包科达版热学教程习题参考解(第二章)

《热学教程》习题参考答案
第二章 习题
2-1.假若把1g 水的分子均匀地覆盖在地球表面上，问：每平方米面积能分配到多少水分子？（答：27m 1055.6-⨯）
解:1g 水含有的分子数等于它的摩尔数()mol 0556.010181033=⨯--乘以阿伏伽德罗常数1-25mol 10022.6⨯,得2210348.3⨯个分子.若取地球的半径为m 1038.66⨯=R ,则其表面积为 2142m 10115.54⨯=R π.因此,可以得到,每平方米面积能分配到71055.6⨯个分子.
2-2.设有乳浊液,由水(3101.0-⨯=ηkg/m ﹒s ,293.15=T K)和半径为a 的布朗粒子所组成.实验中,每隔30 s 作一次测量，测得一个布朗粒子前20步沿x 方向所作的位移（单位是10-6 m ）分别为: +2.4,+1.2,-1.6, -0.9,-4.0,-1.5,+1.7, +1.0,+0.3,+1.3,-2.9, -3.1,-0.5,+1.5,+0.7,+1.9,-0.2,+0.1,-2.7.试求布朗粒子的半径a .(答:3.83×106-m)
解：先把本题给出的每个位移值平方后相加，再除以20，可得2122m 103633-⨯=.Δx ；再应用爱因斯坦扩散方程，可知布朗粒子的半径 ()
23Δx πηT τk a B =，式中的B k K /J 1038123-⨯=.是玻耳兹曼常数.代入已知的数据：K 15293.T =，30=τs 和s m /kg 10013⋅⨯=-.η，可得 m 108336-⨯=.a .
2-3.设有悬浮在水中的﹑半径为r 的布朗粒子，在等时间间隔30秒内，实验观测到沿x 方向的方均位移 2122m 100.3-⨯=∆x ，若已知水温为273 K,水的粘滞系数3101.0-⨯=ηkg/m ﹒s ，试问此布朗粒子的半径为多少？(答:m 1029.46-⨯)
解: 应用爱因斯坦扩散方程，可知布朗粒子的半径为:
()()m 1029.41031033015.2931038.1x 3k 6123222----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ππητT r B 2-4．皮兰在实验中测得半径为0.212m μ的藤黄树脂微粒沿x 轴方向的平均平方位移2x 的数值如下：
若已知温度C 13，液体介质的粘滞系数3101.2-⨯=η Pa ﹒s ，试计算阿伏加德罗常数.
解: 应用爱因斯坦扩散方程，可知阿伏加德罗常数等于:
()()()(),mol 1092.9102.11012.2315.28631.831-2112372B A x x x a RT k R N ∆⨯==
∆⨯⨯⨯⨯⨯=∆==--τπτηπτ
故应用上式结果和本题附表中所列的数据,可以分别求得阿伏加德罗常数为:2310613.6⨯、2310881.6⨯、2310377.6⨯、2310105.6⨯.取此四个结果的平均值,得123mol 10494.6-⨯=A N .
2-5．一个连续的弹丸流,每个弹丸的质量为5.0×10-4 kg ，以1.0 m/s 的速度射击天平的一个盘,速度的方向与法线成30度角，射击频率是每秒40次.设弹丸与天平盘发生完全弹性碰撞,碰撞一次就离开天平盘,不再跳回.为了平衡,在天平的另一盘上应放多少质量的砝码? (答:3.54×103-kgf)
解: 按题意可知，连续不断的弹丸流作用于天平盘的冲力为 N θmv cos 2，其中的4100.5-⨯=m kg ，0.1=v m/s ， 30=θ，1s 40-=N ，故依据动量定理可知，为平衡冲力，应加砝码重量等于
()()
kgf 1054.3N 0346.040130cos 1052cos 234--⨯==⨯⨯⨯⨯⨯=∆= t mvN G θ
2-6．已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105 Pa,试求此气体单位体积里的分子数.(答:2.411910⨯3-cm )
解 应用理想气体压强公式可得： 25235B 1041.215.3001038.110⨯=⨯⨯==-T k p n m -3。

2-7.试求标准状况下边长等于钠( Na )黄光波长为m 10893.57-⨯=λ的正方体内有多少个空气分子？(答：6104985.5⨯个)
解:在标准状况下气体的数密度称为洛施密特数3250m 106868.2-⨯=n ，而以钠黄光波长为边长的正方体的体积等于()319337
m 100465.2m 10893.5--⨯=⨯，故其中应有空气
分子6104985.5⨯个.
2-8．一个温度为17℃和容积为l1.2×10-3 m 3的真空系统,已抽到1.33×10-3 Pa 的真空度.
为了提高其真空度,将它放到300℃的烘箱内烘烤,使器壁释放出所吸附的气体分子.若烘烤后压强增为1.33 Pa,问器壁原来吸附了多少个分子? (答:1.88×1018)
解：按题意可知：烘烤前后容器内气体的数密度分别为：
172331B 11104975.215.2901038.11033.1⨯=⨯⨯⨯==--T k p n m -3，
20232B 22106815.115.5731038.133.1⨯=⨯⨯==-T k p n m -3，
故得器壁吸附的气体分子数为()18211088.1⨯=-=V n n N ，在作计算时，用到容器的体积 33m 102.11-⨯=V
2-9．设人们可获得1.33×10-12 Pa 的真空度,问在此真空度下和0℃时每立方厘米里有多少个气体分子? (答:3.53×102)
解: ()32382312cm 1053.3m 10533152731038110331⨯=⨯=⨯⨯⨯==---....T k p n B . 2-10．设氢弹爆炸时的温度为810 ℃,在此高温下有自由氢核(质子)和氘核(质量为质子的两倍)存在,试求:(1)质子的方均根速率;(2)热平衡时,质子的平均动能与氘核的平均动能之比.(答:(1)1.58610⨯m/s;(2)1 )
解:（1）s /m 1058.1101031.833638
⨯=⨯⨯==-μRT
v 2；
（2）由于达到热平衡时气体分子的平均动能只与温度有关，故质子与氘核的平均动能相等，其比值等于一.
2-11.一个能量为1210eV 的宇宙射线粒子，射入含有20.0mol 氖的氖管中，如粒子的能量全部被氖气所吸收，转化为热运动能量，氖气温度会升高多少？（答：7104.6-⨯K ）
解:由于J 101.602189eV 119-⨯=,故一个宇宙射线粒子的能量为J 10602189.17-⨯=ε. mol 02.0氖含有2223102044.110022.602.0⨯=⨯⨯个氖原子,氖气温度升高T ∆所需的能量为()()T T T k N B ∆=∆⨯⨯⨯⨯⨯=∆-2493.01038.1102044.123232322.故在吸收宇宙射线粒子的能量后，氖气温度升高为 ()
K 10427.62493.010602189.177--⨯=⨯=∆T .
2-12. 试求氮分子的方均根速率:当(l)t= 1000℃;(2)t= 0℃;(3)t= -196℃.并分析所得的计算结果.(答:(1)1060 m/s;(2)491 m/s;(3)261 m/s)
解:（1）s /m 106510
281512733183332=⨯⨯⨯==-..μRT v ； （2）s /m 493102815
.27331.8333=⨯⨯⨯==-μ
RT v 2； （3）s /m 262102815
.7731.8333=⨯⨯⨯==-μRT v 2.
上列计算清楚地说明,气体分子的热运动速度的数值随温度升高而增加;温度越高,气体分子的热运动越剧烈.
2-13. 一容器储有氧气,其压强为p =1 atm,温度为t =27 ℃,求此氧气的:(l)单位体积里的分子数目n ;(2)密度ρ;(3)分子质量m ;(4)分子平均平动能ε;(5)分子方均根速率2v ;(6)分子平均速率m T k v πB 8=.(答:(1)2.452510⨯m 3-；(2)1.3 g/L ；3)5.3×1023-g ；
(4)6.212110-⨯J;；(5)484 m/s ；(6)446 m/s)
解:（1）数密度 25235B 1045.215.3001038.110013.1⨯=⨯⨯⨯==-T k p n m -3；
（2）气体密度()()3.115.30031.8103210013.135=⨯⨯⨯⨯==-RT p μρkg / m 3；
（3）分子质量 ()()26253103.51045.2103.1-⨯=⨯⨯==n m ρkg ；
（4）分子平均动能 ()2123B 1021.615.3001038.15.123--⨯=⨯⨯⨯==T k εJ ；
（5）分子方均根速率s /m 484103215.30031.8333=⨯⨯⨯==-μ
RT
v 2； （6）分子平均速率s /m 446103214.315
.30031.883=⨯⨯⨯⨯==-πμ8RT v .
2-14. 设有处于标准状况的理想气体,若平均地讲,设想气体每一个分子都位于一个小正立方体的中心.问:(l)此小正立方体的边长是多少? (2)小正立方体的边长与分子有效直径相比较,结果如何? 这说明什么? (答:(1)33.4Å)
解:（1）平均讲，一个分子所占的体积为
()()
26523B 1072.310013.117.2731038.1--⨯=⨯⨯⨯==p T k v m 3，
故与之相应的小立方体的边长为 932631034.31072.3--⨯=⨯==v l m.
（2）上列计算表明，若设想每个气体分子都处于小立方体的中心，则在标准状况下，平均讲，小立方体的边长约为分子的有效作用半径的几倍和分子有效直径的几十倍.此时,气体中分子热运动的作用超过了分子力的作用，故气体在宏观上总是表现为充满整个容器，并易于压缩.
2-15. 氮与二氧化碳的混合气体,0℃时l cm 3容器中有氮分子2.0×1017个,二氧化碳分子5.0×1016个,求分压强22CO N ,p p 和混合气体的总压强p .(答:754 Pa, 189 Pa, 942 Pa).
解: 氮和二氧化碳的分压分别为
Pa 9.75315.2731038.11022323B N N 22=⨯⨯⨯⨯==-T k n p ，
Pa 5.18815.2731038.11052322B CO CO 22=⨯⨯⨯⨯==-T k n p ，
故混气的总压强为 Pa 4.9425.1889.75322CO N =+=+p p .
2-16. 已知氢的摩尔质量为 2.016,氧的摩尔质量为32.00,求温度为17℃和压强为0.921 atm 时,由4.032 g 氢和32.00 g 氧组成的混合气体的密度ρ.(答:0.44 kg/m 3)
解: 混合气体的平均摩尔质量 kg/mol 104.113O O H H 222
2-⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μμμC C ，左式中的 112.0032.36032.42H ==C ,mol /kg 10016.23H 2-⨯=μ和888.0032.36322O ==C ，mol /kg 10323O 2-⨯=μ 分别是混气中氢和氧的质量分数及摩尔质量. 再对混气应用理
想气体的状态方程，可知混合气体的密度等于：
35
3m /kg 44.015
.29031.810013.1921.0104.11=⨯⨯⨯⨯⨯===-T R p V M μρ. 2-17. 用排水集气法收集某种气体.实验测得,被收集到的气体在温度为20℃、压强为767.5 mmHg 时的体积为150 cm 3.已知水在20℃时的饱和蒸汽压为17.5 mmHg,试求此气体在标准状况下且干燥时的体积.(答: 138 cm 3)
解: 设标准状况（mmHg 760,K 15.27322==p T ）下干燥气体所占有的体积为2V .若
用脚标‘1’表示干燥气体在 mmHg 7505.175.767K,15.293
11=-==p T 时的状态，则由理想气体状态方程可得：()11221V T p T p V 2=. 按题意31cm 150=V ，故应用左式计算，可
得在标准状况下干燥气体的体积为3342cm 138m 1038.1=⨯=-V .
2-18. 把1.0×105N/m 2、0.5 m 3的氮气等温地压入一容积为0.2 m 3的容器中.若容器中已有同温同压的氧气,试求混合气体的压强p 和两种气体的分压2N p 和2O p .设容器中
气体的温度保持恒定.(答:5.0×105 Pa,2.5×105Pa, 2.5×105Pa) 解：由题给出的数据，再应用理想气体状态方程，可知等温压入容器后氮气压强为()
()Pa 105220501055N N 22⨯=⨯==...V V p p 。

由于原容器中氧气的压强与氮气相同，即也为 Pa 105.25O 2⨯=p ，故得容器中混气的总压强为Pa 100.55⨯。

2-19. 2O C 和2H 的范德瓦耳斯修正量a 分别为3.592和0.2444 atm ﹒L 2/mol 2,试计算这两种气体的摩尔体积与22.4 L/mol 之比等于1,0.01,和0.001时的内压强.(答: 2CO :7.24×210,7.24×610和7.24×810Pa ;H 2:49.3,4.93×510和4.93×710Pa)
解：依据范德瓦耳斯气体的内压强公式：()
2v a p =∆可知，当取CO 2气体的范氏修正量为 592.3=a atm·L 2 / mol 2，而摩尔体积分别为22.4 L / mol, 22.4×10-2 L / mol, 22.4×10-3 L / mol 时，它的内压强p ∆分别为7.16×10-3 atm = 7.25×102 Pa, 7.16 atm =
7.25×106 Pa, 7.16×103 atm = 7.25×108 Pa ；当取H 2气体的范氏修正量为 2444.0=a atm·L 2 / mol 2，而摩尔体积也分别为22.4 L / mol, 22.4×10-2 L / mol, 22.4×10-3 L / mol 时，它的内压强p ∆分别为4.87×10 - 4 atm = 49.3 Pa, 4.87 atm = 4.93×10 5 Pa, 487 atm = 4.93×10 7 Pa.
2-20. 若已知氧气的范德瓦耳斯修正量b =0.032 L/mol,另一方面b 等于lmol 氧气分子体积总和的四倍,试计算氧分子的直径.(答:2.94Å)
解：应用公式 0A 4v N b =，其中的23A 1002.6⨯=N mol -1是阿佛伽德罗常数；若用d 表示氧气分子的直径，则一个氧分子所占有的体积 630d v π=，故可得： 329235A 0m 1033.11002.64102.34--⨯=⨯⨯⨯==N b v ， ()()
m 1094.214.31033.1661032930--⨯=⨯⨯==πv d . 2-21. 将280 g 的氮气不断压缩,用范德瓦耳斯状态方程估算:(1)它的最小体积min V 将渐近于多少升? (2)此时由于气体分子之间的吸引力所产生的内压强p ∆约为多少大气压? 巳知氮气的a =1.36 L 2﹒atm/mol 2,b =0.0385 L/mol.(答:(1)0.385 L;(2) 9.1×710Pa)
解: 考虑到氮的摩尔质量为31028-⨯=μkg / mol , 故280 g 氮气合10 mol 的物质量，由此可知：（1）氧气能占有的最小体积为L 385.00385.01010=⨯=b ；（2）气体内产生的内压强为：()()()Pa 109.3atm 5.9170385.036.172220⨯=====∆b a v a p . 2-22. 试用范德瓦耳斯状态方程计算密闭于容器内质量M =1.1 kg 的二氧化碳气体的压强p ,若已知容器的容积V =20 L,气体的温度t =13 ℃.将计算结果与用理想气体状态方程计算的气体压强ideal p 相比较,并讨论所得结果.二氧化碳的范德瓦耳斯常数a =3.6 atm ﹒L 2/mol,b =0.043 L/mol.(答:=p 2.57×106Pa, ideal p =2.97×106Pa)
解: 应用范氏气体状态方程可知，CO 2的压强为： ()()()
Pa 1057.21081010013.16.310043.08.015.28631.86246
53200⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯=--=---V a b V RT p ， 式中的()()()
/mol m 100.81.11044102034330---⨯=⨯⨯⨯===m V V V μν，是气体的摩尔体积.在相同条件下理想气体的压强为： ()Pa 1097.2100.815.28631.8640ideal ⨯=⨯⨯==-V T R p .
显然有p p >ideal .这说明：在给定的条件下，对于CO 2气体，因气体分子间的引力造成的压强的减小量超过了由于分子占有体积引起的压强增加量.
2-23.计算下列问题:(1)由范德瓦耳斯状态方程证明气体在临界状态时的温度bR a T 278c =,压强2c 27b a p =及体积b V 3c =,这里的b a ,分别为范德瓦耳斯修正量,而R 是气体常数.并有关系式:3c c c RT V p =.(2)试从氮(或其他气体)的临界参数的数据(见表1.4)推算范德瓦耳斯常数a 和b 的数值.(答:(2)1≈a atm ﹒L 2/mol 2,= b 0.03 L/mol)
解:（1）请参阅《热物理学基础》第291页（9.3.2）和（9.3.3）式.
(2 ) 查阅表1.4可知，氮的临界参数为 ：,Pa 104.3,K 1266C C ⨯==p T
/mol m 100.935C 0-⨯=V ，故可求得氮德范德瓦耳斯修正量：
()()
mol /L 0.03mol /m 1033/100.93355C 0=⨯=⨯==--V b ；
()4262C 1026.803.0104.32727⨯=⨯⨯⨯==b p a Pa·
L 2 / mol 2. 2-24. 克劳修斯提出一种非理想气体的状态方程:
()()RT b V c V T a p =-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++2, 其中c b a ,,是有关气体的常数.(1)试用这些常数将临界参量c c c ,,V p T 表示出来.(2)若已知2CO 的临界参量304.20=c T K, 72.85=c p atm 和0.468=c ρg/cm 3,求常数
c b a ,,.(答:(1)c V =c b 2+3,()()c b R a T +=3232c ,()()3c 661c b Ra p +=;(2)
26/mol m K Pa 111⋅⋅=a , ,/mol m 1046.836-⨯=b /mol m 10 43.335-⨯=c )
解:（1）对克劳修斯提出的非理想气体状态方程应用拐点条件：()0=∂∂T V p 和 ()022=∂∂T V p ，可以得到确定该气体临界参数的两个条件：
()()03432
=+--c V a b V RT 和 ()()02322
=++--c V a
b V RT ，
再加上状态方程，共三个条件，即可单值地确定此种非理想气体的临界参数与三个气体常数c b a ,,的关系如下：
c b V 23C +=， ()
c b R a T +=3232C ， ()3C 661c b aR p +=。

（2）若已知CO 2的临界参数为：
3C C C g/cm 468.0,atm 85.72,K 20.304===ρp T ，则应用上面（1）中求得的三个公式，即可求得CO 2的三个气体常数为：
,/mol m 1046.8,/mol PaKm 1113626-⨯==b a 51043.3-⨯=c m 3 / mol
2-25. 试证:对于l mol 的非理想气体来说,范德瓦耳斯状态方程中的系数b a ,与昂内 斯(Onnes)状态方程 ++++=30
2000V D V C V B A pV 中的维里系数D C B A ,,,…之间，存在以下简单关系：32,,,RTb D RTb C a RTb B RT A ==-==.
证：倘若我们把范氏状态方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01001V a V b RT pV ，按小量10<<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛V b 作泰勒
级数展开，即可将之写成昂内斯状态方程的形式如下：
(),1200303
20200⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+++-+= V b V RT a b RT V b T R V b T R V a b T R RT pV 再与昂内斯状态方程相比较，即可得其位力系数的以下等式：
.,,
,32b T R D b T R C a RTb B RT A ==-==.。