数学中的恒成立与有解问题

数学中的恒成立与有解问题

一、恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法

1、分离变量法；

2、数形结合法；

3、利用函数的性质；

4、变更主元等；

1、由二次函数的性质求参数的取值范围

例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解

解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;

当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420

a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得1

2a >

综上,所求实数a 的取值范围为1

(,)2

+∞

2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围

例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。

（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.

解析：(1)设2

()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2

()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2

2

(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=

即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2

()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.

令2235

()31()2

4

g x x x x =-+=--

,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.

规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注

意参数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题

3、方程的有解问题

例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2.

（2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2

(2)由(1)知2

12x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即2

31m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235

()31()24

g x x x x =-+=--

,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为

(1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。

规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.

（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上有解 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2

(2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-有解,即231m x x <-+在[1,1]-有解 令2235

()31()2

4

g x x x x =-+=--

,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)5g -=.所以m 的取值范围是(,5)-∞。.

规律总结：()m f x ≤在区间(),a b 内有解,则[]max ()m f x ≤;()m f x ≥在区间(),a b 内有解,则[]min ()m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

一、确定“主元”思想

常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．

例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2

+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．

分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2

+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，

求x 的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．

解：设f(p)=(x-1)p+x 2

-4x+3，当x=1时显然不满足题意． 由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2

-4x+3>0且x 2

-1>0，

解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

三、数形结合

对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．

例3．设]04[，

-∈x ，若不等式a x x x -+<--13

4

)4(恒成立，求a 的取值范围． 分析与解：若设函数)4(1x x y --=

，则

)0(4)2(1212≥=++y y x ，其图象为上半圆． 设函数a x y -+=13

42

，其图象为直线．

在同一坐标系内作出函数图象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)

0,2(-到直线

y

y 2

y 1

4- O x