波动方程的达朗贝尔公式

最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通 解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全 从中确定一个特解. 而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得 达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付 氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件. 那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就 恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有 固定的答案. 这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要 复杂的多.
将 utt , u xx 代入方程(1), 得到
a 2 ( utt − 2uξη + uηη ) = a 2 ( uξξ + 2uξη + uηη )
uξη = 0 对于这个方程,先关于η 求积分,得
即
uξ = ∫ 0dη = c (ξ )
将上式再关于 ξ 求积分,得
u = ∫ c (ξ )d ξ = F (ξ ) + G (η )
波动方程的D’Alembert公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)
ϕ
0 x y
2π π ∂ ⎡ t ⎤ u ( M , t ) = u ( x, y , z , t ) = ⎢ ϕ (α , β , γ ) ds ⎥ 2 2 ∫0 ∫0 ∂t ⎣ 4π a t ⎦ 2π π 1 + ψ (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0 4π a t 1 ⎡∂ ϕ (ξ ,η , ζ ) ψ (ξ ,η , ζ ) ⎤ ds + ∫∫ M ds ⎥ = M ⎢ ∂t ∫∫Sat (8) Sat 4π a ⎣ at at ⎦
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z + at cosθ ds = a 2t 2 sin θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
2.三维波动方程Cauchy问题的 Poisson公式
现在考察三维波动方程的初值问题
⎧utt = a 2 Δu = a 2 ( u xx + u yy + u zz ) ( −∞ < x, y, z < ∞, t > 0 ) ⎪ ⎪ ( −∞ < x, y, z < ∞ ) ⎨u ( x, y, z ,0 ) = ϕ ( x, y, z ) ⎪ ( −∞ < x, y, z < ∞ ) ⎪ut ( x, y, z ,0 ) = ψ ( x, y, z ) ⎩
α
4a
图1给出了这个弦每经过时间
后的相对位移.
假如画出每经过充分小的一段时间之后这线的相对位置, 并以它们为镜头组成活动影片,就可以显示出所给初始扰 动的传播过程.
u
−α
α
x x
当t=0时 当t= 当t= 当t= 当t= 当t=
α
4a 2α 4a 3α 4a 4α 4a 5α 4a
时 时 时 时 时
[ x1 , x2 ]
的影响
在区域II,III中任点的值,都不会受到
上初始扰动的影响.因此,我们把区域I称为区间 区域. (ii) (i) 影响区域 (x ,t) (x ,t) II x1 II I x2 x II
影响区域 I x0
x=
x0
+
at
III
x
特别,将区间 [ x1 , x2 ]缩为一点x0时,则得该点x0的影响区 域是以x0为顶点的角状区域. 在上面的讨论中,我们看到了( x, t )平面上的直线 x ± at = c (常数)对波动方程的研究起着重要的作用,它们称为波动 方程的特征线.
代入(3)式,得 达朗贝尔公式
u ( x, t ) =
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 x + at + ∫x−at ψ ( s )ds 2a
(7)
达朗贝尔公式的物理意义
通解
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
表示弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的 两个方向传播出去,故达朗贝尔解法又称为行波解法. a为波的传播速度.从分析a的量纲也可以知道a代表速度,因为
反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在 一有限区间 [ x1 , x2 ] 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范 围是什么? 在 ( x, t ) 平面上,过
( x1 ,0 ) 和 ( x 2 , 0 ) 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x = x1 − at
x = x2 + at
−α −
α
2
α+
α
2
x x
−2α
2α
x x
图1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
以上例子,从物理来看, 仍是十分明显的事. 然而由于初始函数 的导数有不连续点,致使解 不能处处满足(1).这个矛盾
⎧0 ⎪ ⎪2 + 2 x ⎪ α ϕ ( x) = ⎨ ⎪2 − 2 x ⎪ α ⎪0 ⎩
( x < −α ) ( −α ≤ x ≤ 0 ) (0 ≤ x ≤ α ) (x >α)
它们分别与x轴相交于 x1 = x0 − at0 和 x2 = x0 + at0 两点,如图 .由达朗贝尔公式有
u ( x0 , t0 ) =
ϕ ( x1 ) + ϕ ( x2 )
2
1 x2 + ∫x1 ψ ( s )ds 2a
(x0,t0)
决定区域
可见,函数 u ( x, t ) 在点 ( x0 , t0 ) 的值系由初值函数 ϕ ( x ) ,ψ ( x ) 在区 间 [ x1 , x2 ] 上的值完全确定,而与它们 在区间 [ x1 , x2 ] 以外的值无关.或者说 解 u ( x, t )在点 ( x0 , t0 ) 的值,仅仅依 赖于初值函数在区间 [ x1 , x2 ]上的值 因此,我们把 [ x1 , x2 ] (即[ x0 − at0 , x0 + at0 ]) 称为点 ( x0 , t0 ) 的依赖区间.
utt = a 2u xx .
(iii) 数 ω ( x ) 换为ψ ( x ) . 问题的解了. 现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页) 如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函 如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 ω ( x ) 换为ϕ ( x ).两者都换了之后,u1+u2就成了定解
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一 点 ( x0 , t0 ) 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢? 为此,在 ( x, t ) 平面上,过点 ( x0 , t0 ) 作两条直线
x − at = x0 − at0 = x1
(i)
x + at = x0 + at0 = x2 (ii)
一
确间: 区间中点:x
维
球面: 球心:(x ,y ,z) 球的半径:at
三
维
区间半径:at 区见的长度:2at(积分区间) 任意函数 ω x 在区间 上的平均值为
球的表面积:4πa2t2(积分区域) 任意函数ω
( )
1 x + at v ( x, t ) = ∫x − at ω (α )dα 2at
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
[ x − at , x + at ]
上的算术平均值.积分值的大小依赖于区间的中点x和区间 的长半径at,即是说,这个平均值是两个变量 ( x, t ) 的函数, 记为 v ( x, t )
(ii)
ω ( x )是一个任意函数,但 u1 = tv ( x, t ) , u2 =
永远都满足方程
∂ ⎡tv ( x, t ) ⎤ ⎣ ⎦ ∂t
方程（1）属于双曲型，它有两族实特征曲线
x − at = c1 , x + at = c2 .
引入新的变量
ξ = x − at ,η = x + at
利用复合函数求导数的法则,容易算出
u x = uξ ξ x + uηη x = uξ + uη
u xx = ( u x )ξ ξ x + ( u x )η η x = ( u x )ξ + ( u x )η = ( uξ + uη )ξ + ( uξ + uη )η = uξξ + 2uξη + uηη ut = uξ ξt + uηηt = a ( −uξ + uη ) utt = ( ut )ξ ξt + ( ut )η ηt = a ⎡ − ( ut )ξ + ( ut )η ⎤ ⎣ ⎦ = a ⎡ − a ( −uξ + uη )ξ + a ( −uξ + uη )η ⎤ ⎣ ⎦ = a 2 ( uξξ − 2uξη + uηη )
其中 ϕ ( x, y, z ) ,ψ ( x, y, z ) 为已知函数.
从确定问题的形式上看,三维和一维是相似的.因此,我们猜想, 理解的形式和求解途径,也可以是相似的.这种平行推广法在 数学上是常用的.当然这种办法有时行得通,有时行不通,那就 看所讨论的问题在一维和高维之间,有没有本质的区别. 现在我们把达氏解(7)改写为如下的形式:
(i) O x1
(x, t)
依赖区间
(ii) x2
另外,在以 ( x0 , t0 ) 为顶点的三角区域中,任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都必须落在区间 [ x1 , x2 ] 之内,因此解 u ( x, t ) 在 此三角形中的值就完全由初值函数在区间 [ x1 , x2 ] 上的值决定 自然的,这个三角形区域就称为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域.
于是得到一个向上敞开的区域I.在区域I中,任意一点 的依赖区间必须与 [ x1 , x2 ] 相交.也就是说,解 I中任意一点的值,都要受到区间 在区间II,III中,任意一点 也就是说,解
( x, t )
[ x1 , x2 ]
u ( x, t )
在区域
上初始扰动的影响.而
u ( x, t )
( x, t ) 的依赖区间则不与[ x1 , x2 ] 相交
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
1 x F ( x ) − G ( x ) = c − ∫ ψ ( s )ds a x0
连立解(4),(6)得
1 1 x c F ( x) = ϕ ( x) − ∫x0 ψ ( s )ds + 2 2 2a 1 1 x c G ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ ( s )ds − 2 2 2a
给出.
ϕ( x +at) +ϕ( x- at)
2
⎧0 ⎪ ⎪2 + 2 x ⎪ α ϕ ( x) = ⎨ ⎪2 − 2 x ⎪ α ⎪0 ⎩
为了简单起见,假设
( x < −α ) ( −α ≤ x ≤ 0 ) (0 ≤ x ≤ α ) (x >α )
也就是说,初始位移是区间
[ −α ,α ]
上的一个等腰三角形.
T 千克i米／秒２ T a= 米／秒 = ρ千克／米 ρ
由于a = T ,可见张力越大,或者说弦拉的越紧,波就传播的越快
ρ
密度越小或者说弦越轻细,波也传播的越快.
举例
我们考虑这样一种情况,弦开始是静止的
而初始位移 ϕ ( x ) 不为零.于是自由弦振动方程的解,由
(ψ ( x ) ) = 0
u( x, t) =
∂ ⎡ t x + at t x + at ⎤ u ( x, t ) = ⎢ ∫x − at ϕ (α ) dα ⎥ + 2at ∫x − at ψ (α )dα (7)’ ∂t ⎣ 2at ⎦
在(7’)中有三点是值得注意的:
1 x + at (i) ∫x − at ω (α )dα 是函数 ω (α ) 在区间 2at
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )