(完整版)集合知识点总结及习题,推荐文档

集合
123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪
⎪⎨⎪⎪⎩
∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n
A A A
B
C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪
⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎧⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪
⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩
一、集合有关概念1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：(1)
元素的确定性
如：世界上最高的山(2)
元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合
{H,A,P,Y}
(3)
元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个
集合
3．元素与集合的关系——（不）属于关系
（1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示
元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示
（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;
∉
若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a A;
4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
的方法
格式：{ a,b,c,d }
适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示
（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x|x满足的条件}
例如：{x∈R| x-3>2} 或{x| x-3>2}
适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N={0,1,2,3，…}
正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…}
整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…}
有理数集Q
实数集R
有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示
例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形}
Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合 例：
{x∈R|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
记为（或B A）
A⊆⊇
B
注意：①有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同
A⊆
B
一集合。

⊆
②符号∈与的区别
⊆/
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或
⊇/
B A
2．“相等”关系：A=B
定义：如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
∉
3.真子集:如果A⊆B,且存在元素x∈B,但x A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
4.性质
①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A
②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C
③如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B
5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
性质A A=A
AΦ=Φ
A B=
B A
A B A
⊆
A B B
⊆
A⊆B﹤＝﹥A B=A
A A=A
AΦ=A
A B=
B A
A BＡ
⊇
A B B
⊇
A⊆B﹤＝﹥A B=B
(C u A) (C u B) = C u (A B)
(C u A) (C u B) = C u(A B)
A (C u A)=U A (C u A)= Φ．
第一章：集合与函数的概念
第一课时：集合
1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。

通常用
大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。

元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做a A。

∉
1.1.2集合中的元素的特征：
①确定性：如世界上最高的山；
②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；
③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。

1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。

常用数集及记法有
非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集
N N+或N*Z Q R
1.1.4集合的分类：
①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。

②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。

本节精讲：
一.如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定
的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。

（1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；
（2）方程x2=4的实数根；
（3）平面内所有的直角三角形；
（4）正方形的全体；
（5）∏的近似值的全体；
（6）平面集合中所有的难证明的题；
（7）著名的数学家；
（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。

解：
练习：
考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：
（1）平面直角坐标系内x轴上方的一些点；
（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；
（3）一元二次方程x2+bx-1=0的根；
（4）平面内两边之和小于第三边的三角形
（5）x 2,x 2+1,x 2+2；
（6）y=x,y=x+1,y=ax 2+bx+c(a≠0)；（7）2x 2+3x-8=0,x 2-4=0,x 2-9=0；（8）新华书店中意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。

例：集合A={y|y=x 2+1},集合B={(x,y)| y=x 2+1},(A 、B 中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）
A 、2∈A，且2∈
B B 、（1,2）∈A，且（1,2）∈B
C 、2∈A，且（3,10）∈B
D 、（3,10）∈A，且2∈B 解：C 练习：
3.1415 Q ； ∏ Q ； 0 R +； 1 {（x,y ）|y=2x-3}； -8 Z ；
三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性例：集合A 是由元素n 2-n ，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n 的取值范围。

解：n 是不等于1且不等于2的整数。

练习:
1.已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq 2},a≠0,且M 与N 中的元素完全相同，求d 和q 的值。

2.已知集合A={x ，
,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010的值为 ，A=B= .x
y
3.(1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4}求实数a 的值； (2)若 ∈{m},求实数m 的值。

m
m
+-114.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

5.已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法练习；
1.用列举法表示下列集合。

（1）方程 x 2+y 2=2d 的解集为 ； x-y=0
（2）集合A={y|y=x 2-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为 ；
（3）集合B={
∈Z|x∈N}用列举法表示为 ；x
+18
（4）集合C={x|=+，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ；
a a ||b
b |
|2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a 的集合；（2）使函数y=
有意义的实数x 的集合；
()()
111
+-x x x （3）{1、22、32、42、…}
3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：
（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；
（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。

五．有关集合的分类：六．集合概念的综合问题：
练习1.若
，则t 的值为 _____________；{}t t
t
∈+-132.设集合A={y|y=x 2+ax+1，x∈R },B={(x,y)|y= x 2+ax+1, x∈R },试求当参数a=2时的集合A 和B ；
3.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a∈R },求（1）若集合A 为空集，则a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一
个元素，求a 的值，并写出集合A ；（3）若集合A 中至少有一个元素，则a 的取值范围。

1.1课后作业：
1.判断下列各组对象能否组成集合：
（1）不等式的整数解的全体；320x +>（2）我班中身高较高的同学；（3）直线上所有的点；21y x =-（4）不大于10且不小于1的奇数。

2.用符号或填空：∈∉
（1）2______ （2______（3）0______
N
Q
{}
（4）______ （5）0______（6）b {}
,,a b c *
N {____x x <（7）（8）{
}2
*
3____1,x x n n =+∈N
(){}
2
1,1____y y x -=（9）()(){}
2
1,1____,x y y x -=3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合4.用适当的方法表示：（1）(x ＋1)2＝0的解集；（2）方程组的解集；
⎩
⎨
⎧=+=-01
y x y x （3）方程3x －2y ＋1＝0的解集；
（4）不等式2x －1≥0的解集；（5）奇数集；
（6）被5除余1的自然数组成的集合。

5.集合{1，a 2}中a 的取值范围。

1.2集合间的基本关系
1.2.1子集：一般地，两个集合A 和B ，如果 集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记做A B （或B A ）,读作“A 包含于B”⊆⊇（或“B 包含A”） 。

如右图示。

比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A 中的元素1、2、3都属于集合B ，所以，集合A 为集合B 的子集，记做A B （或B A ）。

⊆⊇1.2.2集合相等：如果集合A B 且B A 时，集合A 中的元素与集合B 中的元素是一样的，因此，集合⊆⊆A 与集合B 相等，记做A=B 。

或A B 。

⊂
1.2.3真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合A 是集合B 的真子集。

记作：B A ⊆B x ∈A x ∉A B （或B A ） 也可记作：（或）
B A ⊂A B ⊃1.2.4空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当∅然是真子集）本节精讲：
一．集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：
①若集合A B 且B A 时，则A=B ；反之，如果A=B ，则集合A B 且B A 。

这就给出了我们证明两个
⊆⊆⊆⊆集合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明A B 和B A 都成立就行了。

⊆⊆②两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。

③要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合
中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。

例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.解：练习：
1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.
2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3
b c ==-3. 已知集合P ＝｛x|x 2＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q P ，求a 的取值组成的集合≠
A 。

二．有关子集以及子集个数的问题：例1：判定以下关系是否正确
(1){a}{a}⊆
(2){1，2，3}＝{3，2，1}
(3){0}∅⊂≠
(4)0∈{0} （5）={0} （6）∈{0}
ΦΦ解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素
0的集合非空．
例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．
分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．解：含有0个元素的子集有：Φ
含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；
含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．
例3：已知{a 、b}A {a 、b 、c 、d},则满足条件集合A 的个数为________．
⊆⊆分析：A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a 、b 、c 、d}。

解：共3个．
例4：设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是。

A A
B B A B
C A B
D A B ．＝．．．≠≠
⊇⊂⊃解：A
例5：已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析:逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答:C ＝{4}或{7}或{4，7}．练习：
1{0}{012}{0}{01．在以下五个写法中：①∈，，②③，，
≠
∅⊂2}{120} 01{x|x {12}}⊆∅⊆，，④∈⑤∈，写法正确的个数有
A ．1个
B.2个
C.3个
D.4个
2A ={(x y)|
y
x
=1}B ={(x y)|y =x}．集合，与，的关系是 A A =B B A B C A B
D A B ．．．．≠≠
⊂⊇⊃3{01}M {01234}．满足条件，，，，，的不同集合的个数≠
⊂⊆M 是
A ．8个 B.7个 C.6个 D.5个
4．设I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},则:①0________A ②{0}________B ③C I A________C I B
④⑤⑥1
C B C A A
B
I I ∅5．已知A={x|x=(2n ＋1)π， n ∈Z}，B={y|y=(4k ±1)π，k ∈Z}，那么A 与B 的关系为 ．
6.已知集合A={1,3，a},B={1,a 2-a+1},且A B ，求a 的值。

⊇7．已知集合A={x ∈R|x 2＋3x ＋3=0}，B={y ∈B|y 2－5y ＋6=0}，
A P
B P ⊆⊂≠
，求满足条件的集合．
8．已知集合A={x|x=a 2＋1，a ∈N}，B={x|x=b 2－4b ＋5，b ∈N}，求证：A=B 。

课后作业：
A 组
1.写出集合{1，2，3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

2.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则。

其中正确的有（ ）
A ⊂∅≠A ∅A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
3.设，则A ，B 的关系是
{}⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
=--=-=-=∈123),(,23),(,,x y y x B x y y x A R y x _____________
4.已知，，，求实数的取值范围。

{}
52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=a x a x B A B ⊆a
5.已知集合,集合，若，则实数的值。

{
}12,3,1--=m A {}
2,3m B =A B ⊆m 6.设集合，，若A 是B 的真子集，求实数的取值范围。

{}31≤≤=x x A {
}
0≥-=a x x B a 7.用适当的符号填空：
① ②
③ ______{}c b a a ,,____{
}
0____02
=x x ∅{}
12
=+∈x R x ④ ⑤
⑥
{
}N ____1,0{}{}x x x =2
_____0{}{}
023_____1,22
=+-x x x 8.判断下列两个集合之间的关系：
①,是8的约数 _________________
{
}4,21，A ={
x x B =}②， __________________{}N k k x x A ∈==,3{}
N z z x x B ∈==,6③,是4与10的公倍数
__________________
{}
+∈==N m m x x A ,20{
x x B =}9.设集合，，若，求实数的
{
}042
=+=x x x A {
}
R x a x a x x B ∈=-+++=,01)1(22
2A B ⊆a 值。

10.下列选项中的M 与P 表示同一集合的是（ ）
A 、，{
}001.02
=+∈=x R x M {
}
2
==x x P B 、，{
}R x x y y x M ∈+==,2),(2
{}
R y y x y x P ∈+==,2),(2
C 、，{
}R x x y y M ∈+==,12
{
}
R y y x x P ∈+-==,1)1(2
D 、，{
}Z k k y y M ∈==,2{}
Z k k x x P ∈+==,2411.试写出满足条件∅
的所有集合M M
{}210，，12.写出满足条件
的所有集合M
{}M ⊆0{}210，，13.已知，求{
}x ,1{}
6,1,122
-+x
x x
14.已知集合,，若A=B ，求的值。

{
}b a b a a A 2,,++={
}2
,,ac ac a B =c 15.已知集合
,，求满足A
B 的实数的取值范围。

{
}21<<=ax x A {
}
11<<-=x x B a 16.设集合,,且B A ，求的值。

{
}a A ,8,2={}
43,22
+-=a a B a B 组
1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅
A ，
则∅其中正确的是（ ）≠A A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
2.已知集合，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有（ ）
{
}4,3,2,1⊆A
A 、13个
B 、12个
C 、11个
D 、10个
3.设集合，，则（ ）
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈-+==Z k k x x M ,42πππ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,24ππ A 、M=N
B 、M
N
C 、
D 、N
M
N M ⊆4.已知集合,，且
B
A ，则实数的取值范围是
{}23<≤-=x x A {}1212+≤≤-=k x k x B k _________________。

5.已知集合,若集合A 有且仅有2个子集，则的取值是（ ）
{
}
R a a x ax x A ∈=++=,022
a A 、1
B 、
C 、0，1
D 、，0，1
1-1-6.设，集合
，则（ ）
R b a ∈,{}⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1=-a b A 、1 B 、 C 、2 D 、1-2
-7.已知,,则_________________{
}4,3,2,1=U {}3,1=A =A C U 8.已知,,则_________________{
}3,1=U {}3,1=A =A C U 9.已知集合,，若∅且
B A ，求实数的值。

{
}21，A -={}
022
=+-=b ax x x B ≠B b a ,10.如果数集中有3个元素，那么不能取哪些值？{
}2,1,0+x x 11.不等式组的解集为，，试求及⎩
⎨⎧≤->-063012x x A R U =A A
C U 12.已知集合,{}52≤≤-=x x A {}
121-≤≤+=m x m x B （1）、若，求实数的取值范围。

A B ⊆m （2）、若，求A 的非空真子集的个数。

Z x ∈1.3集合的基本运算
1.3.1并集：一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作A ∪B,(读作“A 并B”).即 A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B}。

如图1-3-1所示。

例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∪B.解: A ∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}
再比如说，设集合A={x|-1<x <2},集合B={x|1<x<3}，求A ∪B.解: A ∪B={x|-1<x <2} ∪ {x|1<x<3}={x|-1<x<3}
图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3
1.3.2交集：一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作
A ∩B,(读作“A 交B”),即A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B}。

如图1-3-2所示。

例如，设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∩B.
解: A ∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5 ,8}
再比如说，新华中学开运动会,设A={x|x 是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}
B={x|x 是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A ∩B.
解:A ∩B={x|x 是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.
1.3.4补集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常
记作U.
对于一个集合A,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集. ，如图1-3-3所示。

例如，设U={x|x 是小于9的正整数},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以 CuA={4,5,6,7,8}； CuB={1,2,7,8} .
1.3.5集合中，一些常用的运算性质：B
C CuA B A Cu B C CuA B A Cu B A A C B A C B A U A Cu A A B B A A A A A A A B A B A B B A A B A A B B A A A A A u )()()13(;u )()()12();
()11();())(10(;
)()9(;)8(;)7(;)6(;
(5);
,(4);(3);(2); (1) ==⊆====∅==⊆⊆⊆=∅=∅=则本节精讲
一．有关两个集合的并集、交集的问题
1．已知集合M ＝{直线}，N ＝{圆}，则M ∩N 的元素个数为( )个．( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
2．(2010·江西理，2)若集合A ＝{x Error!}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B ＝( )
A ．{x |－1≤x ≤1}
B ．{x |x ≥0}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．∅
3．(09·山东文)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
4．(2010·福建文，1)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( )
A ．{x |2<x ≤3}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |2≤x <3}
D ．{x |x >2}
5．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )
A ．a ＜2
B ．a ＞－2
C ．a ＞－1
D ．－1＜a ≤2
6．(08·山东文)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．(09·全国Ⅱ理)设集合A ＝{x |x >3}，B ＝Error!，则A ∩B ＝( )
A ．∅
B ．(3,4)
C ．(－2,1)
D ．(4，＋∞)
8．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1,2}，Q ＝{－1,1,6}，则P ＋Q 中所有元素的和是( )
}
,|{A x U x x A C U ∈∈=且记作
A ．9
B ．8
C ．27
D ．26
9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N *}，B ＝{x |x ＝k ＋3，k ∈N }，则A ∩B 等于( )
A ．
B B ．A
C ．N
D ．R
10．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )
A ．{0,1,3,4}
B ．{1,4}
C ．{1,3}
D ．{0,3}
二、填空题
11．若集合A ＝{2,4，x }，B ＝{2，x 2}，且A ∪B ＝{2,4，x }，则x ＝________.
12．已知A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋1}，当A ＝{2}时，集合
B ＝________.
13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A ＝{x |x 2－px ＋15＝0}，B ＝{x |x 2＋qx ＋r ＝0}且A ∪B ＝{2,3,5}，A ∩B ＝{3}，则p ＝______；q ＝______；r ＝______.
三、解答题
14．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}
(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．
(2)若A ∪B ＝B ，a 的取值范围又如何？
15．设集合M ＝{1,2，m 2－3m －1}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，求m .
16．已知A ＝{1，x ，－1}，B ＝{－1,1－x }．
(1)若A ∩B ＝{1，－1}，求x .
(2)若A ∪B ＝{1，－1，}，求A ∩B .
12(3)若B ⊆A ，求A ∪B .
当x ＝时，A ∪B ＝{1，，－1}．
121217．某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？
18．已知集合A ＝{x |3x －7>0}，B ＝{x |x 是不大于8的自然数}，C ＝{x |x ≤a ，a 为常数}，
D ＝{x |x ≥a ，a 为常数}．
(1)求A ∩B ；
(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值集合；
(3)若A ∩C ＝{x |<x ≤3}，求a 的取值集合；
73(4)若A ∩D ＝{x |x ≥－2}，求a 的取值集合；
(5)若B ∩C ＝∅，求a 的取值集合；
(6)若B ∩D 中含有元素2，求a 的取值集合．
二．有关全集、补集、空集的问题
例1 判定以下关系是否正确
(1){a}{a}⊆；(2){1，2，3}＝{3，2，1}；(3){0}∅⊂≠
；(4)0∈{0}例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．
例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．
例设为全集，集合、，且，则≠
4 U M N U N M ⊂⊆[
]
例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是
[ ]
A A B
B A B
C A B
D A B ．＝．．．≠≠
⊇⊂⊃M 与P 的关系是
[ ]
A ．M ＝U P
B ．M ＝P
C M P
D M P
．．≠⊃⊆例7 下列命题中正确的是[ ]
A
．U (U A)＝{A}
B A B B A B
C A {1{2}}{2}A
．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B
．若＝，，，＝，则∈⊆
例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}
，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．
例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24 }Z ∈+=κπκπ,24x x 则
[ ]A ．M ＝N
B M N
C M N
．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素。