泊松过程的应用

应用随机过程课程论文

题目:浅谈泊松过程及其应用

姓名:

学院:理学院

学号:

2013年7月1 日

浅谈泊松过程及其应用

摘要： 本文论述了泊松过程的有关定义，并对其进行相应的推广，阐述了时齐泊松过程、非时齐泊松过程、复合泊松过程以及条件泊松过程，从中很容易看出它们之间的联系。同时，本文也在排队论、数控机床可靠性、保险、航空备件需求上简单描述了泊松过程的应用。另外，泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中也有着广泛的应用。

关键词：泊松过程；复合泊松过程；排队论

一、泊松过程

1．时齐泊松过程

定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：

（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;

（2） 它是独立增量过程;

（3） 0,0,,()()s t k N s t N s ∀≥∈+-是参数为t λ的泊松分布，即

{}()()().!

k

t t P N t s N t k e k λλ-+-== 则称此随机过程为时齐泊松过程。

2．非时齐泊松过程

定义：一随机过程{}(),0N t t ≥，若满足如下条件：

（1） 它是一个计数过程，且(0)0N =;

（2） 它是独立增量过程;

（3） 0,0,,s t k ∀≥∈满足{}()()[()()]()().!

k

m s m s t m s t m s P N t s N t k e k -++-+-==其中 0()()t

m t s ds λ=⎰，则称此随机过程为具有强度函数为{}(t)>0λ的非时齐泊松过程。 3．复合泊松过程

定义：设{},1i Y i ≥是独立同分布的随机变量序列，{}(),0N t t ≥为泊松过程，

且{}(),0N t t ≥与{},1i Y i ≥独立，记()

1()N t i i X t Y ==∑，则称{}(),0X t t ≥为复合泊松过程。

4．条件泊松过程

定义：设Λ为一正的随机变量，分布函数为(),0G x x ≥，当给定λΛ=的条件下，{}(),0N t t ≥是一个为泊松过程，即0,0,,0s t k λ∀≥∈≥， 有{}()()().!

k

t t P N t s N t k e k λλλ-+-=Λ== 则称{}(),0N t t ≥是条件泊松过程。 注：这里{}(),0N t t ≥不再是增量独立的过程，由全概率公式，可得

{}0()()()().!

k t t P N t s N t k e dG k λλλ∞

-+-==⎰

二、泊松过程的部分应用

泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。泊松过程在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。下面就谈谈部分的应用。

1．时齐泊松过程在排队论中的应用

泊松过程在排队论中应用很广泛，下面就一个例子来简单说明下：假设顾客到达服务站的人数服从强度为λ的泊松过程, 到达的顾客很快就可以接受服务, 并且假设服务时间是独立的并且服从一个普通的分布, 记为G 。为了计算在时刻t 已完成服务和正在接受服务的顾客的联合分布, 把在时刻t 完成服务的顾客称为第一类, 在时刻t 未完成服务的顾客称为第二类顾客, 现在如果第一个顾客到来的时间为S , S t ≤, 如果他的服务 时间少于t s -, 那么他就是第一类顾客, 并且因为服务时间服从G 分布, 所以服务时间少于t s -的概率为()G t s -。因而, ()();.P s G t s S t =-≤ 设()i N t 表示的是到时间t 为止发生的第i 类事件的数量12(1,2),(),()i N t N t =分别表示的是参数为tp λ和(1)t p λ-的独立泊松随机变量。利用齐次泊松过程分解定理。我们得到1()N t 2,()N t 的分布。到时间t 为止, 已完成服务和仍然在接受服务的顾客的数目都服从泊松分布, 可利用期望算出参数值。 2. 非时齐泊松过程在数控机床可靠性的应用

基于试验总时间法对多样本随机截尾的数控机床现场数据进行趋势检验，在故障过程为浴盆曲线的趋势条件下，构建了数控机床的非齐次泊松过程的可靠性模型。使用极大似然估计法对非齐次泊松过程的强度函数进行参数估计，得到了该模型的可靠性指标。以6台加工中心的现场数据为例，建立了非齐次泊松过程的可靠性模型。

3. 非时齐泊松过程在航空备件需求的应用

在应用非齐次泊松过程计算航空备件需求量时, 需要假设：1、航空设备的故障为系列随机点；2、故障后用备用件替换；3、当设备为可修件时, 维修方式为最小维修( 修复如旧)；4、计算更换复杂系统的故障次数, 该系统满足更换新件但不影响系统故障特性。这时, 备件需求量可采用随机点过程中的非齐次泊松过程, 利用该方法不仅可以进行故障发生时间点以及时间间隔模拟, 而且可以计算一定时间内故障次数的期望。

对于维修方式为最小维修的可修件来说, 应用非齐次泊松过程不仅可以预测备件的需求量而且还可以预计下次故障的时间期望, 在这些方面, 非齐次泊松过程适宜应

用于这类备件需求分析和决策。同时针对故障率随时间变化的特点将非齐次泊松过程应用到特定的航空装备故障预测和需求量的计算上, 精度得到很大提高。

4. 复合泊松过程在人寿保险问题中的应用

设()N t 表示在时间区间(]0,t 内死亡的“保险单持有者”的人数, 由于{}(),0N t t ≥服从参数为λ的负指数分布的更新计数过程, 故随机过程{}(),0N t t ≥为时齐泊松过程。 同时, 若()W t 表示保险公司在时间区间(]0,t 内, 对所有“持保险单”的死亡者支付的总金额, 而k ξ表示第k 个保险单持有者, 在k τ时刻死亡时, 总共向保险公司索取的保险金, 显然{},1,2,3k k ξ=是随机序列, 且有以下关系式成立:

()123()1()(1)

N t N t k

k W t t ξξξξξ==++++=≥∑