＋∞)，故选A ．
解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f (5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间(1,5]上有解的a 的取值范围是(－23
5，＋∞)． [引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是(－∞，1).
[解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，
显然g (x )＝2
x －x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.
名师点拨 ☞
已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)． 〔变式训练2〕
(1)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－1
3]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( A )
A ．(2,3)
B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C ．(13，1
2
)
D ．(－∞，13)∪(1
2
，＋∞)
(2)(2018·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)
D ．(－∞，－6)
[解析] (1)依题意，－12与－1
3
是方程ax 2－bx －1＝0的两根，
则⎩⎨⎧
b a ＝－12－13
，－1a ＝－12×(－1
3)，
即⎩⎨⎧
b a ＝－56
，1a ＝－1
6，
又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b
a x －1>0，
即－16x 2＋5
6
x －1>0，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A ．
(2)解法一：由函数f (x )＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解⇔f (4)>0，即a <－2，故选A ．
解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.故选A ．
考点3 一元二次不等式恒成立问题——师生共研
例4 已知f (x )＝mx 2－mx －1.
(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m |≤1，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．
[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m ≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解． [解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；
若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝m 2
＋4m <0
⇒－4<m <0.
所以m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立， 只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])， 又因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋3
4
>0，
所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6
(x －12)2＋3
4.
因为t ＝(x －12)2＋3
4在[1,3]上是增函数，
所以y ＝6
x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．
因此函数的最小值y min ＝6
7.
所以m 的取值范围是(－∞，6
7
)．
(3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0. 令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．
则⎩⎨⎧
g (－1)<0，g (1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2＋x －1<0，
x 2
－x －1<0，
解得1－52<x <1＋52
，
即x 的取值范围为(1－52，1＋5
2)．
名师点拨 ☞
一元二次不等式恒成立问题
1．在R 上恒成立
(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
Δ＝b 2
－4ac <0(或≤0). (2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a <0，
Δ＝b 2－4ac <0(或≤0). 2．在给定某区间上恒成立
(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．” 注意：ax 2＋bx ＋c >0
恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩
⎨⎧
a >0
Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0
恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧
a <0Δ＝
b 2－4a
c <0
.
〔变式训练3〕
(1)(2018·甘肃天水月考)若不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(－2,2)
B ．(－2,2]
C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D ．(－∞，2]
(2)(2018·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0
D ．m ≥－4
(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x >3} C ．{x |1<x <2}
D ．{x |x <1或x >2}
[解析] (1)不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x ，可化为(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，当a －2＝0，即
a ＝2时，不等式恒成立，符合题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
Δ<0，
解
得－2<a <2.所以a 的取值范围为(－2,2]．故选B ．
(2)令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A ．
(3)记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，
依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B ．。