不确定度概念及评定

不确定度概念及评定
1. 不确定度概念
不确定度就是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。

它是对测量结果受测量误差影响不
确定程度的科学描述。

具体地说，不确定度定量地表示了随机误差和未定系统误差的综合分布范围，它可以近似地理解为一定置信概率下的误差限值。

分类：一是用统计学方法计算的A 类标准不确定度A u ，它可以用实验标准误差来表征；另一类是其它非统计学方法（或者说经验的方法）评定的B 类标准不确定度
B u 。

2. 标准不确定度评定 考虑正态分布，有
）
（）（11
2
--=
=∑
=n n x x S u N
I i
X A
3/A u B = （A 为仪器的仪器误差限，并认为它是均匀分布） 上式称为贝塞尔公式。

3. 合成标准不确定度c u
A 类和
B 类标准不确定度用方和根方法合成，得到直接测量结果的合成标准不确定度c u ，即
2
2B A c u u u +=
4. 扩展不确定度U
在工程技术中，置信概率P 通常取较大值，此时的不确定度称为扩展不确定度。

常用标准不确定度的倍数表达，即
c ku U = （32、=k ）
当k 取2，且对应不确定度分布为正态分布时，置信概率P 约为95%。

而当不确定度分布
不明确时，我们不具体说它的置信概率是多少。

在实验教学中，统一用c u U 2=（我们认定总的不确定度符合正态分布）来对实验结果进行评定。

在此我们约定，用x x B A U u x u x u 、）、（）、（分别表示某被测量的标准A 类、B 类、合成和扩展不确定度。

一般情况若我们不特别指明，不确定度均指扩展不确定度。

三、测量结果的表达
1. 单次测量
单次测量在实验中经常遇到，很显然，A 类不确定度无法由贝塞尔公式计算，但并不表示它不存在。

在教学实验中，我们可认为A u ＜＜B u ，从而得到
3/A u u B c =≈ 其中A 为仪器误差限。

A 一般取仪器最小分度值。

对于电工仪表有两种情况：
电表： A =量程×准确度等级（%） 电阻箱、电桥、电势差计等可以近似取 A =示值×准确度等级（%） 因此，测量结果可表达为
c u x x 3±=
2. 多次直接测量
设测量值分别为.,......,,21n x x x ，则
∑==n
i i x n x 1
1
）
（）（11
2
--=
=∑
=n n x x S u N
I i
X A
3/A u B =
22B
A c u u u += 测量结果表示为：
c u x x 2±= x
u E c
=
（用百分数表示）
试求其不确定度
∑==10
1
101I I D D =18.000 mm
）
（11010)(10
1
2
--=
∑=I I
A D D
u =0.0013 mm
mm A u B 0058.03/==
=+=+=222
2
0058.00013.0B D c u S D u ）
（0.006 mm 结果为
0012.0000.18±=D mm %06.0=E
试计算出电压的不确定度）
（U u c 。

542.110110
1
≈=∑=I I U U v
=--=
=∑=）
（11010)(10
1
2
i I
U A V V
S u 0.004 v
=A 2.00×0.5% = 0.01 v ==3
A u
B 0.0058 V 0072.00058.0004.0222
2
≈+=+=B u c u S U u ）
（ v 结果为
015.0542.1±=U v %1=E
四、间接测量结果的评定
在间接测量中,待测量是直接测定量的函数。

由于各直接测定量不可避免地存在误差，必然会导致间接测定量产生误差。

相应地，各直接测量不确定度将会按某种规律影响间接测量结果的总不确定度。

这就是间接测量结果的不确定度的合成。

1.不确定度传递公式
设间接测定量y 是各直接测定量m x x x ,...,,21的函数，即 ),...,,(21m x x x f y =
若各直接测定量的平均值为i x （m i ,...,2,1=），则间接测定量y 的平均值为 ),...,,(21m x x x f y =
基于随机误差的抵偿性不难证明，上式就是间接测定量的最佳估计值。

若各直接测定量相互独立，其误差为i x ∆),...,2,1(m i =，则由此产生的间接量y 的标准不确定度为
m m
y x x f
x x f x x f ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=
∆...2211 对于已定系统误差),...,2,1(m i x i =∆，其大小和符号确定，可以直接用上式计算间接测定量的误差，即上式就是已定系统误差合成公式。

一般情况下，我们要求以不确定度大小来评价成立结果。

按照国家《测量误差及数据处理技术规范》JJG1027-91要求及国际惯例，间接测定量的合成不确定度采用方和根方式合成，将上式改写为
其中),...,2,1(m i x u i c =）
（为直接测定量i x 的标准不确定度。

这就是间接测量结果的不确定度合成公式（误差传递公式）。

两点提示：
（1） 间接测定量的合成不确定度不仅依赖于各直接测定量的不确定度
）
（i c x u ，而且还与系数i
x f
∂∂（不确定度传递系数）有关。

因此，测量时应该首先注意提高不确定度传递系数比较大的直接测定量的测量准确度。

（2） 考虑到不确定度只保留1-2位有效数字，在实际的不确定度合成计
算过程中，如果发现公式中某几分项不确定度相对很小且其方和根小于某另一分项的1/3，即几小项的平方和小于某一大项平方的1/9，则可忽略这些微小项不计。

这称为微小误差取舍准则。

利用微小误差取舍准则可以简化计算，尤其当项数较多时，这种简化更是必要。

例3．测量圆柱体的体积，分别用游标卡尺和螺旋测微计测量圆柱体的高H 和直径D ，测量数据如下：
高 H = 45.04 mm （单次测量）
直径 D = 16.272，16.272，16.274，16.271，16.275，16.270，16.271，16.273 mm （游标卡尺分度值0.02 mm ，一级螺旋测微计测量范围0-25 mm ，示值误差限为0.004 mm ），试计算圆柱体的体积和合成不确定度。

解：先计算直接测量量高H 和直径D 的平均值及其标准不确定度。

其中单次测量量高
2
222222121)(...)()(）（）（）（）（m c m
c c c x u x f x u x f x u x f y u ∂∂++∂∂+∂∂=
的标准不确定度
mm A H u H c 012.03/==）（ 直径的标准不确定度
mm D D i i 2726.16818
1
==∑=
mm D D
S D u i i
D A 0007.08
18)(8
1
2
=--==∑=）（）
（
mm A D u D B 0022.03/==）
（ mm u S D u B D c 0023.02
2=+=）
（
圆柱体体积
32293672726.1604.454
1416
.34
mm HD V =⨯⨯=
=
π
这里V 与H 和D 为乘除关系，据经验，先求V 的相对不确定度V V /∆。

为了简便， 先对24
HD V π
=
两边取对数
4
ln ln 2ln ln π
++=D H V
两边全微分，有
D
dD
H dH V dV 2
+= 换微分为相对标准不确定度，得V 的相对不确定度 22)2()(D D u H H u V V u E c c c V ）（）（）（+==
2
2)16
0023.02()450007.0(
+=
4
105.3-⨯= 体积的绝对标准不确定度
3433.3105.3104.9mm E V V u V c =⨯⨯⨯=⋅=-）
（ 圆柱体体积测量结果为
3
79367mm V ±=
3. 实验教学中有关不确定度公式推导举例
例4
在光栅衍射测量光的波长实验中，其公式为λϕk d =sin （......321、、=k ）
，其中ϕ、d 为直接测量量，试推导出波长的不确定度表达式。

解：当k 取定后，对公式取对数，得 ϕλsin ln ln ln ln +=+d k
对上式微分有
ϕϕϕϕϕλ
λ
d ctg d
dd
d d dd d +=+=
sin cos 上式用不确定度改写为
22））（（））（（）（ϕϕλλλc c c u ctg d
d u u E +==
上式即波长的相对标准不确定度。

由它很容易得到绝对不确定度。

从以上的解题过程可看到，对有些间接测量若因变量与自变量关系是以乘除关系为主，则先计算相对标准不确定度再计算绝对不确定度显得更为简单。

其基本方法是：
1.先取对数
2.对对数表达式微分
3.将微分改为标准不确定度
4.在方和根合成即可得到相对标准不确定度。