椭圆综合题中定值定点、范围问题总结1

椭 圆

一、直线与椭圆问题的常规解题方法:

1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）

2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

3.联立方程组；

4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

5.根据条件重转化；常有以下类型：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）

⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”

⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”

⇔12120x x y y +>>0；

③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”

（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）；

⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的

合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：

1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求

出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，

5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、

三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等

式的方法等再解决；

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，

关键是积累“转化”的经验；

椭圆中的定值、定点问题

一、常见基本题型：

在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题

1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012

x x

y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n

则0000001

212022x n

m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得3200020432

0000

2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩

∴ 直线PN 的斜率为432000003200004288

2(34)n y x x x x k m x y x x -++--==

---+ 从而直线PN 的方程为： 43200000032

0004288

()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)

14288

y x x x y x x x x --+=+++--

从而直线PN 恒过定点(1,0)G

2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

2

，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；

2、解：（1）设椭圆方程为22

221y x a b +=，由题意可得

2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22

142y x +=

则12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---

22

1200(2)1PF PF x y ∴⋅=--= 点00(,)P x y 在曲线上，则

2200 1.24x y += 2

2

0042

y x -∴= 从而2

2

004(2)12

y y ---=

，得0y =P

的坐标为。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB

的直线方程为：(1)y k x =-

由22(1)

124y k x x y ⎧=-⎪⎨+

=⎪⎩

得222

(2)2))40k x k k x k +++-=

设(,),B B B x y

则222

2(2

122B k k k x k k --=-=++

同理可得2222A k x k +-=+

，则2

2A B x x k

-=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k

-=----=+ 所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -=

=-

3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22

:

155

3

x y C +=相交于A B 两点,已知点 7

(,0)3

M -， 求证：MA MB ⋅为定值.