数列与函数极限(综合资料含答案)

83．数列、函数的极限（选II ）

一、考试大纲扫描

1．了解数列极限和函数极限的概念．

2．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

3．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

二、知识梳理与方法提炼

1．数列极限

（1）数列极限的概念：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限趋近于某个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞

=。

（2）数列的极限运算：如果B b A a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ，那么

B A b a n n n ±=±∞

→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞

→)(lim ；)0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n

注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：

(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的； (b)参与运算的数列的个数必须是有限个；

（c ）若参与运算的数列的个数是无限个，则先求和整理，再求极限。 （3）几个重要的极限

lim n C C →∞

=（C 为常数）， lim 0(1)n

n q q →∞

=<， 1lim 0()k

n k R n +

→∞=∈

（4）无穷等比数列各项的和

在无穷等比数列{}n a 中，如果01q <<，n s 表示其前n 项和，那么我们称n

n s s ∞

→=lim 为这个无穷等比数列各项的和，且q

a

q q a S s n n n n -=--==∞→∞→11)1(lim lim 11。

注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比q 满足01q <<。

2.函数极限

（1）当x →∞时函数()f x 的极限:

当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数()f x 的极限是a ,记作a x f =+∞

→)(lim x ,(或x →+∞时, ()f x →a )

当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数()f x 的极限是a ,记作a x f x =-∞

→)(lim ,(或x →-∞时, ()f x →a )

注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题

=+∞

→)(lim x f x a x f x =-∞

→)(lim ⇔a x f x =∞

→)(lim

（2）当0x x →时函数()f x 的极限:

如果当x 从点0x x =左侧（即0x x <）无限趋近于0x 时，函数()f x 无限趋近于常数a 。就说a 是函数()f x 的左极限，记作a x f x =-

→)(lim 0x 。

如果当x 从点0x x =右侧（即0x x >）无限趋近于0x 时，函数()f x 无限趋近于常数a 。就说a 是函数()f x 的右极限，记作a x f x x =+

→)(lim 0

。

当自变量x 无限趋近于常数0x （但0x x ≠）时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于0x 时, 函数()f x 的极限是a ,记作a x f x x =→)(lim 0

,(或0x x →时, ()f x →a)

注：（a ）=-

→)(lim 0

x f x x a x f x x =+→)(lim 0

⇔a x f x x =→)(lim 0

。并且可作为一个判断函数在一点处

有无极限的重要工具。

(b)a x f x x =→)(lim 0

与函数()f x 在点0x 处是否有定义及是否等于0()f x 都无关。

（3）函数极限的四则运算：

如果a x f x x =→)(lim 0

，b x g x x =→)(lim 0

，那么

b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0

； b a x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0

； b

a

x g x f x x =→)()(lim

（b ≠0） 3.函数的连续性

一般地，函数()f x 在点0x x =处连续必须同时满足下面三个条件： （1）函数()f x 在点0x x =处有定义； （2）)(li 0

x f m x x →存在；

（3）)()(li 00

x f x f m x x =→，即函数()f x 在点0x 处的极限值等于这一点的函数值。

4.数列极限常见题型

（1）分子和分母都是关于n 的多项式的极限，呈“

∞

∞

”型，通常同除以n 的最高指数项； （2）分子或分母中含有无理式求极限时，先对分子或分母进行有理化进行转化； （3）所求极限式为n 项的和（或积），通常先求和（或积）化简，再求极限；

（4）lim n n n n

n a b c d →∞++型，分子分母同除以底数绝对值较大的项，然后利用极限四则运算求解。

5.函数极限常见题型

（1）当x →∞时，求函数的极限：

①若出现“

∞∞

”型，分子分母同除以x 的最高次幂，再利用1

lim 0k n x →∞=（k>0）求极限；

②若出现“∞-∞”型，先变形，再求极限，变形手段：通分、因式分解、有理化等；

（2）当0x x →时，求函数的极限:

①若0x 在函数的定义域中，则只需将0x x =代入解析式中即可；