圆的性质——椭圆问题伸缩变换
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用”
陈启南
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)8
【摘要】“伸缩变换”是高中数学选修的内容，借助伸缩变换，可以实现椭圆与
圆的互化．笔者发现近年高考试题中一些椭圆问题，用常规方法处理，不仅运算过程繁琐，而且难度系数颇高．若考虑利用伸缩变换，将椭圆转为圆来求解，可以拓宽解题思路，达到化繁为简，事半功倍的效果．
【总页数】3页(P13-15)
【关键词】椭圆问题;伸缩变换;高考试题;巧用;高中数学;难度系数;解题思路;化繁为简
【作者】陈启南
【作者单位】广东省梅县东山中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.例谈坐标伸缩变换在解题中的应用 [J], 胡浩鑫
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
4.让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用 [J], 魏国兵
5.例谈伸缩变换在解高考题中的应用 [J], 张文玲
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椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
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妙用伸缩变换化椭为圆
高中妙用伸缩变换化椭为圆?重庆市永川北山中学校 黄基云椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变成了圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下仍然变成直线犾′：犪犃狓′＋犫犅狔′＋犆＝０（犃犅≠０），其斜率犽犾′＝犪犫犽犾．用圆的性质来解决直线与椭圆问题，解法简便快捷．一、直线与椭圆的位置关系问题例１ 判定直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１的位置关系．解：作坐标变换狓′＝狓２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为６狓′－２狔′＋３＝０．因为圆心犗′（０，０）到直线６狓′－２狔′＋３＝０的距离犱＝３槡４０＜１（单位圆的半径），所以直线与单位圆相交，于是直线３狓－２狔＋３＝０与椭圆狓２４＋狔２＝１相交．评注：利用单位圆中圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断椭圆和直线的位置关系．设直线为犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃犅≠０），椭圆为狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０），则直线与椭圆相交等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＞０；直线与椭圆相切等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＝０；直线与椭圆相离等价于犪２犃＋犫２犅－犆２＜０．二、直线与椭圆的最值问题例２ 在椭圆狓２９＋狔２４＝１上求一点犕，使点犕到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．解：作坐标变换狓′＝狓３，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线的方程变为３狓′＋４狔′－１０＝０．所求问题可转化为：在单位圆上求一点犕′，使点犕′到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，并求出最小距离．因为过圆心犗′（０，０）与直线３狓′＋４狔′－１０＝０垂直的直线的方程为狔′＝４３狓′，它与单位圆的交点为３５，４５（），－３５，－４５（），所以犕′３５，４５（）到直线３狓′＋４狔′－１０＝０的距离最小，于是椭圆上的点犕９５，８５（）到直线狓＋２狔－１０＝０的距离最小，最小距离为槡５．评注：这是人教版４－４上的一道例题，常规思路是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，也可以用向量的方法求解．三、直线与椭圆的中点弦问题例３ 已知椭圆狓２２＋狔２＝１．（１）求斜率为２的平行弦的中点轨迹方程；（２）过点犃（２，１）的直线犾与椭圆相交，求直线犾被截得的弦的中点轨迹方程；（３）过点犘１２，１２（）且被犘平分的弦所在直线的方程．解：（１）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，斜率为２的直线变为斜率为槡２２的直线．２２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中所求问题可转化为：在单位圆中求斜率为槡２２的平行弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽′＝狔′狓′＝－１槡２２，即狓′＋槡２２狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓＋４狔＝０－４３＜狓＜４３（）．（２）设过点犃（２，１）的直线犾的方程为狔－１＝犽（狓－２）．作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，犃（２，１）变为犃′（槡２，１），直线犾的方程变为狔′－１＝槡２犽（狓′－槡２）．所求问题可转化为：过点犃′（槡２，１）的直线犾′与单位圆相交，求直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程．设中点为犘′（狓′，狔′）．直线犗′犘′的斜率犽＝狔′狓′，则过点犃′（槡２，１）的直线犾′被截得的弦的中点轨迹方程为狔′－１＝－狓′狔′（狓′－槡２），即狓′２－槡２狓′＋狔′２－狔′＝０．所以所求轨迹方程为狓２＋２狔２－２狓－２狔＝０（夹在椭圆内的部分）．（３）作坐标变换狓′＝狓槡２，狔′＝狔，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，点犘１２，１２（）变成点犘′１槡２２，１２（）．所求问题可转化为：求在单位圆中过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程．直线犗′犘′的斜率犽′＝槡２，过点犘′１槡２２，１２（）且被犘′平分的弦所在直线的方程为狔′－１２＝－１槡２·狓′－１槡２２（），即１槡２狓′＋狔′－３４＝０．所以所求直线方程为２狓＋４狔－３＝０．评注：原来弦的中点，变换后仍然是弦的中点；过椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一点犘（犿，狀）引动弦的中点的轨迹方程为狓－犿２（）２犪２＋狔－狀２（）２犫２＝１４犿２犪２＋狀２犫２（）；设犘（犿，狀）为椭圆狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞０，犫＞０）内一定点，过点犘且以点犘为中点的弦所在直线的方程为狔－狀＝－犫２狀犪２犿（狓－犿）（当狀≠０时）或狓＝犿（当狀＝０时）．四、直线与椭圆的相交弦问题例４ 已知椭圆狓２２４＋狔２１６＝１，直线犾：狓１２＋狔８＝１，犘是犾上一点，射线犗犘交椭圆于犚，又点犙在犗犘上且满足犗犙·犗犘＝犗犚２，当点犘在犾上移动时，求点犙的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：作坐标变换狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，直线犾的方程变为狓′槡６＋狔′２＝１．因为在原坐标系中有犗犙·犗犘＝犗犚２，所以在新的坐标中犗′犙′·犗′犘′＝犗′犚′２仍成立．设以犗′狓′轴为始边，犗′犘′为终边的角为θ．令犗′犘′＝狉，则犘′（狉ｃｏｓθ，狉ｓｉｎθ），则狉ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２（）＝１，而犗′犚′＝１，所以犗′犙′＝１狉＝ｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎθ２．设犙′（狓′，狔′）．则狓′＝犗′犙′ｃｏｓθ＝ｃｏｓ２θ槡６＋ｓｉｎθｃｏｓθ２，狔′＝犗′犙′ｓｉｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓθ槡６＋ｓｉｎ２θ２．烅烄烆即狓′－１槡２６＝１槡２６ｃｏｓ２θ＋１４ｓｉｎ２θ， ①狔′－１４＝１槡２６ｓｉｎ２θ－１４ｃｏｓ２θ． ②烅烄烆①２＋②２可得点犙′的轨迹方程为狓′－１槡２６（）２＋狔′－１４（）２＝１２４＋１１６（点犙′不与原点犗′重合）．把狓′＝狓槡２６，狔′＝狔４烅烄烆代入上式即得点犙的轨迹方程为３２２０２１年１月 新颖试题教学参谋Copyright©博看网 . All Rights Reserved.高中２（狓－１）２５＋３（狔－１）２５＝１，故点犙的轨迹是以（１，１）为中心，长半轴长为槡１０２，短半轴长为槡１５３，且焦点在直线狔＝１上的椭圆（除去原点）．评注：上述给出的解法充分利用在新坐标系下“犗′犚′＝１”，极大地简化了计算．其实，点犘１（狓１，狔１）和犘２（狓２，狔２）在伸缩变换狓′＝狓犪，狔′＝狔犫烅烄烆下变为点犘１′（狓１′，狔１′）和点犘２′（狓２′，狔２′），则犘１′犘２′＝１犪２＋１犫２犽槡２１＋犽槡２犘１犘２，其中犽为直线犘１犘２的斜率．五、直线与椭圆的相切问题例５ 已知点犘（狓，狔）在椭圆狓２＋狔２４＝１上运动，求狌＝狔２狓－４的最大值．解：作坐标变换狓′＝狓，狔′＝狔２，烅烄烆则在新坐标系狓′犗′狔′中，椭圆变成单位圆狓′２＋狔′２＝１，狌＝狔２狓－２＝狔′狓′－２．所求问题可转化为：犘′（狓′，狔′）是单位圆狓′２＋狔′２＝１上的动点，求狌＝狔′狓′－２的最大值．设犃（２，０），则狌即为直线犃犘′的斜率犽．设过点犃的圆的切线为犃犅、犃犆（犅、犆为切点），则犽犃犅＝－槡３３，犽犃犆＝槡３３．当点犘′和点犆重合时，犽取最大值槡３３，即当狓′＝１２，狔′＝－槡３２，烅烄烆也即当狓＝１２，狔＝－槡３烅烄烆时，狌ｍａｘ＝槡３３．评注：本题的常规解法是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，或化为椭圆上的点和定点犃（２，０）的连线的斜率的最值求解，但运算相对比较复杂．一般情况下，解决直线与椭圆问题时，需要联立求解，用韦达定理求解出狓１＋狓２或狓１狓２，较为烦琐，把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些几何性质来解决直线（直线伸缩变换后仍为直线）与椭圆的相交或相切问题，计算也会大大简化．值得注意的是伸缩变换后同一直线上或平行直线上的两线段长度比不发生改变．两图形经伸缩变换后交点个数不变，也就是说，原图形若相交，则变换后仍相交；原图形若相切，则变换后仍相切；原图形中若是弦的中点，则变换后仍是弦的中点．犉檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯檯（上接第２１页）数形结合可知两者共有６个不同的交点，则犽的最大值为６，故填答案：６．点评：解决此类创新应用问题，关键是借助平面直角坐标系加以直观分析，先确定其中的一个要素进行分析与处理，再结合条件对相应的图像进行平移变换，从而由数形直观来解决．从解析几何图形直观入手，借助圆的平移变换，从而有效、直观、快捷地处理问题．同时，２０２０年高考数学上海试卷在注重对数学知识本质理解与掌握的基础上，重视数学思维的灵活性、严谨性及深刻性，突出对考生创新意识、应用意识的考查，对高中数学教学起到积极的引导作用，有利于高校选拔优秀人才．四、总结命题规律，指导后继教学从２０２０年高考数学上海试卷看，试卷中基础题、中档题、难题的比例基本维持在４∶４∶２的相对稳定水平，对于大部分考生来说，试卷的难易度与往年高考相类似，平时教学与学习中基本也是这个层次，因而在考前多做一些基础性的训练，依旧可以帮助考生取得一个不错的成绩．这也给后继的高三教学与复习备考指明方向．大家不需要过分地去钻研偏、难、怪的试题，夯实基础，把握主干，不断地提高能力．同时，考生在冲刺复习阶段，一定要重点关注一些基础类型的题目，越是基础扎实，高考越是稳妥．考生要关注数学的发展，关注社会民生，社会热点，树立创新意识，就能够在新高考当中脱颖而出．犉４２教学参谋新颖试题 ２０２１年１月Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
椭圆与圆的伸缩变换
《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，今天我要给你们讲讲椭圆和圆的伸缩变换，这可有趣啦！你们看，圆就像一个超级圆滚滚的皮球，每一处到中心点的距离都一样长。
那椭圆呢？它有点特别，不像圆那么圆圆的，而是有点扁扁的或者长长的。
比如说，我们有一个圆，然后像变魔术一样把它拉长或者压扁，它就变成椭圆啦。
就好像我们吹气球，本来气球是圆圆的，要是我们轻轻拉一拉，它就不再是标准的圆，有点像椭圆了呢。
再想想，我们吃的甜甜圈，有的就是椭圆形状的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？其实，在我们的生活中，也能看到很多椭圆和圆的伸缩变换哦。
比如马路上的井盖，大多数是圆的，但有时候也能看到一些椭圆形的井盖呢。
小朋友们，你们记住椭圆和圆的伸缩变换了吗？《椭圆与圆的伸缩变换》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊椭圆与圆的伸缩变换。
圆，大家都很熟悉吧？就像我们玩的皮球，圆圆的，可好看啦！那椭圆呢？它就像是被人轻轻捏了一下的圆。
比如说，我们画一个圆，然后把它的左右两边往中间挤一挤，或者把上下两边拉长，它就变成椭圆啦。
想象一下，妈妈做的煎饼，如果是圆圆的，那就是圆。
要是不小心被压了一下，变得有点扁，那就成了椭圆。
还有我们的操场跑道，外圈是椭圆的，内圈的足球场有时候就是圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很有意思？以后我们看到椭圆和圆，就可以想想它们是怎么变来变去的啦！《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，咱们一起来认识椭圆与圆的伸缩变换哟！圆，就像一个完美的小太阳，到处都一样圆。
椭圆呢，就像是圆变了个样子。
比如说，有一个大大的圆气球，我们抓住两边轻轻拉一拉，它就不再是原来的圆，变成椭圆啦。
还有我们用的镜子，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
就好像镜子也会变魔术一样。
再想想看，公园里的湖，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？希望小朋友们以后能多多发现生活中椭圆和圆的伸缩变换哟！。
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是描述椭圆在平面上进行伸缩变换的数学
公式。
伸缩变换是一种线性变换，可以将椭圆按照一定比例同时沿着两个方向进行拉伸或压缩，从而得到一个新的椭圆。
椭圆的伸缩变换公式可以表示为矩阵形式，即：
【a b】【x'】【h】
【c d】 X 【y'】 = 【k】
其中，a、b、c、d是矩阵的四个元素，x'和y'是变换前的椭圆上的一点的坐标，h和k是变换后椭圆上对应点的坐标。
椭圆的伸缩变换公式还可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
如果椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，则其伸缩变换的特征值为a和b，对应的特征向量为椭圆上的两个不同的点。
椭圆的伸缩变换公式是计算机图形学、计算机动画等领域的重要数学工具，在各种图形处理和图形生成算法中都有广泛的应用。
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用伸缩变换突破高考难题
用伸缩变换突破高考难题李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)摘㊀要:通过伸缩变换可将椭圆变换为圆ꎬ有关直线与椭圆的问题就变换为直线与圆的问题.借助圆特有的一些性质解题ꎬ思路会来得比较自然ꎬ解题中可以明显减小运算.关键词:伸缩变换ꎻ椭圆ꎻ圆中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－０００２－０４收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线是高中数学的重要内容之一ꎬ所有学生在这一内容上都投入了很大的精力.每年高考的圆锥曲线解答题运算量都很大ꎬ考生普遍得分率很低.对这一现象ꎬ我们都在思考是否有解决的办法.我们可否将教材上的圆㊁椭圆㊁坐标变换这三个内容整合在一起ꎬ以坐标变换为纽带将圆的特有性质应用于有关椭圆的考题中?坐标变换(这里主要研究伸缩变换)是仿射几何的范畴ꎬ为了解题需要ꎬ高中数学教学应达到什么程度?或者说ꎬ应补充哪些理论知识?１理论准备我们通过教学实践研究发现ꎬ在教材现有知识的基础上稍微拓展一下理论就可以应用伸缩变换解题ꎬ尤其是突破一些高考的难题ꎬ大有裨益.即伸缩变换为ｘᶄ＝ｘａꎬｙᶄ＝ｙｂ.ìîíïïïï引理１㊀伸缩变换前后ꎬ共线点依然共线.引理２㊀伸缩变换前后ꎬ平行线依然平行ꎬ相交线依然相交ꎬ直线和曲线的位置关系不变.引理３㊀伸缩变换前后ꎬ共线(平行)的线段长度比不变.引理４㊀伸缩变换前后ꎬ直线斜率满足ｋ＝ｂａｋᶄ.引理５㊀伸缩变换前后ꎬ封闭图形的面积满足Ｓ＝ａｂＳᶄ.２应用伸缩变换解题题型１㊀证明直线过定点(三点共线).例１㊀(２０２２年全国高考乙卷理科第２０题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴㊁ｙ轴ꎬ且过Ａ０ꎬ－２()ꎬＢ３２ꎬ－１æèçöø÷两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ１ꎬ－２()的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过点Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨң.证明:直线ＨＮ过定点[１].解析㊀(１)椭圆Ｅ的方程为ｙ２４＋ｘ２３＝１.下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ３ꎬｙᶄ＝ｙ２ꎬìîíïïïï则Ｅ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１.如图１.图１㊀例１解析示意图因为ｘＡᶄ＝０３＝０ꎬｙＡᶄ＝－２２＝－１ꎬ所以Ａᶄ(０ꎬ－１).同理Ｂᶄ(３２ꎬ－１２)ꎬＰᶄ(３３ꎬ－１).设ＭᶄＮᶄ与ＡᶄＢᶄ相交于点Ｑᶄꎬ连接ＡᶄＰᶄꎬＡᶄＮᶄꎬＯᶄＰᶄꎬＯᶄＢᶄ.过点Ｏᶄ作ＯᶄＤᶄʅＭᶄＮᶄ于点Ｄᶄꎬ连接ＡᶄＤᶄꎬ由两点间距离公式易得ＡᶄＢᶄ＝ＯＡᶄ＝ＯＢᶄ＝１.所以ΔＯᶄＡᶄＢᶄ是正三角形.结合图１ꎬ猜想ＮᶄꎬＨᶄꎬＡᶄ共线ꎬ也就是ＮᶄＨᶄ过定点Ａᶄ.下面证明猜想.要证明ＮᶄꎬＨᶄꎬＡᶄ共线ꎬ只需证明ＭᶄＮᶄＰᶄＮᶄ＝ＨᶄＭᶄＡᶄＰᶄ.①因为Ａᶄ(０ꎬ１)ꎬＰᶄ(３３ꎬ－１)ꎬ所以ＡᶄＰᶄʊｘ轴.而ＭᶄＴᶄʊｘ轴ꎬ因此ＡᶄＰᶄʊＭᶄＴᶄ.所以ＭᶄＱᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.于是ＰᶄＱᶄ－ＰᶄＭᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.即１－ＰᶄＭᶄＰᶄＱᶄ＝ＭᶄＴᶄＡᶄＰᶄ.②②除以①ꎬ得１－ＰᶄＭᶄ/ＰᶄＱᶄＭᶄＮᶄ/ＰᶄＮᶄ＝１２.整理ꎬ得ＰᶄＮᶄＭᶄＮᶄ－ＰᶄＭᶄ ＰᶄＮᶄＰᶄＱᶄ ＭᶄＮᶄ＝１２.③因为ＡᶄＰᶄ是圆Ｏᶄ的切线ꎬ所以ＡᶄＰᶄ２＝ＰᶄＭᶄ ＰᶄＮᶄ＝(３３)２＝１３.④将④代入③ꎬ得ＰᶄＮᶄ－１３ＰᶄＱᶄ＝１２ＭᶄＮᶄ.⑤因为ＡᶄＰᶄʅＯᶄＡᶄꎬＯᶄＤᶄʅＭᶄＮᶄꎬ所以ＯᶄꎬＡᶄꎬＰᶄꎬＤᶄ四点共圆.因为ｔａｎøＡᶄＯᶄＰᶄ＝３３ꎬ所以øＡᶄＯᶄＰᶄ＝３０ʎ.于是øＯᶄＤᶄＡᶄ＝øＯᶄＰᶄＡᶄ＝６０ʎ.而øＡᶄＤᶄＰᶄ＝９０ʎ－øＯᶄＤᶄＡᶄ＝３０ʎꎬøＱᶄＡᶄＰᶄ＝９０ʎ－øＯᶄＡᶄＢᶄ＝３０ʎꎬ所以øＡᶄＤᶄＰᶄ＝øＱᶄＡᶄＰᶄ.因此ΔＡᶄＤᶄＰᶄʐΔＱᶄＡᶄＰᶄ.于是ＰᶄＱᶄＡᶄＰᶄ＝ＡᶄＰᶄＰᶄＤᶄ.进而ＰᶄＱᶄ ＰᶄＤᶄ＝ＡᶄＰᶄ２＝１３.变形ꎬ得ＰᶄＤᶄ＝１３ＰᶄＱᶄ.⑥将⑥代入⑤ꎬ得ＰᶄＮᶄ－ＰᶄＤᶄ＝１２ＭᶄＮᶄ.⑦结合投影和垂径定理ꎬ⑦成立.所以猜想成立.因此ꎬ直线ＨᶄＮᶄ过定点(０ꎬ－１).由引理１得ꎬ直线ＨＮ过定点(０ꎬ－２).评注㊀用传统方法解答此题运算量非常大ꎬ有兴趣的同仁可以试做一下ꎬ在高考有限的时间内考生难以完成.伸缩变换解法几乎没有运算ꎬ全程只有逻辑推理ꎬ思路清晰ꎬ解题耗时较少ꎬ正确率也高.题型２㊀证明存在性问题例２㊀(２０１５年全国高考Ⅱ卷理科第２０题第(２)问)已知椭圆Ｃ:９ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬ直线ｌ不过原点Ｏ且不平行于坐标轴ꎬｌ与Ｃ有两个交点ＡꎬＢꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍ.若ｌ过点(ｍ３ꎬｍ)ꎬ延长线段ＯＭ与Ｃ交于点Ｐꎬ四边形ＯＡＰＢ能否为平行四边形?若能ꎬ求此时ｌ的斜率ꎻ若不能ꎬ说明理由.解析㊀由９ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)ꎬ得ｘｍ/３æèçöø÷２＋ｙｍæèçöø÷２＝１.设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘｍ/３ꎬｙᶄ＝ｙｍꎬìîíïïïï则椭圆Ｃ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图２.图２㊀例２解析示意图记Ｔ(ｍ３ꎬｍ)ꎬ则ｘＴᶄ＝ｍ/３ｍ/３＝１ꎬｙＴᵡ＝ｍｍ＝１.ìîíïïïïꎬ即Ｔᶄ(１ꎬ１).记直线ｌ在伸缩变换前后的斜率分别为ｋꎬｋᶄ.则直线ｌᶄ的点斜式方程为ｙᶄ＝ｋᶄ(ｘᶄ－１)＋１.由引理２知ꎬ四边形ＯᶄＡᶄＰᶄＢᶄ是平行四边形ꎬ进而结合圆的性质可判断其为菱形.所以әＯᶄＡᶄＰᶄ是边长为１的正三角形.所以ＯᶄＭᶄʅＡᶄＢᶄ.设ＯᶄＰᶄ与ＡᶄＢᶄ相交于点Ｍᶄꎬ由正三角形性质ꎬ得ＯᶄＭᶄ＝１２.将ｙᶄ＝ｋᶄ(ｘᶄ－１)＋１变形为ｋᶄｘᶄ－ｙᶄ－ｋᶄ＋１＝０ꎬ于是ＯᶄＭᶄ＝１－ｋᶄｋᶄ２＋１＝１２.解得ｋᶄ＝４ʃ７３.由引理４知ꎬｋ＝ｂａｋᶄ＝ｍｍ/３ˑ４ʃ７３＝４ʃ７.评注㊀本例通过伸缩变换后得到的四边形非常特殊ꎬ这为后续计算提供了方便.如果按照常规办法求解ꎬ一定不可避开大量的字母运算ꎬ甚至解题思路受阻ꎬ不知如何应用平行四边形这个条件.题型３㊀证明垂直.例３㊀(２０１９年新课标全国Ⅱ卷第２１题)已知点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬ动点Ｍ(ｘꎬｙ)满足直线ＡＭ与ＢＭ的斜率之积为－１２.记Ｍ的轨迹为曲线Ｃ.(１)求Ｃ的方程ꎬ并说明Ｃ是什么曲线ꎻ(２)过坐标原点的直线交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ点Ｐ在第一象限ꎬＰＥʅｘ轴ꎬ垂足为点Ｅꎬ连接ＱＥ并延长交Ｃ于点Ｇ.证明әＰＱＧ是直角三角形[２].解析㊀(１)Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２２＝１(｜ｘ｜ʂ２).下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ２ꎬｙᶄ＝ｙ２ꎬìîíïïïï则椭圆Ｃ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图３.图３㊀例３解析示意图设Ｐᶄ(ｓꎬｔ)ꎬ由引理１结合单位圆性质知Ｑᶄ(－ｓꎬ－ｔ)ꎬＥᶄ(ｓꎬ０).所以ｋＱᶄＧᶄ＝ｋＱᶄＥᶄ＝ｔ２ｓ.在圆Ｏᶄ中ꎬＰＱ是直径ꎬ所以ＰᶄＧᶄʅＱᶄＧᶄ.所以ｋＰᶄＧᶄ＝－２ｓｔ.由引理４知ｋＰＱ＝２２ｋＰᶄＱᶄꎬｋＰＧ＝２２ｋＰᶄＧᶄ.因此ｋＰＱˑｋＰＧ＝２ｔ２ｓˑ２２ˑ(－２ｓｔ)＝－１.于是ＰＱʅＰＧ.所以ΔＰＱＧ是直角三角形.评注㊀本题通过伸缩变换后ꎬ借助直径所对圆周角为直角巧妙地证明了问题ꎬ省去了判断直角顶点的麻烦ꎬ可谓一箭双雕.事实上ꎬ用传统办法证明不仅运算量大ꎬ而且很难一次性找准直角顶点.题型４㊀求(最)值.例４㊀(２０１３年高考全国Ⅱ卷理科第２０题)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上的两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解析㊀(１)Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.下面应用伸缩变换解答(２).设伸缩变换为ｘᶄ＝ｘ６ꎬｙᶄ＝ｙ３ꎬìîíïïïï则椭圆Ｍ变换为单位圆:ｘᶄ２＋ｙᶄ２＝１ꎬ如图４.图４㊀例４解析示意图直线ＡＢ的方程ｘ＋ｙ－３＝０变换成６ｘᶄ＋３ｙᶄ－３＝０ꎬ即直线ＡᶄＢᶄ的方程为２ｘᶄ＋ｙᶄ－１＝０.根据已知ꎬ可设直线ＣＤ的方程为ｘ－ｙ＋ｔ＝０ꎬ那么直线ＣᶄＤᶄ的方程为６ｘᶄ－３ｙᶄ＋ｔ＝０.设直线ＣᶄＤᶄ的倾斜角为αꎬ则ｋＣᶄＤᶄ＝ｔａｎα＝２.而ｋＡᶄＢᶄ＝－２ꎬ所以直线ＡᶄＢᶄ的倾斜角为π－α.设ＡᶄＢᶄꎬＣᶄＤᶄ与ｘ轴分别交于ＰᶄꎬＱᶄꎬＡᶄＢᶄ与ＣᶄＤᶄ交于点Ｔᶄꎬ那么øＴᶄＱᶄＰᶄ＝øＴᶄＰᶄＱᶄ＝α.所以ｓｉｎøＱᶄＴᶄＰᶄ＝ｓｉｎ(π－２α)＝ｓｉｎ２α＝２ｔａｎα１＋ｔａｎ２α＝２２３.在圆Ｏᶄ中ꎬ由垂径定理易得ＡᶄＢᶄ＝２１－(１３)２＝２６３ꎬＣᶄＤᶄ＝２１－(ｔ３)２＝２３９－ｔ２.所以ＳＡᶄＣᶄＢᶄＤᶄ＝１２ˑＡᶄＢᶄˑＣᶄＤᶄˑｓｉｎøＱᶄＴᶄＰᶄ＝１２ˑ２６３ˑ２３９－ｔ２ˑ２２３＝８３２７９－ｔ２ɤ８３９.由引理５ꎬ得ＳＡＣＢＤ＝６ˑ３ˑＳＡᶄＣᶄＢᶄＤᶄɤ８６３.所以四边形ＡＣＢＤ面积的最大值为８６３.评注㊀通过伸缩变换得到的四边形内包含的等腰三角形为构造面积函数作了铺垫ꎬ圆的特性使面积函数关系简单ꎬ这样处理最值问题非常方便.在推理中夹杂着少量运算ꎬ这种解题充满着思辨性.３结束语利用伸缩变换ꎬ结合单位圆的特性解题非常方便.我们在教学中可以利用大单元教学理论对教材知识进行合理整合ꎬ根据解题需要对相关知识进行适当拓展ꎬ这样不仅可以优化学生的知识结构ꎬ还可以拓广学生的解题思维ꎬ增加解题方法ꎬ提高解题准确率.参考文献:[１]任志鸿.十年高考[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０２２.[２]李红春.仿射变换下一类椭圆问题的简单解法[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０１２(１２):４０－４２ꎬ４９.[责任编辑:李㊀璟]。
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换
椭圆伸缩变换是指将一个二维椭圆进行伸缩变换，使得其形状、大小、位置发生改变
的变换。
该变换是图像变换中的一种，可以用于图像处理、计算机视觉、计算机图形学等
领域中。
椭圆的伸缩变换可以分为两种：整体伸缩变换和局部伸缩变换。
整体伸缩变换是将椭圆的长轴和短轴同时进行伸缩，使得椭圆的形状和大小发生改变，但椭圆的位置不变。
该变换可以通过对椭圆的参数（长轴、短轴、中心坐标、旋转角度）
进行线性变换得到。
在计算机视觉和计算机图形学等领域中，椭圆伸缩变换被广泛运用。
它可以用于物体
的形状分析、运动跟踪、目标检测、计算机动画等领域中。
例如，在目标检测中，可以利用椭圆伸缩变换对图像中的目标进行形状和大小的调整，以适应不同的成像条件和角度。
同时，椭圆伸缩变换还可以通过区分光源和物体的伸缩效应，进行对图像的弯曲校正等操作，从而提高图像的质量和可读性。
椭圆中的伸缩变换
1利用仿射变化解决椭圆问题椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 经变换⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y Xx 后变成圆222a Y X =+，在此变换下有以下一些性质：○1点变换后，横坐标不变，纵坐标变为原来的ba倍 ○2直线变换后仍然是直线，且斜率为原来的ba倍 ○3平行线经变换后仍平行 ○4区域D 变换后成为D '，则面积D D S ba S '= ○5两平行线段的比是不变量 ○6线段PQ 经变换后变为Q P ''，则：αα2222sin cos ||||b a PQ Q P +='' 1.求证：直线0:=++C By Ax l 与椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 相切的充要条件是：222)()(C bB aA =+证明：作仿射变换：⎪⎩⎪⎨⎧==Y a b y X x椭圆变为圆：222a Y X =+直线l 变为0:=++'C Y abBAX l直线l '与圆相切的充要条件是2直线)(m x k y -=与椭圆：12222=+by a x 交于N M ,两点，试求||MN2解：过右焦点作MN 的平行线易知：θcos 2c a b M F +='，θcos 2c a b N F -='θρ2222cos 2c a ab N M -=''=作仿射变换⎪⎩⎪⎨⎧==a bYy X x ，椭圆变为圆：222a Y X =+ 直线MN l 变为：0=--akm bY akX 直线N M l ''变为：0=--akc bY akX 圆心到两直线的距离分别为221)(||bak akm d +=，222)(||bak akc d +=。
活用伸缩变换 巧解椭圆问题
＞ ０
则 ‰特 有＝
，＝
． ①
， ： ．
又 为 Ｉ ｔ ２ 粕 粕 －手 Ｙ 托， ＝ 因 ＝ ２ ，２ ， ， 且ｙ
＞ｂ＞０ ）可 以看作 是在 圆
我们 知道 ，椭 圆 ＋
● Ｄ
＝１
－ ｚ， ｇ ｏ － ，把这些式子代人①式得 ‰ ＝
ｚ ＝ａ 的基础上纵 向均匀的压缩为原来 的 倍 ，横 向不变而 ＋ ２
口
这 说 明点 Ｐ分 线段 Ａ Ｂ 所成 的 比也 为 Ａ ， ．
得到 的．这个过程实际上就是 “ 缩变换 ” 伸 ． 在平面直角坐标系 ， ｙ中，纵向变换 ： ｃ ｏ 可以把已知点 尸 ， ） （ ｙ 变换 成点 Ｐ （ ，） ， ， ， ，显然这个变换 是一一 对应 的可逆变换． 次因为 Ｐ ｔ两点 的横坐标相等 ，所 以 ｐ ＇ 其 、ｒ ｐ 的
，
如果 已知点 Ｐ的轨迹方程 ，将 妒代 人后便得到变换 后点 Ｐ 的轨迹方程．
一
ｃ ）则 Ｊ Ｘ Ｘ ， 且 － ｌ ： ， （， ， ＝ ２ ２ Ｖ 手 ， － ￣ 。 ， ｙ
Ｙ ￣ Ｙ ３ 。 ３， －
ｊｌ
、
变换 具ห้องสมุดไป่ตู้有 的重 要 性 质
连线 垂 直 于 轴 ．
此性质说 明变换前 后 同一条 直线上 的点分线段所 成的 比是
不会改变的．
性 质 ３ 一 个 面 积 为 Ｓ的 三 角 形 经 变 换 后 的 三 角 形 的 面
积为 Ｓ： ｜ ， ｓ ．
０
证 明 ：设 Ａ Ｃ三个 顶 点 的坐标 分 别 为 Ａ（ ｙ ，Ｂ ｘ， ＡＢ １ （ ）
ｌ ａ
ｙ １ ｌ １
利用伸缩变换巧解椭圆问题
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利用伸缩变换巧解椭圆问题
作者：杜盛伙
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第01期
伸缩变换是《数学》人教版（A）选修4—4中的内容，是高中数学课程中的新增内容.椭圆在伸缩变换下可变成圆，圆在伸缩变换下可变成椭圆.笔者在文［1］中利用伸缩变换探究了
椭圆有以下三个性质：
性质1 直线仍变成直线，斜率为原来的
性质2 平行于横轴（或在横轴上）的线段仍平行于横轴（或在横轴上）且长度为原来的
1a，平行于纵轴（或在纵轴上）的线段仍平行于纵轴（或在纵轴上）且长度为原来的
性质3 三角形仍变成三角形，面积为原来的
本文将利用伸缩变换巧解椭圆中的一些问题
参考文献
［1］杜盛伙.伸缩变换下椭圆的几个性质及运用［J］.福建中学数学，2010（3）
［2］李建明.圆性质在圆锥曲线中的推广［J］.数学教学，2007（6）
(责任编辑金铃）。
借助伸缩变换化圆解椭圆
44中学数学研究2020年第10期(上)借助伸缩变换化圆解椭圆广东省广州市第十六中学(510080)温伙其设点P(x,y)是平面上的任一点,在变换φ:x′=xay′=yb的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.在此变换下,有以下常用性质:性质1在φ的作用下,点仍然对应点,直线仍然对应直线,若一个点在直线上,变换后的对应点也在对应直线上.性质2在φ的作用下,两条平行直线的像仍然平行,两条相交直线像仍然相交,共点的直线的仍然是共点直线.性质3在φ的作用下,A,B两点分别对应到A′,B′两点,若直线AB的斜率为k,直线A′B′的斜率为k′,则k′k =ab.性质4在φ的作用下,线段AB对应到线段A′B′,设它们的长度分别为|AB|,|A′B′|,则|A′B′||AB|=√1+a2b2·k2√1+k2.性质5在φ的作用下,不共线的三点A,B,C分别对应到不共线的三点A′,B′,C′,设∆ABC的面积为S,∆A′B′C′的面积为S′,则S′S=1ab.特别的,在φ的作用下,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)变换为单位圆x′2+y′2=1.根据上述伸缩变换的特殊性质,我们可把椭圆变换为圆,则直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系.而圆是我们相当熟悉的几何图形,具有较多特殊性质.在圆中研究图形的特征和位置关系后再还原到椭圆中,从而得到椭圆的相应特征和位置关系,以此开辟研究椭圆问题的另一途径,也可达到简化计算的功能.下面通过高考真题阐述以上伸缩变换性质的应用.一、求斜率的应用例1(2015年高考新课标Ⅱ卷理科第20题(节选))已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅱ)若l过点(m3,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAP B能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解析令x′=xm3,y′=ym,椭圆变换为单位圆x′2+y′2=1,点(m3,m)变换为点(1,1),如下图1.1∼1.2,要使四边形OAP B为平行四边形,根据伸缩变换的图形不变性知,四边形O′A′P′B′应为菱形,则O′到直线A′B′的距离为12,设直线A′B′的斜率为k′,且知直线A′B′过点(1,1),故直线A′B′的方程为y′−1=k(x′−1),即kx′−y′−k′+1=0,则|k′−1|√1+(k′)2=12,解得k′=4±√73,由伸缩变换性质3知k′=abk=k3,所以k=3k′,因此解得直线l的斜率k=4±√7.图1.1图1.2证明由柯西不等式可得, (1 cos2α+1cos2β+1cos2γ)(cos2α+cos2β+cos2γ)(1+1+1)2=9当且仅当1cos2α=1cos2β=1cos2γ时等号成立,解得cos2α=cos2β=cos2γ=13.进一步得,1cos2α+1 cos2β+1cos2γ9,cos2βcos2γ+cos2αcos2γ+cos2αcos2β9cos2αcos2βcos2γ.(1−cos2α)(1−cos2β)(1−cos2γ)8cos2αcos2βcos2γ,即sin2αsin2βsin2γ 8cos2αcos2βcos2γ,因而,(tanαtanβtanγ)2 8.由于α,β,γ∈(0,π2),因而tanαtanβtanγ>0,可得tanαtanβtanγ 2√2.参考文献[1]李广明,张剑.名牌大学学科营与自主招生考试绿卡(数学真题篇)[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2015.2020年第10期(上)中学数学研究45感悟原椭圆的平行四边形在伸缩变换后变为菱形,点(m3,m)在伸缩变换后变为点(1,1),因此圆心O′到直线A′B′的距离就等于12,容易求得直线A′B′的斜率为k′,进而求得原直线l的斜率.所以涉及椭圆弦斜率的处理,我们都可类似解决.二、求弦长的应用例2(2016年高考四川卷理科第20题)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆的方程及点T的坐标;(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|P T|2=λ|P A|·|P B|,并求λ的值.图2.1图2.2解析(Ⅰ)易得椭圆E的方程为x26+y23=1;点T的坐标为(2,1);(Ⅱ)令x′=x√6,y′=y√3,椭圆x26+y23=1变换为单位圆x′2+y′2=1,如下图2,由伸缩变换性质4知|P′T′|2|P T|2=1+63×(−1)26×(1+(−1)2)=141⃝|P′A′|2|P A|2=1+63×(12)26×(1+(12)2)=152⃝|P′B′|2|P B|2=1+63×(12)26×(1+(12)2)=153⃝2⃝×3⃝得:|P′A′|·|P′B′||P A|·|P B|=154⃝1⃝÷4⃝得:|P′T′|2|P T|2:|P′A′|·|P′B′||P A|·|P B|=545⃝再根据相交弦定理,有|P′T′|2=|P′A′|·|P′B′|,代入5⃝得|P T|2|P A|·|P B|=45,所以存在常数λ=45,使得|P T|2=λ|P A|·|P B|.感悟椭圆的弦长公式|AB|=√1+k2|x1−x2|,而圆的弦长公式|AB|=2√r2−d2,两者对比,圆的弦长垂径定理几何处理天然优胜于椭圆的弦长的代数处理.所以涉及椭圆的弦长计算,不妨借助伸缩变换,先转换为求单位圆的弦长,然后再还原为椭圆弦长.三、求椭圆内接三角形的面积及其最值的应用例3(2011年高考山东卷理科第22题(节选))已知直线l与椭圆C:x23+y22=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且∆OP Q的面积S∆OP Q=√62,其中O为坐标原点.(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S∆ODE=S∆ODG=S∆OEG=√62?若存在,判断∆DEG的形状;若不存在,请说明理由.解析令x′=√3x,y′=√2y,椭圆x23+y22=1变换为单位圆x′2+y′2=1,椭圆上的点D,E,G,变换为单位圆上的点D′,E′,G′,由伸缩变换性质5知S′∆O′D′E′=S∆ODEab=12,同理S′∆O′D′G′=S∆ODGab=12,S′∆O′E′G′=S∆OEGab=12,根据正弦定理面积公式,有12sin∠D′O′E′=12sin∠D′O′G′=12sin∠E′O′G′=12解得∠D′O′E′=∠D′O′G′=∠E′O′G′=π2,因为∠D′O′E′+∠D′O′G′+∠E′O′G′=3π2=2π,所以单位圆上不存在三点D′,E′,G′,使得S∆O′D′E′=S∆O′D′G′=S∆O′E′G′=12,因此椭圆C上不存在点D,E,G,使得S∆ODE=S∆ODG=S∆OEG=√62.感悟椭圆的内接三角形面积问题一般都是弦长结合点线距离求解,而伸缩变换到单位圆后,三角形面积可以正弦定理转化为角解决,也可用圆的垂径定理求得底和高解决,极大的拓展了解题方向.四、求椭圆内接四边形的面积及其最值的应用例4(2008年高考全国Ⅱ卷理科第21题(节选))设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.解析依题意得椭圆的方程为x24+y2=1,直线AB的方程为x+2y=2.在伸缩变换x′=x2y′=y下,椭圆x24+y2=1变换为单位圆x′2+y′2=1,且点A′,B′的坐标分别为(1,0),(0,1),如下图3.1∼3.2,由圆的图形性质知,46中学数学研究2020年第10期(上)对一道导数模拟题的研究浙江省宁波效实中学(315012)童益民一、原题呈现已知函数f(x)=ln x+mx(m为常数).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)当m 3√22时,设g(x)=f(x)+12x2的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰好为h(x)=2ln x−ax−x2的零点,求y=(x1−x2)h′(x1+x22)的最小值.该题是文[1]引自江西省上饶市2017年一模试题,通过对这题的研究,发现这是一道错题,由于题目中出现的条件较多,起到一定的干扰作用,所以很难发现问题,现对该题的第(2)小题进行分析研究.文[1]中对第(2)小题的解答过程如下:由g(x)=ln x+mx+12x2得g′(x)=1x+m+x=x2+mx+1x,由已知x2+mx+1=0有两个互异实根x1,x2,由根与系数的关系得x1+x2=−m,x1x2=1,因为x1,x2(x1<x2)是h(x)的两个零点,故h(x1)=2ln x1−x21−ax1=01⃝h(x2)=2ln x2−x22−ax2=02⃝由2⃝−1⃝得:2lnx2x1−(x22−x21)−a(x2−x1)=0,解得a=2lnx2x1x2−x1−(x2+x1),因为h′(x)=2x−2x−a,得h′(x1+x22)=4x1+x2−2x1+x22−a,将a=2lnx2x1x2−x1−(x2+x1)代入得当A′B′⊥E′F′时,S A′E′B′F′取最大值,所以(S A′E′B′F′)max=12A′B′·E′F′=12×√2×2=√2,由伸缩变换性质5知S max=ab(S A′E′B′F′)max=2√2.图3.1图3.2感悟特殊四边形,容易求得其面积;非特殊四边形面积的解决,应充分挖掘其几何特征,如对角线相互垂直.更特殊的,椭圆内接四边形其中一条对角线过对称中心,则对应单位圆中它则为直径,这些都为为椭圆内接四边形面积的解决开辟了新的方向.五、其它考题链接1.(2016年高考四川卷文科第20题(节选))已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(√3,12),在椭圆E上.(Ⅱ)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.2.(2012年高考浙江卷理科第21题)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的距离为√10,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求∆AP B面积取最大值时直线l的方程.(参考答案:(Ⅰ)x24+y23=1;(Ⅱ)3x+2y+2√7−2=0)3.(2015年高考上海卷理科第21题(节选))已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ACBD的面积为S.(Ⅱ)设l1与l2的斜率之积为−12,求面积S的值.(参考答案:2)伸缩变换使得椭圆问题化归圆解决,如本文所述,当对应圆中图形涉及中点、斜率、长度、面积、平行、垂直等特殊几何关系时,先在圆的几何背景下求解问题,然后根据伸缩变换性质,还原到椭圆得到相应结论,能有效避免椭圆的繁杂代数运算过程,使得数形结合思想进一步深化.。
巧用伸缩变换解决椭圆问题
弦 ， 是 椭 圆上 异 于 Ａ 、 的 任 一 点 ， ＡＭ 、 Ｍ 与 坐 标 轴 不 Ｍ Ｂ 且 Ｂ 平 行 ，Ａ 女Ⅵ 别 表示 直线 ＡＭ 、 Ｍ 的 斜 率 ， 矗Ｍ，Ｂ 分 Ｂ 则
（ ） ．
ｆ ： ． 三 ，
・Ｂ 矗Ｍ一
分 ：ｌ 析令 。
【 一 ，
ｏ ＋ ＹｚＹ一 １
詈 ・ 奄
＝ １ 而 ・ 一 ． －， 一 从
注 ： 伸 缩 变换 下 ， 在 线段 的 中 点是 不 变 的 ， 在 圆 中， 而 圆心
与 弦 中点 的 连 线 垂 直 于 弦．
１＿
中 学 生 效
理
例 ３ 若 Ａ、 ｃ是 椭 圆ｘ ｙＺ Ｂ、 ｚ １直线仍变成直线， ． 斜率为原 ｝． 来的 １“ ６ ０ 上 的 三 点 ， （＞ ＞ ） ２ 两 条 直 线 的平 行 性 不 变 ． 别 地 平 行 于 纵 轴 （ 在 纵 轴 ． 特 或 则 Ｓ ｎ 的 最 大 值是 △Ｂ ｃ 上 的 段 平 于 轴（ 纵 上） 度 原来 寺， ） 线 仍 行 纵 或在 轴 ， 为 的 平 长 ｆ 一 ， 三 ． 分 ：Ｉ 则 内 Ａ Ｂ 就 成了 位圆 析令 “ 椭圆 接 ＡＣ 变 单
的 方程 是
６
．
ｆ ｘ ， ．
分 ：ｌ 析令 “
则 圆 变 了 位 ｚ 一 ， 椭 就 成 单 圆， ， １ ＋。
注 ： 用在 伸 缩 变换 下切 线 仍 为切 线 的 性 质 ， 利 通过 圃的 切 线 方程 可快 速 地 求 出椭 圆 的切 线 方 程 ．
【 一 ，
生 变 化 ． 若 直 线 与 曲 线 相 交 变 换 后 它 们仍 相交 ． 如 以下 通 过 几 个 例 题 说 明利 用 伸 缩 变 换 解 决 椭 圆 问 题 的 简
巧用伸缩变换妙解椭圆问题
巧用伸缩变换妙解椭圆问题程涛;刘少平;邹鹏【摘要】通过伸缩变换将椭圆转化为单位圆,把直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系,借助圆丰富的几何性质来避开繁琐的代数运算,简化解题过程,从而实现椭圆问题圆解决.【期刊名称】《河北理科教学研究》【年(卷),期】2016(000)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】伸缩变化;转化;内在联系;简化;性质【作者】程涛;刘少平;邹鹏【作者单位】湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中 433000;湖北省仙桃八中433000【正文语种】中文纵观近年各地高考试题中椭圆与直线相关问题，往往要将椭圆和直线方程联立、消元，然后运用根与系数关系、判别式、弦长公式等来求解，运算量大，耗时多，学生稍有差错就会出错，导致前功尽弃，这就引发了笔者的思考和关注，此类问题可否寻找合理的方法，来避开繁琐计算，达到简洁求解的目的，考虑到椭圆与圆的内在联系，联想选修内容中的伸缩变换，能否将椭圆与直线的问题转化为圆与直线的问题，借助圆的几何性质来处理呢？对于椭圆=1(a>b>0)经过进行伸缩变换，椭圆可化为单位圆x′2+y′2=1，该变换具有如下性质：2.1 直线Ax+By+C=0在伸缩变换作用下变为Aax′+Bby′+C=0，斜率为原来的倍.2.2 变换后共线三个点的二条线段的比值和变换前的比值一样.2.3 两相交(相切、相离)的曲线变换后仍然为两相交(相切、相离)的曲线，两平行直线变换后仍为平行直线.2.4 封闭图形在变换前的面积S与变换后的面积S′满足S.3.1椭圆化圆，利用垂径定理求解斜率问题例1 已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点且不平行坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.(2015年全国高考题)证明：(1)作伸缩变换，则椭圆9x2+y2=m2变为圆(x′)2+(y′)2=1，如图1和2所示，由伸缩变换性质可知，，由垂径定理易知O′M′⊥A′B′，∴KO′M′·KA′B′=-1，即，∴KOM·KAB=-9为定值.(2)若四边形OAPB能为平行四边形，由伸缩变换性质可知，对应的四边形O′A′P′B′也为平行四边形，则M′为O′P′的中点，联想M′为AB中点，由垂径定理知：O′到A′B′距离，又直线l过,m)，那么l′则过(1，1)，设l′的斜率为k′，则其直线方程为，解得.∴直线l的斜率.∴有符合条件的直线l存在，其斜率为.评注：由伸缩变换将椭圆化成圆后，借助圆中垂径定理使问题简洁获解，避免了繁杂、冗长的运算，体现了高考“多考一点想，少考一点算”的思想.3.2 椭圆化圆，利用圆幂定理解决相关线段问题例2 如图3，已知椭圆=1(a>b>0)，过椭圆左顶点A(-a,0)的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证OP,AR成等比数列.(清华大学自主招生试题)证明：作伸缩变换,椭圆化成圆∥,∴,∴(xp,yp)=λ(-xA,yR),∴,∴.从而O′P′∥A′R′，要证成等比数列⟺|AQ|·|AR|=2|OP|2⟺⟺|xQ+a|·|xA|=2|xP|2⟺⟺|A′Q′|·|A′R′|=2|O′P′|2(*)设|O′R′|=S，由圆幂定理可得|Q′R′|·|A′R′|=(s+1)(s-1)=s2-1.又s2+12=|A′R′|2=(|A′Q′|+|Q′R′|)·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+|Q′R′|·|A′R′|=|A′Q′|·|A′R′|+s 2-1∴|A′Q′|·|A′R′|=2=2|O′P′|2即(*)式成立,∴成等比数列评注：把椭圆化成圆后，利用圆幂定理，可以揭示线段之间内在联系，简化了传统算法中联立方程求点的坐标和线段长的繁难运算.3.3 椭圆化圆，借助弦长公式求解例3 已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图5，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程.(2015年陕西高考题)解：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0，则原点O到该直线的距离，由得，解得离心率.(2)由(1)知椭圆E的方程为，作伸缩变换后圆的方程为x′2+y′2=1，如图6所示，∵M(-2,1)为AB的中点，则为A′B′中点，在圆O′中，弦长又A′B′⊥O′M′，∴KA′B′·KO′M′=-1,KA′B′=1,∴.∴.又,∴解得：b2=3.故所求椭圆E的方程为.评注：通过椭圆化圆，借助圆的弦长公式，易求出|A′B′|表达式，再利用伸缩变化中坐标与斜率各自的变化关系，寻找两弦长之间关系，解题过程简单明了.3.4 椭圆化圆，借助直线与圆相切的性质求解例4 已知椭圆=1(其中a>b>0)的一个焦点为，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点p(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的2条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.(2014年广东高考题)解(略)(2)如图7和8，设点A、P、B在伸缩变换下对应点分别是为A′,P′,B′，则).故.直线P′A′,P′B′与圆0′相切，设过点P′的圆的切线方程为，即6kx-6y+3y0-2kx0=0，圆心距，即.由根与系数关系化简得，故点P的轨迹方程为x2+y2=13.评注：本题通过伸缩变换将直线与椭圆相切转化为直线与圆相切，借助圆心到切线的距离为半径来求解，巧妙避开解析几何中的联立消元.3.5 椭圆化圆，利用圆中角的关系求解例5 已知直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别相交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程.(2)求线段MN的长度最小值.解：(1)易求椭圆(2)作伸缩变换，则椭圆变成单位圆C′：x′2+y′2=1，直线变成直线，若l′与x′轴交于C′，令∠C′B′N′=α(α为锐角)，则∠A′B′S′=α，而A′B′为圆直径，∴∠A′S′B′=90°，则∠A′M′C′=α于是评注：椭圆化圆后，借助圆中角的关系，使问题完美解决，几乎没有计算量.3.6 椭圆化圆，利用点在圆内的性质求解例6 已知椭圆+y2=1上两个不同的点A、B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求△AOB面积的最大值(o为坐标原点).(2015浙江高考题)解：作伸缩变换把椭圆化成单位圆x′2+y′2=1，直线化成.设l与AB交于H点，则H为AB中点，由伸缩变换性质易知H′为A′B′中点，∵l⊥AB,∴KAB·Kl=-1.则伸缩变换性质易知.∵,∴,又O′H′⊥A′B′,∴KO′H′·KA′B′=-1,∴设H′(s,t),则，又H′在l′上，.即,∴.又H在圆x′2+y′2=1内，∴s2+t2<1,即,解得或.(2)在单位圆中由三角形面积公式可得,当时，S△A′O′B′有最大值,即,此时即由(1)知符合题意,又，∴.评注：椭圆化圆后，H′为A′B′中点，由垂径定理可求得O′H′的斜率，进而确定点H′横纵坐标关系，根据点H′在圆内构建不等关系来求m的范围.同时椭圆化圆后，为求△A′O′B′面积最大值提供极大方便，从而使问题简捷获解.借助伸缩变换把隐藏在椭圆中的圆充分挖掘出来，利用圆丰富的平面几何性质解决问题，不仅使问题的解决过程大大简化，而且圆与椭圆的互化，可以让我们领略知识之间并不是孤立，促使我们在研究问题时用联系的观点来学习数学，把看似孤立的知识点统一起来，这对于我们构建知识网络，提升数学思维具有重要意义.。
利用伸缩变换求解有关椭圆的问题
作者： 刘丽霞
作者机构： 200231,上海中学
出版物刊名： 上海中学数学
年卷期： 2014年 第1期
摘要：在中学数学中,伸缩变换在“三角函数的图像变换”这部分重点作了介绍,在其他章节较少涉及.解析几何中,直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与半径的大小关系作出判断,计算较为简单.而在判断直线与椭圆的位置关系时,往往是通过判别式来获得解决,这种方法使得计算量大幅增加,现在试将伸缩变换的方法引入其中,把椭圆变换为圆从而简化计算.。
用坐标伸缩变换解决椭圆问题
解 得 一５一
所 以 当 ｍ ＞ １＋ 时， 椭 圆 ① 内含于椭 圆 ②．
评析 用两 圆的位 置关系来 代 替两椭 圆的位 置
所以当 一５一√１ ３ ＜ｍ ＜一５＋￣ ／ １ ３时已知直
线与椭 圆相交 ．
２ ２
关 系显 然 问题容 易解决 ， 而坐标 伸缩 变换恰 好 沟通 了 两者 之间 的关 系 ， 化繁为 简 ， 安全可靠．
相应的圆 ＋ Ｙ ＝１ 和直线 ２ ｋ ｘ 一 √ ｍｙ 一１ ： ０ ， 要
使 已知 的直线 与椭 圆有且仅 有一个 公 共 点 ， 只要相 应
的直 线与 圆相切． Ｐ（ ｍ， ） 变 为 相 应 的 圆 ， ＋ｙ ， ２：１和 定 点 Ｐ （ ，
解 令 ， ： ，ｙ 车， 则已 知椭圆 和定点
ｆ １ 的距 离小 于半 径 １ ， 即 ｌ ２×１—３×（ 一１ ）＋， ｎ ｌ ，，
、
、 ／ ／ （ １ —０ ） ＋（ 一１— ０ ） ＜ ｌ ， ｎ一１ ｌ （ ， ｎ＞０ ） ，
解得 ｍ ＞ １＋ ， 或 ｍ ＜ １一 （ 舍去） ，
恩
＜ ｍ ＜一５＋
ｎ Ｚ
椭 圆方 程变为
所 在 直线的 方 程为ｙ ， 一 旱＝ 一 （ ， 一 ） ．
所 以以 Ｐ （ ｍ， ｎ ）为 中点 的弦 所在 的直 线 方程 为
ｙ
一
＋ Ｙ ＝１ Ｄ Ｄ 即 ＋ 午 １ ＝ ２ ｂ ，
，
２
令 ， ＿ ， Ｙ √ ２ ｙ ，
７ ３ ０ ０ ７ ０
宋
波
解 得 一 了 １ ＜ ＜ ÷ ．
评析 以上 两例也可 以用一 元二 次方 程 的判别
伸缩变换下的椭圆
A Q
B
的斜率为-ax1/by1,由变换保持曲线的 相切关系不变得直线AQ和BQ为原椭 圆切线且弦AB斜率为
-(x1/a^2)/(y1/b^2)
A' Q'
B'
结论7 过点Q(x1,y1)的动直线l交椭圆于A、B两点， 则弦AB的中点M的轨迹是曲线
x(x a2
x1
)
y( y y1) b2
0
证明：在笛卡尔坐标系中，不共线的三点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),P3(x3,y3)经过伸缩变换变换为不共线的三点
P1'(x1',y1'),P2'(x2',y2'),P3'(x3',y3'),于是
S P1P2 P3
1 2
x1 x2
y1 1
y2 1 的绝对值
(1)
x3 y3 1
1 x1' y1' 1
特别的，在平面 上选取直角坐标系后用方程
组
x y
ax' by'
,
ab
0
给出的变换叫做平面
的伸缩变
换。
从直观上看，伸缩变换就是分别在x轴和y轴两个
方向进行伸缩。下面依次从线、角、面三个角度来看
伸缩变换的性质。
线
• 伸缩变换将点映射到点，直线对应直线。(同素 性)。
• 点A、B、C在直线n上，伸缩变换后其对应点A'、 B'、C'在对应直线n'上。(结合性)
则原椭圆的弦中点轨迹为一条过
椭圆中心的斜率为-b^2/ka^2的直径
巧用伸缩变换解答椭圆问题
=4探索探索与与研研究究所以△O'M'F'∽△O'D'M',∠O'D'M'=∠O'M'F'，同理可得△O'N'F'∽△O'D'N',∠O'D'N'=∠O'N'F',故O'D'可平分∠M ′D ′N ′，即D ′M ′，D ′N 关于x 轴对称.解答本题，需对椭圆作伸缩变换，将问题转化为圆的问题，根据圆的等角定理和全等三角形的性质进行求解，即可快速求得问题的答案.利用我们熟悉的圆的几何性质进行求解，能大大简化计算.例3.已知椭圆E :x 22+y 2=1，O 为坐标原点，直线l 与E 交于A 、C 两点，以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC ，点B 恰好在E 上，试问：平行四边形OABC 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.图5解：作伸缩变换：ìíîx ′=x,y ′=2y,椭圆x 22+y 2=1变换为圆：x ′2+y ′2=2，如图5、6.由伸缩变换图形的性质可知，O'A'B'C'仍为平行四边形，但此时OA =OC ，则O'A'B'C'为菱形，所以S △ABC =2S O'A'B'C'，显然△O′A ′B ′是正三角形，则S O'A'B'C'=2S △O ′A ′B ′=2)2=3，故S △ABC =12S O'A'B'C'作伸缩变换，可将椭圆化为圆，但平行四边形仍为平行四边形.而平行四边形O'A'B'C'的邻边为圆的半径，即可判定O'A'B'C'为菱形，进而根据菱形的对称性以及三角形的面积公式，求得平行四边形OABC 的面积.例4.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，P 、Q 是椭圆C 上的两点，且直线OP 与OQ 的斜率之积为-34（O 为坐标原点），点D 为射线OP 上一点，且 OP =PD ，若直线DQ 与椭圆C交于点E ，设 QC =λED (λ>0).求λ的值以及求四边形OPEQ 的面积.图7解：作伸缩变换：ìíîïïx ′=x,y ′=23y,椭圆x 242+y 232=1变换为圆：x ′2+y ′2=4，如图7、8，因为k OP ·k OQ =-34，由伸缩变换图形的性质得k O ′P ′·k O ′Q ′=-1，得O'P'⊥O'Q'，由伸缩变换图形的性质可知，P'仍为O'D'的中点，延长D'O'交圆O'于G'，连接G'O'，P'E'，如图8，D'图8由圆的割线定理可得D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，即D'E'=35D'Q'，而 QE =23 ED ，则λ=23，所以S O'P'E'Q'=S△D'O'Q'-S △D'P'E'=710S △P'O'Q ′=710×12×4×2=145，故S OPEQ O'P'E'Q'=735.作伸缩变换后，由k OP ·k OQ =-b 2a2可得OP ⊥OQ ，即可根据三角形的面积公式求得S △D'O'Q'.由圆的割线定理，可得出D'P'⋅D'G'=D'E'⋅D'Q'，从而求得λ的值.通过伸缩变换，将椭圆化为圆，就能将复杂的椭圆问题转化为简单的圆的问题.这也说明了数学知识之间是有联系的，并不是孤立的.在解题时，同学们要善于把握问题的本质，将所学的知识融会贯通起来，进行合理的转化.这样就能有效地避免繁琐的计算，达到事半功倍的效果.（作者单位:江苏省扬中高级中学）探索探索与与研研究究51。
伸缩变换之椭圆与圆
＝
｛ Ｌ ： 一 。 ＋ ｏ ｓ （ ｔ 为 参 数 ） ，
吼删 ’
＝
将 它 代 人 一 若 ＝ １ 得
ｆ ０ ｓ ｉ ｎ 。 ０ 一ｂ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ０ ） ｔ ＋２ ａ ｂ ２ ｃ ｏ ｓ ０ ． ｔ ：０
Ｊ ＡＰ Ｉ
ａ
Ｉ Ｏ ＡＩ ． ’
注 在性质 ２和性质 ３中， 若 Ｍ Ｎ 是过焦点的弦， 则其 中 ： ｅ为椭 圆 、 双曲线 的离心率．
２
一 …
中学 数 学研 究
证 明 作伸缩变换
２ ０ １ ６年第 １ ２期 （ 上）
ｎ。
，
因为 ｋ ｏ Ｍ， ． ｋ Ａ ， Ｂ ，： 一１ ， 所以 ｉ ａ ｏ Ｍ． ａ 后 Ａ ｔ ３： 一１ 即
箬 ．
图３ ， 由 圆的 切割 线走 理： Ｉ Ｐ Ｔ 个 ＝Ｉ Ｆ Ａ Ｌ Ｉ Ｐ Ｂ Ｉ 又 ：１ ，
；＝
１ （ 。＞
：
孚 ， 所 以
±
ｌ ＝ ：一 ３
ｚ ２： ： ２ 于点 Ｅ， 若ｋ ｌ 七 ｌ ：一 ５ ２
，
证 明 为 ＣＤ 的中点．
直线 ＯＭ 和 ＡＢ的斜率都存在， 则ｋ ｏ Ｍ． ｋ Ａ Ｂ： 一１ ．
在椭圆中， 已知椭圆 竺
０， ２
＋ ｙ２
＝
Ｄ
１ （ 。＞６＞０ ） ， ＡＢ为
我们很容 易证 明在伸缩变换 下直线还是 直线， 斜 率之间 的关 系为 七 ： ， 我们常常将椭 圆 ｘ ２＋ ｙ ２ １ （ 。＞６ ＞。 ） 在 “ ａ ‘ Ｏ‘
：
弦， Ｍ 为 ＡＢ 的 中点， 若直线 ＯＭ 和 ＡＢ 的斜率都 存在， 则
椭圆方程变圆的伸缩变换
椭圆方程变圆的伸缩变换椭圆方程变圆的伸缩变换，听起来像是在说什么复杂的数学公式，咱们可以把它想得简单一点。
就好比你去买衣服，选对尺码能让你看起来神采奕奕。
椭圆和圆其实是数学世界里的“时尚单品”，虽然形状不同，但它们都有自己的魅力。
你看，椭圆就像是一个微微扭曲的圆，它的长短轴不一样，仿佛在说：“我有我的个性！”这也让它成为很多公式中的“主角”。
当我们谈到变换，尤其是伸缩变换的时候，就像是给椭圆做了一个“塑形”手术，让它更符合我们的审美。
想象一下，咱们把椭圆按压成圆，简直像把面团搓成了一个完美的球，谁不想要个圆圆的，完美无瑕的呢？伸缩变换其实就是一种操作，简单来说，就是把椭圆的某些部分“拉长”或者“压扁”。
比如，咱们有个椭圆方程，看起来就像一位正在进行高难度拉伸的体操选手，优雅却又有点紧绷。
这个过程有点像是在调音，细微的调整就能让这个椭圆变得更圆。
想象一下，咱们把一个有点胖胖的橙子，轻轻按压，结果变成了一个圆圆的小球。
椭圆里的每一个点，随着这个变换，也会跟着调皮地移动，形成一个新的形状。
变换并不复杂，关键在于理解这些点如何在空间中舞动。
就像在跳舞，哪个点应该抬高，哪个点应该放低，全看你想要的效果。
椭圆方程变成圆的过程，就像是一场盛大的变脸秀。
变化的瞬间，可能有些人会惊呼：“哇，太神奇了！”每一个数学操作，都是在为这个方程增添色彩。
就像咱们常说的，努力就会有回报，一点点的伸缩，最终会给我们带来一个光鲜亮丽的结果。
这个过程里，不光是形式的变化，内在的性质也可能会随之改变，真是让人忍不住想要探个究竟。
每当我们把这个过程理清楚，心里就像开了一扇窗，顿时阳光洒满了整个房间。
说到这里，咱们不能忘了圆和椭圆的根本差别。
圆可是个小家伙，它每个点离中心的距离都一样，简直就像是天生的“完美主义者”。
而椭圆就像个随和的朋友，给你带来了不同的“长短不一”的体验。
这就好比，生活中有的人喜欢尝试新事物，而有的人则一成不变。
每个人都有自己的特点，正是这些不同，让我们的世界更加丰富多彩。
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—
７ ０＝０上 的点 Ｐ作椭 圆５ ． － ， ４
‘
一
２
＝
ｌ的切 线 Ｐ Ｐ 切点 分 Ｍ、 Ⅳ，
７
２
．
２
别为 肘、 连结 ＭＮ． １ Ⅳ， （ ）当点 Ｐ 在直线 ｆ 运动 时 ， 明 ： 线 上 证 直 ＭＮ恒过定点 Ｑ；２ （ ）当 ＭＮ／ ／ｌ 时， 定点 Ｑ平分线段 ＭＮ．
涉及到指定 区间上 一元 二次不 等式 的恒成 立 问题 时 ， 应
根据“ 三个二 次”的辨证统一关 系 ， 二次 函数 图象的对称 轴 对
，
四、 结语
化为 ｙ ５ 。—了 代 入直 线 删 方 程 ， ０＝ ２ 得 。 ＋（ ５ 。 ． ２ ５ ０
，
当然 ， 我们这里不对伸缩变换作 进一 步深入 研究 ， 只是 它
一
高等几何 中的仿射 变换 的一种 特殊情 况 ， 有仿 射变 换 的共 既 性特征 ， 也有其 个性特点． 而在这里 的有 关 阐述 ， 体是用 以 主
点（ 其坐标与 ｍ无关 ） ．
，
…
…
…
…
下
．
２
．
ｊ
解 通 伸 变 ｛ ， 把 圆 析 过 缩 换 一 可 椭 等 ｝ Ｌ ３ 以 一
‘ ＾， ‘
过 直线 ｌ ｘ一 ： ５
１１
一７ ０＝０上的 ｐ．２ ＝１ ． ＋ ｘ 的切线
变换成圆 ＋ｙ ２＝９ 设 ＭＮ与 Ａ ． 曰交 于点 日（ ，） 由有关 圆 ｈＯ ， 的一个性质 ： 圆内接 四边形 Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ，Ｄ与 Ｂ Ｃ交 于点 Ｐ，Ｃ与 Ａ
解析
的 问题 ：
图３
系 中，知 圆 々 ＝ 的 顶 为 、， 点 已 椭 等＋ １ 左右 点 Ｂ右焦 为
Ｆ 设过点 Ｔ ｔｍ） ， （， 的直线 ， 与椭 圆分别交 于点 Ｍ（ ，） 船 。ｙ ， Ｎ（２ ） 其 中 ｍ ＞０Ｙ ｘ， ， ，Ｉ＞０，２＜０ Ｙ ．
① 略； 略； 设ｔ ９ 求证： ② ③ ＝ ， 直线ＭＮ必过 轴上的一定
ｔ ＝２ ｙ ｙ．
２
例ｔ 如图１椭圆ａ ＋Ｄ ＝ ， 鲁
１（ ａ＞ｂ＞０ 与 轴交 于点 Ａ 与 ） ，
ｙ轴交 于点 Ｂ、 ， Ｃ 在椭 圆上 任取 一 点 Ｐ， 连结 Ｂ Ｃ 分别与 轴交于 Ｐ、Ｐ， 点 、 求证 ： Ｍ ・ Ｎ ＝Ｏ Ⅳ， Ｏ Ｏ Ａ．
解析 可 以把椭 圆利 用伸缩
例 ３ （０８ ２０ 湖南省高中数
学竞赛 ） 图３过 直线 ｚ ｘ ７ 如 ，
）Ｐ ，Ｑ的斜率 ＝一２ 可知 １
，
２
Ｐ Ｑ上ＭＮ， Ｐ ＝Ｐ 所 以点 Ｑ是线段 ＭＮ的中点 ， 又 Ｍ Ｎ， 即点 Ｑ平
分线段 侈 （ ００年全 国高考 江苏第 １ ０ ４ ２１ ８题 ）在平 面直 角 坐标
ｒ ．．
这里所 指出的有 关伸缩变换 的性质 ， 比较 简单 的， 是 其证 明也是很容易的． 罗列 出这些性质 ， 以更好地赏 析下 面用 圆的
相关性质处理椭 圆问题 的例题． 三、 用圆的相关性质处理椭圆问题
，
一
的对应点的坐标为（ Ｙ ， ， ） 由题意可得｛ 一 因为 ＋
ｏｃ
＿ ＿
的内在关 系进行类 比探 索 ， 即 ． 的有关性 质发 现椭 圆的相 圆
关性质 ， 是为学生 将来作 准备 ， 之后 的合情推 理教学 中 ， 也 而
是否对这里揭示 的椭 圆与 圆的 ； 关系作 类 比探 索 ， 就不 勺在 那
得而知 了．
Ｄ
，
即 Ｏ ・ Ｎ ＝Ｏ ・ Ｃ ＝Ｏ Ｍ Ｏ Ｂ Ｏ Ａ．
在关系 ， 为学生将来能运用这种 内在 联系进行类 比探索 ， 即从 圆的有关性质发 现椭 圆的相关性 质 ， 作准备． 上面 的例题往往 在教学中无论 对于学生 还是教师 都显得 相对“ 平静 ” 其原 因在 于对“ ， 压缩变换 ”认识 和理解 是不到位
的 ， 至于对此 都没有 必要提 ； 甚 另外 ， 于运用椭 圆与 圆之问 对
（ ｋ＞０ ｋ≠ １ 称 为伸缩变换 ， ＞１ ， ） 时为压缩变换 ， ０＜ｋ＜１
（） １ 直线 Ｒ Ｓ 、 Ｎ与 圆相切 ；２ Ｍ，Ｔ Ｒ （） 线段 Ｒ ． Ｒ Ｍ、 、 Ｎ分别被点 ． Ｐ、 分 ｓ ｓ Ｔ 、
图２
通过 伸缩变换 ， 现了椭 圆与 圆之 间的 内在 联系 ， 展 我们研
例 ２ 如图 ２ 点 ， Ｐ是椭 ， Ⅳ， 圆上三个不同 的点 ， 该三 点分别 过
二 、 缩变换及其有关性质 伸 上面 出现 的变换 把 圆变 换成椭 圆， 故可 以形象 地把 它称
ｒ ＝ ，
作椭圆的切线 ， 三切线两两相交。 设 交 分别为Ｒ ｓ 求证： ・ ・ 、、
ｊ ｊ ～一工 ｊ ｊ ｊＬｊ －工 ｊ ｊ —乙 ｊ ＿ ．
上
福建省永安第一 中学 （６００ 唐为民 ● ３６０ ）
若含参数不等式对 于给定 区间内任 意值都成 立 ， 我们称 它为含参数不等式恒 成立 问题． 种类 型的题 目是高考 命题 这
的一个热点． 本文 试对 这类 问题 的求解策 略作 ～些归 纳和 总 结， 以供 师生们参考．
Ｔ ・ Ａ—Ｈ Ｈ 即 ｔ Ｍ Ｔ Ａ・ Ｂ， ＋（ ９～ｈ ＝ｔ ９ ） ＋ 一９一（ ３一ｈ （ ）ｈ
＋ ）所 以ｈ＝１也就是说直线 Ｍ ３， ， Ｎ必过 轴上的一定点 日 １ （，
０． ）
点 Ｐ在直线 ｚ 一 ： ５
一 ０：ｏ上 ， ５ 一２＿ —７ ７ 即 粕 １０ ０：０ ｙ
成的线段之比不变， 丽 ＮＴ 笪 的比值 在变换后保 持不变． 即Ｍ 丽 Ｒ
、
、
Ｔ Ｐ
究伸缩变换 中的有关 性质 ， 以从 圆的有关性 质探索 、 就可 发现 椭 圆的相关 性质 ， 而帮助我们 更好地认识椭 圆 、 有关 Ｉ 从 解决
题．
Ｓ ＝ｓ 、Ｍ ＝Ｒ 、 ＝ ’ 丽 Ｎ ・ Ｓ ＝１相应 的 Ｍ ＰＲ Ｎ 故ＭＲ・ Ｐ ｒ ． 伽
Ｂ Ｄ交于点 肘， 则 ＝Ｐ Ｐ Ａ・ Ｄ— Ｍ ・ ． Ａ ＭＣ 可以得 到 ： ＝
Ｐ Ｐ， Ｍ、Ｎ 切点分别为 Ｍ、 连结 Ｍ ． １ Ｎ， Ｎ （）当点 Ｐ在直线 ｌ 上运
动时 ， 明： 证 直线 ＭＮ恒过定点 ；２ （ ）当 ＭＮ上 ｌ ， 时 定点 Ｑ平 分线段 ＭＮ ． 设 点 Ｐ的坐标 为 （０ ） 易知直 线 ＭＮ方程为 ： ， ， ｙ＝２ ． ５ 又
图１
变换成圆 ， 由伸缩 变换 性 质可 知 ， 在 轴 上 为不 动点． 时 ， 此 Ｏ Ｏ 、Ａ Ｂ、 Ｃ Ｏ 都是 圆０半径 ，Ｃ是圆 ０的直径 ， ／ Ｐ Ｂ 有 ＿Ｂ Ｃ＝９ 。 ０，
故 Ｃ Ｍ ＝ Ｏ Ｃ， 以 ｚＯ Ｃ Ｂ Ｎ 所 ｘ Ｎ △Ｄ Ｍ， Ｂ 由此僭到 Ｎ ＝ Ｏ
椭圆部分增加 了下面的例题．
还是直线 ：３ 两直线平行 、 （） 相交的性质不变 ；４ 平行或共线 （）
的两线段的长度 比例关 系不变 ； ５ （ ）直线与椭 圆 （ 或圆 ）的 位
置关系不变．
例 ２ 将 圆 ＋ｙ ２＝４上的点横坐标保持不变 ， 纵坐标变 为原来的一半 ， 求所得 曲线的力程 ， 并说 明它 是什 么曲线． 解 设所 得曲线上 任一点坐标为（ ） ， ，） 圆 ＋ ， ， ） ＝４ ｔ 一 －
， ，
１ —丫 丫 丫
．ｒ １ １ 广 广丫
］广丫 丫 广 丫 丫 ｒ丫
． １ｒ 丫 ｒ］● 丫 １● ］一 ＇ ｒ － 丫
・
含 参 不等 式恒成立 问题 的求解 策略 ｌ
・
ｌ ｌ
・
・
ｊ ｊｌ —ｊ Ｌ ｊ ｊ ＿ － ｊ 上 工－
ＪＬ—Ｌ 上
一 ．工 工 Ｊ ｊ ｊ ｊ —ｊ ． ＪＬ—Ｌ ＪＬ 工
题中的定点 Ｑ的坐标为（５ － ２ ｆ
Ｅ蓠 ｌ ．＾ — 卜 ＾ ¨ ｔＪ芒 Ｌ．，
， 一 。
９、 ） ・
对于（ ）就是要证 明定 点 Ｑ是线段 Ｍ ２， Ｎ的 中点 ， Ｍ ／ 由 Ｎ／
￣ ３５ ｆ ５０ 了 Ｏ 结合５。 了 一 ０＝ｏｆ ｔ ＝４ ７ 知， ２ 。＝ ， ｙ １ 一２ １ ７
Ｙ ＝４， 以 ＋４， ＝４ 即 一＋ｙ “ 所 ） ， ２＝ １ ．
Ｂ
／ 一 ‘
这就是变换后所得 曲线 的方程 ， 它表示一个椭圆． 这道例题在教学参考 书 中明确指 出 ： 运用 方程证 实猜 ①
＼ ／ＮＡＭｔ ／ Ｊ ２
Ｃ
想 ： 圆可 用圆进行 压缩变换得到 ； 揭示椭 圆与圆之间的内 椭 ②
一
进行分类讨论去解 决问题．
例 不 式２ １０一 （ ］成 ｌ若 等 ＋≥对 切 ｅｏ 恒 ＋ ， ÷
立 ， 实数 。的取值范 围． 求
、
实根分布法
解 令 ＝ 十＋只做 ： （ ］， ） ２ １需 到 ０ 时 ， 当 ， ÷
ｆ ｘ 的图象不在 轴下方． （） 由于二 次函数 图象的对称轴 ＝一
《 数理化解题研究￣ Ｏ１年第 期 ２ｌ
数学篇
２ ３
苏州大学附属 中学 （１ ０６ 葛桂华 ◆ ２５ ０ ）
一
、一
道 例题及其教学预期
换之后 是其 本身（ 可称 为变换 中的不 动点 ） （ ）直 线变 换后 ；２
相 比较 以前所用 的教 材 ， 普 通高 中课程标 准实验教科 在《 书选修 ２一ｌ 数学》 江苏 教育出版社 ） ２ ， （ 第 ７页 就圆锥 曲线中
对椭圆问题借 助圆 的相 关性 质来认 识和解 决 ， 一方 面是 对教 材中例题 的作 用亦 或教参 中提出的揭示 圆与椭 圆之问 关系有 个解释 ； 男一方面也对学有余力 的同学有些触 动 ， 或者 说希 望 能激发他们对数学学习的兴趣 ； 也有抛砖 引玉 的意思．