导数与微分测试题及答案

导数与微分测试题（一）

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、

设函数10

()10

2

x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）

A 、不连续；

B 、连续但不可导；

C 、二阶可导；

D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2

y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、

12； C 、12e

； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）

A 、1；

B 、

2e ； C 、2

e

； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()

lim x f a x f a x x

→+--等于（ ）

A 、0；

B 、()f a '；

C 、2()f a '；

D 、(2)f a '；

5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；

C 、低阶无穷小；

D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()x

f x xe =，则(0)f ''=______；

3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则

01

lim ()n nf x n

→∞+=______； 4、 曲线2

28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的

切线与x 轴正向的交角为

4

π

。

5、 d ______ = x

e dx - 三、解答题

1、（7分）设函数()()()

,()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，

求()f a '； 2、（7分）设函数()a

a

x

a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t

=⎧⎨

=⎩ 在 6t π

= 处的切线方程和法线方程；

4、（7分）求由方程 1

sin 02

x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx

5、（7分）设函数12

12()()

()n a a

a n y x a x a x a =---，求 y '

6、（10分）设函数2

1

2

()12

x x f x ax b x ⎧≤

⎪⎪

=⎨

⎪+>

⎪⎩

，适当选择,a b 的值，使得()f x 在1

2

x =

处可导 7（7分）若2

2

()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足

()()0,()()0f a f b f a f b +-''==∙>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =

导数与微分测试题及答案（一）

一、1－5 CCBCD

二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(,)

24

； 5. x

e --；

三、1. 解：()()()()

()lim

lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a

ϕϕ→→--'===--；

2. 解：1

12()ln ln a

a x

a a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；

3. 解：当6

t π=

时，曲线上的点为 11(,)22

；

切线的斜率666

2sin 22cos t t t dy

dy t dt k dx dx t dt πππ===-====-， 所以，切线方程 11

2()22y x -=--， 即 4230

x y +-=； 法线方程 111

()222

y x -=- ， 即 2410

x y -+=； 4. 解：方程的两边对x 求12

1cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y

-

+=⇒=- 继续求导 2223

24s i n

sin (2cos )(cos 2)

d y dy y y dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-

方程的两边对x 求导

1212

1

n

n

a a a y y x a x a x a '=+++

---，则 1211

12()(())()i

n n

a n i i i i n i a a a a

y y x a x a x a x a x a =='=++

+=-----∑∏ 6. 解：因为 可导一定连续，则

2112

2

11

11

(0)lim(),

(0)lim 2224x x f ax b a b f x →

→

+=+=+-==

所以

1111

,2442

a b b a +==- 由可导知

1

112

22

11111

()

1

44242()lim lim lim 1112222

x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→

+-

+---'====---