高中数学考点07 对称性(讲解)(解析版)知识点解析

考点7：对称轴【思维导图】

【常见考法】

考点一：对称轴

1．定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且(2)2018f =，则

(2018)(2016)f f +=。

【答案】2018【解析】因为函数的图像关于直线x=2对称，所以(x)f(x 4)f =-+，

所以(4)(44)()()

f x f x f x f x +=--+=-=-所以(8)(44)(4)()f x f x f x f x +=++=-+=，所以函数的周期是8,

所以(2018)(2016)(2)(0)201802018f f f f +=+=+=.

2．定义在R 上的奇函数()f x ，满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，在区间1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，则(0.3)(20)f f f 、、的大小关系。

【答案】(20)(0.3)

f f f <<【解析】因为1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x =对称，由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

可知()(1)f x f x =-，又函数是R 上的奇函数，所以()()(1)f x f x f x -=-=+，

所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数的周期2T =，所以(20)(0)

f f =因为奇函数()f x 在区间1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上递增，所以()f x 在11[,]22-上递增，因为()f x 的图象关于直线12

x =对称，所以()f x 在13[,22上递减，

所以(1)=(0)(20)=(0.3)=(0.7)f f f f f f <=<.

3．已知f （x ）在（0，2）上是增函数，f （x +2）是偶函数，()57122f f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系。【答案】()75122f f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

＜＜

【解析】因为f （x +2）是偶函数，所以函数()f x 关于直线2x =对称，即()()4f x f x =-．所以5534222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，而f （x ）在（0，2）上是增函数，且13122<<，故()75122f f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

＜＜．4．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =。【答案】2

【解析】设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =。

5．已知函数y =f (x )的图象与函数y 11x =

-的图象关于原点对称,则f(x)=.

【答案】f (x )1

1x =+【解析】设(,)P x y 是函数()y f x =图象上的任意一点，它关于原点的对称点为(,)Q x y --，

由题意Q 在函数11y x =-图象上，∴11y x -=--，即11y x =+．1()1

f x x =+．考点二：对称中心

1．已知偶函数()f x 的图象关于(1,0)对称，且当01x ∈（，）时，2()f x x =，则910x ∈

（，）时，()f x ＝.

【答案】2(10)x --【解析】偶函数f x （）的图象关于10（，）

对称则()(),(1)(1)f x f x f x f x =--=-+得到()()(2)f x f x f x =-=-+，(2)(4)f x f x +=-+，故(4)()f x f x +=周期为4

设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈2

()(2)(10)(10)(10)f x f x f x f x x =-+=--=--=--2．已知函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()60,1f x f x y f x ++==-的图象关于()1,0对称，且()24,f =则()2014f =.

【答案】-4

【解析】函数()f x 对任意x ∈R ，都有,

,

因此函数

的周期，把的图象向左平移1

个单位的的图象关于对称，因此函数

为奇函数，(2014)(1671210)(10)(1012)(2)f f f f f ∴=⨯+==-=-(2)4f =-=-.

3．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m

=--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =.【答案】4

3

-【解析】因为()()()133f x f x f x +=--=-，

故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；

而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3

f =；而12

1(1)(3)(31)3f f log m =-=--=,解得43m =-．4．已知函数(1)=-y f x 是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称，那么()y g x =的对称中心为.

【答案】(0,1)-【解析】函数(1)=-y f x 是定义在R 上的奇函数，则其图象关于原点对称

由于函数(1)=-y f x 的图象向左平移一个单位得到函数()y f x =的图象

则函数()y f x =的图象关于(1,0)-对称

又因为函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线0x y -=对称

所以函数()y g x =的图象关于(0,1)-对称

考点三：综合运用

1．已知函数()

y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的[]12,4,8x x ∈，都有()()12120f x f x x x ->-恒成立；②()()4f x f x +=-；③()

4y f x =+是偶函数．若()6a f =，()11b f =，()17c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是.