高三数学概率专题

概率专题

1．(本小题共12分)

从某校高

三年级

900

名学生

中随机抽取了

50

名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组:

第一组[155,160]，第二组[160,165]…第八组[190,195]，右图是按上述分组方法得到的条形图，(1)根据已知条件填写下面表格:（2）估计这所学校高三年级900名学生中，身高在180cm 以上（含180cm)的人数；（3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，用X 表示实验小组中男同学的人数，求x 的分布列及期望EX.

2.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满

100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券.例如：消费218元，可转动转

盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.

3.(本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm 以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；

组别1

2

3

4

5

6

7

8

样本数

（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

4．（12分）2009年，福特与浙江吉利就福特旗下的沃尔沃品牌业务的出售在商业条款上达

成一致，据专家分析，浙江吉利必须完全考虑以下四个方面的挑战：第一个方面是企业管理，第二个方面是汽车制造技术，第三个方面是汽车销售，第四个方面是人才培养．假设以上各种挑战各自独立，并且只要第四项不合格，或第四项合格且前三项中至少有两

项不合格，企业将破产，若第四项挑战失败的概率为1

4

，其他三项挑战失败的概率分别为

13

.（1）求浙江吉利不破产的概率；

（2）专家预测：若四项挑战均成功，企业盈利15亿美元；若第一、第二、第三项挑战中仅有一项不成功且第四项挑战成功，企业盈利5亿美元；若企业破产，企业将损失10亿美元．设浙江吉利并购后盈亏为X 亿美元，求随机变量X 的期望．

湖北理工学院

湖北师范学院9965

07

21

1516171819

8912589

346

1

5.某高校在2011年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；

(ⅱ)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X 名学生被考官D面试，求X 的分布列和数学期望.

6．（本小题满分12分）

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当80Q ≥时，为醉酒驾车.石嘴山市公安局交通管理部门于2011年3月的一天对某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有4人，依据上述材料回答下列问题：

（1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；（2）从违法驾车的10人中抽取4人，求抽取到醉酒驾车人数 的分布列和期望；（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故

的概率分别是0．2和0．5，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的

依此

计算被查处的10名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率.（精确到0.1）

2.（本题满分12分）

设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

则111(),(),()632

P A P B P C =

==.………………3分

（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.

111

()()632

P P A P B ∴=+=

+=………………4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12

.（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.

………………5分

111

(0);

224111

(30)2;

23311115

(60)2;

263318111

(90)2;

369111

(120).

6636

P X P X P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=…………10分

所以，随机变量X 的分布列为：

P 03060

90

120

X

14

1351819136

其数学期望

11511

030609012040

4318936

EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分

3、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

5.1682

169

168=+.…2分（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为8

5220

⨯

=人，“非高个子”为12

5320

⨯

=人；则至少有1人为高个子的概率P ＝1－23257

10

C C =……6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0,1，2,3；

故

353810

(0)56

C P C ξ===

，

21

533830

(1)56

C C P C ξ===

，

12

533815

(2)56

C C P C ξ===

，

…………11分