高等数学第一章的总结

x 0

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左极限存在,
1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x
右极限存在,
lim f ( x ) lim f ( x )
x 0 x 0
lim f ( x ) 不存在.
x0
补充结论： lim f ( x ) 0 lim f ( x ) 0.
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
例
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大. ( 型 )
2x3 3x2 5 求 lim 3 . 2 x 7 x 4 x 1
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
函数的特性：
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M M
y
x
有界 X
x0
o -M X 无界
x
数列的有界性：
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正 整数 n, 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
称 f ( x )为奇函数 ;
y
y f ( x)
f ( x)
-x o
f ( x )
x
x
奇函数
函数的周期性:
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.
1 1 1 lim n 2 1 2 2 n n n 2 n n
例：
1 2 n 1 n lim ( e e n e n ) n n
e x d x e 1
0
1
1 解：原式 lim n n
1 n e n (1 e n ) 1 1 en
故 D f : [ 3,1]
思考题
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0) 的解析表达式.
思考题解答
1 设 u x
1 1 1 1 u2 则 f u 1 2 , u u u
1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x
1 x 2及2 x 4,
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
例
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
1 2n 2 原式 nlim n i 1 i 1 n i 1 x n n 左边 lim = 右边 2 0 2 d x n n 1i 1
i n
n
n
i
1 a ) ( n 1 , 2 , ) , 且 x1 0 , 设 n 1 ( xn 2 xn 利用极限存在准则 a 0 , 求 lim xn .
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a ) { x a x a }.


x
a a a 点a的去心的邻域, 记作U 0 ( a ).
0 U (a) { x 0 x a }.
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零. ( 型 ) 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
过 程 过 时 程 刻
x x0
x x
0
x x0
从此时刻以后 0 x x 0
0 x x0
x x0 0
f ( x)
f ( x) A
思考题
1 x sin , x 试问函数 f ( x ) 10, 2 5 x ,
5 x3 2. 7 1 x3
(无穷小因子分出法)
结论:当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
a0 , 当n m , b m m 1 0 a 0 x a1 x am lim 0, 当 n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
极限是否存在？
x0 x 0 在x 0 处
x0 的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x ) 的
思考题解答
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
x x0
x 0
lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5,
绝对值:
a a0 a a a 0 运算性质: ab a b ;
a a ; b b
绝对值不等式:
( a 0)
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
．

3l 2

l 2
l 2
3l 2
典型例题
例
解
求函数 y log ( x 1 ) (16 x 2 )的定义域 .
16 x 2 0,
x 1 0, x 1 1,
即(1,2) ( 2,4).
x 4 x 1 x 2
2
二、极限
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
n
lim f ( x ) A;
x
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
x
lim f ( x ) A;
x x0
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A.
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
x x0
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
x 1
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
n
例：x
1 a a 解： xn1 (xn ) xn a 2 xn xn 1 a xn1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界， 设 故极限存在， lim xn A 则由递推公式有
1 a A ( A ) 2 A
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后, 恒有 f ( x ) A .
(见下表)
n x x x N 时 刻 x N x N x N 从此时刻以后 n N f ( x) f ( x) A
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). 0 0 ... 0 0 n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim ( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
函数 极限（数列极限、函数极限） 连续（或间断） 性质（闭区间上连续函数）
内容
一、函数：
:函数的分类
代 数 函 数
有 理 函 数 有理整函数(多项式函数)
函 数
初 等 函 数
有理分函数(分式函 数)
无理函数 超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等 函数)
邻域:
设a与是两个实数 , 且 0.
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
例. 证明 由 证: 利用夹逼准则 . 1 1 1 n2 n 2 2 2 2 n n n n n 2
且
1 n2 lim lim 2 1 n 1 2 n n n
lim f ( x) a lim f ( x) a.( a 0)
小结:
1. 设 f ( x ) a 0 x n a1 x n 1 a n , 则有
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 xa n f ( 0 ). x x0 x x0 x x0
1 解：原式 lim n n
1 1 1 1 ( i ) 2 0 1 x 2 d x 4 i 1 n
n
1 n 2 n n n
2 2 2 2. 求极限 lim ( ). n n 1 n 1 n1 2 n
提示： lim 1 n n 1
(1 e ) lim
1 n
1 1 en
n
ln(1 u) (1 e ) lim (1 e ) lim u u 0 u0
1 ln(1 u) u
e 1.
n n n lim 求极限 n ( n 2 1 n 2 2 2 n 2 n 2 ). 1.
补充内容： 1.单调递增且有上界数列必有极限。 2.单调递减且有下界数列必有极限。
2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 x 2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的;
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f ( x ) f ( x )
a0 x0 a1 x0
n
n 1
an
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )
lim f ( x )
P ( x0 ) lim Q( x ) Q( x 0 ) f ( x 0 ). x x
x x0
0
lim P ( x )