2013高考数学 解题方法攻略 函数与导数2 理

ba 对称； 2
②如 f ( x) 经过变换得到两函数 y f (a x) 和 y f (b x ) ，则所得两个函数图像关于
-1-
x
ba 对称； 2
③如 f (a x) f ( x b) 恒成立 函数 f ( x) 是以 T a b 为周期的周期函数； ④如 f ( x) f (2a x) 2b 恒成立 函数图像关于点 (a, b) 对称； ⑤如函数 f ( x) 的图像关于 x a 对称， 又关于 x b(a b) 对称， 则函数 f ( x) 一定是以
专题二
函数与导数
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一．专题综述 函数是整个高中数学的核心内容，所有知识都围绕这一主线展开，均可以与函数建立联 系，函数知识的运用也贯穿高中学习的全过程，理所当然是高考的重点。 1.考纲要求 （1）掌握集合的概念与运算； （2）了解映射的概念； （3）掌握函数、反函数的概念，会建立简单的函数关系，并能求简单函数的反函数； （4） 理解函数图像及函数图像关系的重要结论，能借助函数的图像解决函数自身、 方程、 不等式的有关问题； （5）掌握函数的性质（定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性） ；能借助函数 的性质去解决问题； （6）掌握函数的极限的定义，能求简单函数的极限；掌握函数连续的概念，了解函数有 极限、连续的关系； （7）掌握导数的概念及意义，掌握常见函数的导数公式，能用导数求曲线的切线方程， 能求简单函数的导数，能利用导数研究函数的单调性、最值。 2.考题设置与分值： 每年高考试题涉及函数的题目都占有相当大的比重（约 30 分） ，具体表现在： （1）以客观题的形式独立（或简单综合）考查函数的概念、图像、性质及其应用； （1-2 题） （2）以主观题（解答题后三题之一）的形式考函数与导数的综合（1 个解答题） （3）在其它知识考查时加入函数的成分，主要体现在：①不等式与函数综合；②数列与 函数综合；③解析几何与函数综合。 3.考试重点及难度： （1）函数的基本性质，是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是 高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。 研究基本性质：①不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右 方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度；②对函数单调性要深 入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌 握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之 间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单 调性的判断方法等等；③要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用 单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。 (2)函数的图像。函数图像是函数形的体现，高考着力考查学生作图、识图、用图能力。 作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析 函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题 代数化。 (3)函数的一些小结论。要重视并加强一些小结论形成过程的理解：例如：设函数 f ( x) 的定义域为 R ，则有： ①如 f (a x) f (b x) 恒成立 函数 f ( x) 图像关于 x
f ( x) 的图像是（
2
）
2


A
2

B
2
2


2
C

D
2
-2-
【解析】解一：定量分析。可列出 f ( x) x sin x ，知 0 x 时， f ( x) x ， f ( x) 图 像在 y x 下方； x 2 时， f ( x) x ， f ( x) 图像在 y x 上方。选 D 解二：定性分析。当 x 从 0 增至 2 时， f ( x) 变化经历了从慢到快，从快到慢的过程。 解三：观察 f ( x) 满足： f ( t ) f ( t ) 2 f ( ) ，故 f ( x) 图像以 , 为对称中心。 【注】 此题考查作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求 f ( x) 解析式，把图像 与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。 【练习 1】已知函数 y f (2 x 1) 为偶函数，则函数 y f (2 x) 图像关于直线 函数 y f ( x) 图像关于直线 对称。 对称，
b 图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。 x
(4)函数思想与方法。函数是高中数学的主线，在考查其他知识时（如：方程、不等式、 数列、解析几何、立体几何等）运用函数观念和方法找出解决问题的突破口这也是高考一种 趋势； (5)导数。利用导数去研究函数，进而研究方程、不等式，这是高考的一个重要考点，一 般以解答题的后三题的形式出现，所以有一定的难度。 二．考点选讲 【考点 1】函数的图像及其应用： 以客观题的形式考察函数的图像及其应用，这是高考的必考点，他体现了数形结合的数 学思想。这类题一般以客观题的形式出现，虽说难度不大，但往往比较灵巧。对函数的图像 我们不仅要会作，还要能识图、用图。 【例 1】单位圆中弧 AB 长为 x ， f ( x) 表示弧 AB 与弦 AB 所围成弓形面积的 2 倍。则函数
T 2 a b 为一个周期的周期函数；
⑥如函数 f ( x) 的图像关于 x a 对称，又关于点 (b, c) 对称，则函数 f ( x) 一定是以
T 4 a b 为一个周期的周期函数；
再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函 数的模型。如 f ( xy ) f ( x) f ( y ) ， f ( xy ) f ( x) f ( y ) ， f ( x y ) f ( x) f ( y ) 1 f ( x) f ( y ) 再如：指数函数 f ( x) ax