圆的性质——椭圆问题伸缩变换
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一
进行分类讨论去解 决问题．
例 不 式２ １０一 （ ］成 ｌ若 等 ＋≥对 切 ｅｏ 恒 ＋ ， ÷
立 ， 实数 。的取值范 围． 求
、
实根分布法
解 令 ＝ 十＋只做 ： （ ］， ） ２ １需 到 ０ 时 ， 当 ， ÷
ｆ ｘ 的图象不在 轴下方． （） 由于二 次函数 图象的对称轴 ＝一
， ，
１ —丫 丫 丫
．ｒ １ １ 广 广丫
］广丫 丫 广 丫 丫 ｒ丫
． １ｒ 丫 ｒ］● 丫 １● ］一 ＇ ｒ － 丫
・
含 参 不等 式恒成立 问题 的求解 策略 ｌ
・
ｌ ｌ
・
・
ｊ ｊｌ —ｊ Ｌ ｊ ｊ ＿ － ｊ 上 工－
ＪＬ—Ｌ 上
一 ．工 工 Ｊ ｊ ｊ ｊ —ｊ ． ＪＬ—Ｌ ＪＬ 工
（ ｋ＞０ ｋ≠ １ 称 为伸缩变换 ， ＞１ ， ） 时为压缩变换 ， ０＜ｋ＜１
（） １ 直线 Ｒ Ｓ 、 Ｎ与 圆相切 ；２ Ｍ，Ｔ Ｒ （） 线段 Ｒ ． Ｒ Ｍ、 、 Ｎ分别被点 ． Ｐ、 分 ｓ ｓ Ｔ 、
图２
通过 伸缩变换 ， 现了椭 圆与 圆之 间的 内在 联系 ， 展 我们研
成的线段之比不变， 丽 ＮＴ 笪 的比值 在变换后保 持不变． 即Ｍ 丽 Ｒ
、
、
Ｔ Ｐ
究伸缩变换 中的有关 性质 ， 以从 圆的有关性 质探索 、 就可 发现 椭 圆的相关 性质 ， 而帮助我们 更好地认识椭 圆 、 有关 Ｉ 从 解决
题．
Ｓ ＝ｓ 、Ｍ ＝Ｒ 、 ＝ ’ 丽 Ｎ ・ Ｓ ＝１相应 的 Ｍ ＰＲ Ｎ 故ＭＲ・ Ｐ ｒ ． 伽
《 数理化解题研究￣ Ｏ１年第 期 ２ｌ
数学篇
２ ３
苏州大学附属 中学 （１ ０６ 葛桂华 ◆ ２５ ０ ）
一
、一
道 例题及其教学预期
换之后 是其 本身（ 可称 为变换 中的不 动点 ） （ ）直 线变 换后 ；２
相 比较 以前所用 的教 材 ， 普 通高 中课程标 准实验教科 在《 书选修 ２一ｌ 数学》 江苏 教育出版社 ） ２ ， （ 第 ７页 就圆锥 曲线中
Ｐ 有丽 Ｐ Ｐ Ｍ Ｔ ・ Ｍ ＳＭ Ｎ ・ Ｐ Ｒ・ Ｓ＝Ｍ ｒ Ｓ Ｒ・ ¨Ｒ Ｎ Ｓ ＲＮ Ｔ
＝１ － ． 。
容易得到下 列伸缩 变换的 关性 质 ：１ （） 轴上的点经 变
，
２ ４
数学篇
＝ 一
，
《 数理化解题研究》 』 年第 期
、 卜 ｋ， （
Ｙ ＝４， 以 ＋４， ＝４ 即 一＋ｙ “ 所 ） ， ２＝ １ ．
Ｂ
／ 一 ‘
这就是变换后所得 曲线 的方程 ， 它表示一个椭圆． 这道例题在教学参考 书 中明确指 出 ： 运用 方程证 实猜 ①
＼ ／ＮＡＭｔ ／ Ｊ ２
Ｃ
想 ： 圆可 用圆进行 压缩变换得到 ； 揭示椭 圆与圆之间的内 椭 ②
ｊ ｊ ～一工 ｊ ｊ ｊＬｊ －工 ｊ ｊ —乙 ｊ ＿ ．
上
福建省永安第一 中学 （６００ 唐为民 ● ３６０ ）
若含参数不等式对 于给定 区间内任 意值都成 立 ， 我们称 它为含参数不等式恒 成立 问题． 种类 型的题 目是高考 命题 这
的一个热点． 本文 试对 这类 问题 的求解策 略作 ～些归 纳和 总 结， 以供 师生们参考．
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
Ｆ 设过点 Ｔ ｔｍ） ， （， 的直线 ， 与椭 圆分别交 于点 Ｍ（ ，） 船 。ｙ ， Ｎ（２ ） 其 中 ｍ ＞０Ｙ ｘ， ， ，Ｉ＞０，２＜０ Ｙ ．
① 略； 略； 设ｔ ９ 求证： ② ③ ＝ ， 直线ＭＮ必过 轴上的一定
例 ２ 如图 ２ 点 ， Ｐ是椭 ， Ⅳ， 圆上三个不同 的点 ， 该三 点分别 过
二 、 缩变换及其有关性质 伸 上面 出现 的变换 把 圆变 换成椭 圆， 故可 以形象 地把 它称
ｒ ＝ ，
作椭圆的切线 ， 三切线两两相交。 设 交 分别为Ｒ ｓ 求证： ・ ・ 、、
ｏｃ
＿ ＿
的内在关 系进行类 比探 索 ， 即 ． 的有关性 质发 现椭 圆的相 圆
关性质 ， 是为学生 将来作 准备 ， 之后 的合情推 理教学 中 ， 也 而
是否对这里揭示 的椭 圆与 圆的 ； 关系作 类 比探 索 ， 就不 勺在 那
得而知 了．
wk.baidu.com
Ｄ
，
即 Ｏ ・ Ｎ ＝Ｏ ・ Ｃ ＝Ｏ Ｍ Ｏ Ｂ Ｏ Ａ．
在关系 ， 为学生将来能运用这种 内在 联系进行类 比探索 ， 即从 圆的有关性质发 现椭 圆的相关性 质 ， 作准备． 上面 的例题往往 在教学中无论 对于学生 还是教师 都显得 相对“ 平静 ” 其原 因在 于对“ ， 压缩变换 ”认识 和理解 是不到位
的 ， 至于对此 都没有 必要提 ； 甚 另外 ， 于运用椭 圆与 圆之问 对
椭圆部分增加 了下面的例题．
还是直线 ：３ 两直线平行 、 （） 相交的性质不变 ；４ 平行或共线 （）
的两线段的长度 比例关 系不变 ； ５ （ ）直线与椭 圆 （ 或圆 ）的 位
置关系不变．
例 ２ 将 圆 ＋ｙ ２＝４上的点横坐标保持不变 ， 纵坐标变 为原来的一半 ， 求所得 曲线的力程 ， 并说 明它 是什 么曲线． 解 设所 得曲线上 任一点坐标为（ ） ， ，） 圆 ＋ ， ， ） ＝４ ｔ 一 －
． ．
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
为压缩变换； 那么， 反过来， 通过变换｛． １ ｔ 【 ｇ 可以把椭
Ｙ Ｕ－ Ｙ，
解析 可 以把椭圆 利用 伸 缩 “
变换成 圆， 伸 缩 变换 性 质 可知 ， 由
圆 ＋２ 变 成圆 一 ｙ ：１ 换 ． 般地，们 把 换』 我 可以 变
时为拉伸变换．
ｔ ＝ ｋ ｙ ｙ
对椭圆问题借 助圆 的相 关性 质来认 识和解 决 ， 一方 面是 对教 材中例题 的作 用亦 或教参 中提出的揭示 圆与椭 圆之问 关系有 个解释 ； 男一方面也对学有余力 的同学有些触 动 ， 或者 说希 望 能激发他们对数学学习的兴趣 ； 也有抛砖 引玉 的意思．
学 ｙ ２容 得 直 恒 定 Ｑ 气一 ） 此 知 ｎ ＝５ 易 到 线 过 点 （ 寺 ・ 可 原 ， ） ， 嚣， 由
Ｔ ・ Ａ—Ｈ Ｈ 即 ｔ Ｍ Ｔ Ａ・ Ｂ， ＋（ ９～ｈ ＝ｔ ９ ） ＋ 一９一（ ３一ｈ （ ）ｈ
＋ ）所 以ｈ＝１也就是说直线 Ｍ ３， ， Ｎ必过 轴上的一定点 日 １ （，
０． ）
点 Ｐ在直线 ｚ 一 ： ５
一 ０：ｏ上 ， ５ 一２＿ —７ ７ 即 粕 １０ ０：０ ｙ
ｒ ．．
这里所 指出的有 关伸缩变换 的性质 ， 比较 简单 的， 是 其证 明也是很容易的． 罗列 出这些性质 ， 以更好地赏 析下 面用 圆的
相关性质处理椭 圆问题 的例题． 三、 用圆的相关性质处理椭圆问题
，
一
的对应点的坐标为（ Ｙ ， ， ） 由题意可得｛ 一 因为 ＋
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
图１
变换成圆 ， 由伸缩 变换 性 质可 知 ， 在 轴 上 为不 动点． 时 ， 此 Ｏ Ｏ 、Ａ Ｂ、 Ｃ Ｏ 都是 圆０半径 ，Ｃ是圆 ０的直径 ， ／ Ｐ Ｂ 有 ＿Ｂ Ｃ＝９ 。 ０，
故 Ｃ Ｍ ＝ Ｏ Ｃ， 以 ｚＯ Ｃ Ｂ Ｎ 所 ｘ Ｎ △Ｄ Ｍ， Ｂ 由此僭到 Ｎ ＝ Ｏ
Ｂ Ｄ交于点 肘， 则 ＝Ｐ Ｐ Ａ・ Ｄ— Ｍ ・ ． Ａ ＭＣ 可以得 到 ： ＝
Ｐ Ｐ， Ｍ、Ｎ 切点分别为 Ｍ、 连结 Ｍ ． １ Ｎ， Ｎ （）当点 Ｐ在直线 ｌ 上运
动时 ， 明： 证 直线 ＭＮ恒过定点 ；２ （ ）当 ＭＮ上 ｌ ， 时 定点 Ｑ平 分线段 ＭＮ ． 设 点 Ｐ的坐标 为 （０ ） 易知直 线 ＭＮ方程为 ： ， ， ｙ＝２ ． ５ 又
ｔ ＝２ ｙ ｙ．
２
例ｔ 如图１椭圆ａ ＋Ｄ ＝ ， 鲁
１（ ａ＞ｂ＞０ 与 轴交 于点 Ａ 与 ） ，
ｙ轴交 于点 Ｂ、 ， Ｃ 在椭 圆上 任取 一 点 Ｐ， 连结 Ｂ Ｃ 分别与 轴交于 Ｐ、Ｐ， 点 、 求证 ： Ｍ ・ Ｎ ＝Ｏ Ⅳ， Ｏ Ｏ Ａ．
解析 可 以把椭 圆利 用伸缩
例 ３ （０８ ２０ 湖南省高中数
学竞赛 ） 图３过 直线 ｚ ｘ ７ 如 ， ： 一： ５
． ．
即点 Ｐ（
， 一
）Ｐ ，Ｑ的斜率 ＝一２ 可知 １
，
２
Ｐ Ｑ上ＭＮ， Ｐ ＝Ｐ 所 以点 Ｑ是线段 ＭＮ的中点 ， 又 Ｍ Ｎ， 即点 Ｑ平
分线段 侈 （ ００年全 国高考 江苏第 １ ０ ４ ２１ ８题 ）在平 面直 角 坐标
题中的定点 Ｑ的坐标为（５ － ２ ｆ
Ｅ蓠 ｌ ．＾ — 卜 ＾ ¨ ｔＪ芒 Ｌ．，
， 一 。
９、 ） ・
对于（ ）就是要证 明定 点 Ｑ是线段 Ｍ ２， Ｎ的 中点 ， Ｍ ／ 由 Ｎ／
￣ ３５ ｆ ５０ 了 Ｏ 结合５。 了 一 ０＝ｏｆ ｔ ＝４ ７ 知， ２ 。＝ ， ｙ １ 一２ １ ７
进行分类讨论去解 决问题．
例 不 式２ １０一 （ ］成 ｌ若 等 ＋≥对 切 ｅｏ 恒 ＋ ， ÷
立 ， 实数 。的取值范 围． 求
、
实根分布法
解 令 ＝ 十＋只做 ： （ ］， ） ２ １需 到 ０ 时 ， 当 ， ÷
ｆ ｘ 的图象不在 轴下方． （） 由于二 次函数 图象的对称轴 ＝一
， ，
１ —丫 丫 丫
．ｒ １ １ 广 广丫
］广丫 丫 广 丫 丫 ｒ丫
． １ｒ 丫 ｒ］● 丫 １● ］一 ＇ ｒ － 丫
・
含 参 不等 式恒成立 问题 的求解 策略 ｌ
・
ｌ ｌ
・
・
ｊ ｊｌ —ｊ Ｌ ｊ ｊ ＿ － ｊ 上 工－
ＪＬ—Ｌ 上
一 ．工 工 Ｊ ｊ ｊ ｊ —ｊ ． ＪＬ—Ｌ ＪＬ 工
（ ｋ＞０ ｋ≠ １ 称 为伸缩变换 ， ＞１ ， ） 时为压缩变换 ， ０＜ｋ＜１
（） １ 直线 Ｒ Ｓ 、 Ｎ与 圆相切 ；２ Ｍ，Ｔ Ｒ （） 线段 Ｒ ． Ｒ Ｍ、 、 Ｎ分别被点 ． Ｐ、 分 ｓ ｓ Ｔ 、
图２
通过 伸缩变换 ， 现了椭 圆与 圆之 间的 内在 联系 ， 展 我们研
成的线段之比不变， 丽 ＮＴ 笪 的比值 在变换后保 持不变． 即Ｍ 丽 Ｒ
、
、
Ｔ Ｐ
究伸缩变换 中的有关 性质 ， 以从 圆的有关性 质探索 、 就可 发现 椭 圆的相关 性质 ， 而帮助我们 更好地认识椭 圆 、 有关 Ｉ 从 解决
题．
Ｓ ＝ｓ 、Ｍ ＝Ｒ 、 ＝ ’ 丽 Ｎ ・ Ｓ ＝１相应 的 Ｍ ＰＲ Ｎ 故ＭＲ・ Ｐ ｒ ． 伽
《 数理化解题研究￣ Ｏ１年第 期 ２ｌ
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２ ３
苏州大学附属 中学 （１ ０６ 葛桂华 ◆ ２５ ０ ）
一
、一
道 例题及其教学预期
换之后 是其 本身（ 可称 为变换 中的不 动点 ） （ ）直 线变 换后 ；２
相 比较 以前所用 的教 材 ， 普 通高 中课程标 准实验教科 在《 书选修 ２一ｌ 数学》 江苏 教育出版社 ） ２ ， （ 第 ７页 就圆锥 曲线中
Ｐ 有丽 Ｐ Ｐ Ｍ Ｔ ・ Ｍ ＳＭ Ｎ ・ Ｐ Ｒ・ Ｓ＝Ｍ ｒ Ｓ Ｒ・ ¨Ｒ Ｎ Ｓ ＲＮ Ｔ
＝１ － ． 。
容易得到下 列伸缩 变换的 关性 质 ：１ （） 轴上的点经 变
，
２ ４
数学篇
＝ 一
，
《 数理化解题研究》 』 年第 期
、 卜 ｋ， （
Ｙ ＝４， 以 ＋４， ＝４ 即 一＋ｙ “ 所 ） ， ２＝ １ ．
Ｂ
／ 一 ‘
这就是变换后所得 曲线 的方程 ， 它表示一个椭圆． 这道例题在教学参考 书 中明确指 出 ： 运用 方程证 实猜 ①
＼ ／ＮＡＭｔ ／ Ｊ ２
Ｃ
想 ： 圆可 用圆进行 压缩变换得到 ； 揭示椭 圆与圆之间的内 椭 ②
ｊ ｊ ～一工 ｊ ｊ ｊＬｊ －工 ｊ ｊ —乙 ｊ ＿ ．
上
福建省永安第一 中学 （６００ 唐为民 ● ３６０ ）
若含参数不等式对 于给定 区间内任 意值都成 立 ， 我们称 它为含参数不等式恒 成立 问题． 种类 型的题 目是高考 命题 这
的一个热点． 本文 试对 这类 问题 的求解策 略作 ～些归 纳和 总 结， 以供 师生们参考．
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
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下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
Ｆ 设过点 Ｔ ｔｍ） ， （， 的直线 ， 与椭 圆分别交 于点 Ｍ（ ，） 船 。ｙ ， Ｎ（２ ） 其 中 ｍ ＞０Ｙ ｘ， ， ，Ｉ＞０，２＜０ Ｙ ．
① 略； 略； 设ｔ ９ 求证： ② ③ ＝ ， 直线ＭＮ必过 轴上的一定
例 ２ 如图 ２ 点 ， Ｐ是椭 ， Ⅳ， 圆上三个不同 的点 ， 该三 点分别 过
二 、 缩变换及其有关性质 伸 上面 出现 的变换 把 圆变 换成椭 圆， 故可 以形象 地把 它称
ｒ ＝ ，
作椭圆的切线 ， 三切线两两相交。 设 交 分别为Ｒ ｓ 求证： ・ ・ 、、
ｏｃ
＿ ＿
的内在关 系进行类 比探 索 ， 即 ． 的有关性 质发 现椭 圆的相 圆
关性质 ， 是为学生 将来作 准备 ， 之后 的合情推 理教学 中 ， 也 而
是否对这里揭示 的椭 圆与 圆的 ； 关系作 类 比探 索 ， 就不 勺在 那
得而知 了．
wk.baidu.com
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即 Ｏ ・ Ｎ ＝Ｏ ・ Ｃ ＝Ｏ Ｍ Ｏ Ｂ Ｏ Ａ．
在关系 ， 为学生将来能运用这种 内在 联系进行类 比探索 ， 即从 圆的有关性质发 现椭 圆的相关性 质 ， 作准备． 上面 的例题往往 在教学中无论 对于学生 还是教师 都显得 相对“ 平静 ” 其原 因在 于对“ ， 压缩变换 ”认识 和理解 是不到位
的 ， 至于对此 都没有 必要提 ； 甚 另外 ， 于运用椭 圆与 圆之问 对
椭圆部分增加 了下面的例题．
还是直线 ：３ 两直线平行 、 （） 相交的性质不变 ；４ 平行或共线 （）
的两线段的长度 比例关 系不变 ； ５ （ ）直线与椭 圆 （ 或圆 ）的 位
置关系不变．
例 ２ 将 圆 ＋ｙ ２＝４上的点横坐标保持不变 ， 纵坐标变 为原来的一半 ， 求所得 曲线的力程 ， 并说 明它 是什 么曲线． 解 设所 得曲线上 任一点坐标为（ ） ， ，） 圆 ＋ ， ， ） ＝４ ｔ 一 －
． ．
—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
为压缩变换； 那么， 反过来， 通过变换｛． １ ｔ 【 ｇ 可以把椭
Ｙ Ｕ－ Ｙ，
解析 可 以把椭圆 利用 伸 缩 “
变换成 圆， 伸 缩 变换 性 质 可知 ， 由
圆 ＋２ 变 成圆 一 ｙ ：１ 换 ． 般地，们 把 换』 我 可以 变
时为拉伸变换．
ｔ ＝ ｋ ｙ ｙ
对椭圆问题借 助圆 的相 关性 质来认 识和解 决 ， 一方 面是 对教 材中例题 的作 用亦 或教参 中提出的揭示 圆与椭 圆之问 关系有 个解释 ； 男一方面也对学有余力 的同学有些触 动 ， 或者 说希 望 能激发他们对数学学习的兴趣 ； 也有抛砖 引玉 的意思．
学 ｙ ２容 得 直 恒 定 Ｑ 气一 ） 此 知 ｎ ＝５ 易 到 线 过 点 （ 寺 ・ 可 原 ， ） ， 嚣， 由
Ｔ ・ Ａ—Ｈ Ｈ 即 ｔ Ｍ Ｔ Ａ・ Ｂ， ＋（ ９～ｈ ＝ｔ ９ ） ＋ 一９一（ ３一ｈ （ ）ｈ
＋ ）所 以ｈ＝１也就是说直线 Ｍ ３， ， Ｎ必过 轴上的一定点 日 １ （，
０． ）
点 Ｐ在直线 ｚ 一 ： ５
一 ０：ｏ上 ， ５ 一２＿ —７ ７ 即 粕 １０ ０：０ ｙ
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这里所 指出的有 关伸缩变换 的性质 ， 比较 简单 的， 是 其证 明也是很容易的． 罗列 出这些性质 ， 以更好地赏 析下 面用 圆的
相关性质处理椭 圆问题 的例题． 三、 用圆的相关性质处理椭圆问题
，
一
的对应点的坐标为（ Ｙ ， ， ） 由题意可得｛ 一 因为 ＋
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
图１
变换成圆 ， 由伸缩 变换 性 质可 知 ， 在 轴 上 为不 动点． 时 ， 此 Ｏ Ｏ 、Ａ Ｂ、 Ｃ Ｏ 都是 圆０半径 ，Ｃ是圆 ０的直径 ， ／ Ｐ Ｂ 有 ＿Ｂ Ｃ＝９ 。 ０，
故 Ｃ Ｍ ＝ Ｏ Ｃ， 以 ｚＯ Ｃ Ｂ Ｎ 所 ｘ Ｎ △Ｄ Ｍ， Ｂ 由此僭到 Ｎ ＝ Ｏ
Ｂ Ｄ交于点 肘， 则 ＝Ｐ Ｐ Ａ・ Ｄ— Ｍ ・ ． Ａ ＭＣ 可以得 到 ： ＝
Ｐ Ｐ， Ｍ、Ｎ 切点分别为 Ｍ、 连结 Ｍ ． １ Ｎ， Ｎ （）当点 Ｐ在直线 ｌ 上运
动时 ， 明： 证 直线 ＭＮ恒过定点 ；２ （ ）当 ＭＮ上 ｌ ， 时 定点 Ｑ平 分线段 ＭＮ ． 设 点 Ｐ的坐标 为 （０ ） 易知直 线 ＭＮ方程为 ： ， ， ｙ＝２ ． ５ 又
ｔ ＝２ ｙ ｙ．
２
例ｔ 如图１椭圆ａ ＋Ｄ ＝ ， 鲁
１（ ａ＞ｂ＞０ 与 轴交 于点 Ａ 与 ） ，
ｙ轴交 于点 Ｂ、 ， Ｃ 在椭 圆上 任取 一 点 Ｐ， 连结 Ｂ Ｃ 分别与 轴交于 Ｐ、Ｐ， 点 、 求证 ： Ｍ ・ Ｎ ＝Ｏ Ⅳ， Ｏ Ｏ Ａ．
解析 可 以把椭 圆利 用伸缩
例 ３ （０８ ２０ 湖南省高中数
学竞赛 ） 图３过 直线 ｚ ｘ ７ 如 ， ： 一： ５
． ．
即点 Ｐ（
， 一
）Ｐ ，Ｑ的斜率 ＝一２ 可知 １
，
２
Ｐ Ｑ上ＭＮ， Ｐ ＝Ｐ 所 以点 Ｑ是线段 ＭＮ的中点 ， 又 Ｍ Ｎ， 即点 Ｑ平
分线段 侈 （ ００年全 国高考 江苏第 １ ０ ４ ２１ ８题 ）在平 面直 角 坐标
题中的定点 Ｑ的坐标为（５ － ２ ｆ
Ｅ蓠 ｌ ．＾ — 卜 ＾ ¨ ｔＪ芒 Ｌ．，
， 一 。
９、 ） ・
对于（ ）就是要证 明定 点 Ｑ是线段 Ｍ ２， Ｎ的 中点 ， Ｍ ／ 由 Ｎ／
￣ ３５ ｆ ５０ 了 Ｏ 结合５。 了 一 ０＝ｏｆ ｔ ＝４ ７ 知， ２ 。＝ ， ｙ １ 一２ １ ７