高一数学必修4同步作业全套练习(绝对精版)第四部分

2.1.1 向量的概念及表示
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1、我们把 的量叫做向量。

2、我们把 的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的线段记作 ，注意 一定写在 的前面，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度，记作 。

有向线段的三个要素： 、 、 。

3、向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称 ），记作 。

长度为零的向量叫做 ，记作 。

长度为 的向量，叫做单位向量。

4、方向相同或相反的非零向量叫做 ，规定 与任一非零向量平行。

若a 、b 、c 平行，记作 。

课后作业： 一、选择题：
1、下列各量中是向量的是（ ）
A 、密度
B 、电流强度
C 、面积
D 、浮力 2、下列说法错误的是（ ）
A 、零向量的长度为零
B 、零向量与任一向量平行
C 、零向量是没有方向的
D 、零向量的方向是任意的 3、已知6AB =，4AC =，则BC 的取值范围是（ ） A 、()2,8 B 、[]2,8 C 、()2,10 D 、[]2,10
4、把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A 、一条线段 B 、一段圆弧 C 、圆上一群孤立点 D 、一个单位圆 二、填空题：
5、已知非零向量a b ，若非零向量c a ，则c 与b 必定 。

6、已知1AB =，2AC =，若60BAC ∠=，则BC = 。

7、设由一点O 向东行走6米，然后再向北走6米，终点P ，则OP 的长度为 ，方向 。

8、在同一平面内，把平行于某一直线的所有单位向量移至同一起点，终点是 。

三、解答题：
9、在直角坐标系中，画出下列向量：
()14OA =，点A 在点O 正南方向。

22OB
OC
=方向。

、一人从点，到达D 点。

DA 。

11、如图，已知四边形ABCD 是矩形，O 是对角线AC 与BD 的交点。

设点
{},,,,M A B C D O =，向量的集合{}
,,T PQ P Q M P Q =∈任且不重合。

试求集合T 。

B
A
C
2.1.3 向量的概念及表示
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1、 且 的向量叫做相等向量，a 和b 相等，记作 。

2、任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫做 。

课后作业： 一、选择题：
1、两向量共线是两向量相等的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、非充分必要条件 2、如图，四边形ABCD 中，AB DC =，则相等向量是（ ） A 、AD 与CB B 、OA 与OC C 、AC 与DB D 、DO 与OB
3、设O 是正ABC ∆中心，则向量AO ，OB ，OC 是（ ）
A 、有相同起点的向量
B 、平行向量
C 、模相等的向量
D 、相等向量 4、设P 、Q 是线段AB 的两个三等分点，以A 、P 、Q 、B 四个点中的两个点为起点和终点，则不同的有向线段最多可得的条数为（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、12 二、填空题：
5、四边形ABCD 满足AD BC =且AC BD =，则四边形ABCD 是 。

6、已知a 、b 是任意两个向量，下列条件：()()()1;2;3a b a b a ==与b 方向相反；
()40a =或()0;5b a =与b 都是单位向量
其中哪些是向量a 与b 共线的充分不必要条件 。

7、已知ABCD 是等腰梯形，，下列各式：
()()()()()1;2;3;4;5AB DC AD BC AC BD AB DC AB DC ===≠
其中正确的是（填序号） 。

8、设数轴上有四个点、、、，其中、对应的实数是1和-3，且，为单位向量，则点对应的实数为 ，点对应的实数为 ，BC = 。

三、解答题：
9、在矩形ABCD 中，2AB BC =，M 、N 分别是AB 和
CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等向量共有几对？
C
10、已知：E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 中边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：
EF HG =。

11、如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，分别写出 （1） 向量OA 起点、终点、模； （2） 与OA 共线的向量； （3） 与OA 相等的向量。

12、如图，EF 是ABC ∆的中位线，AD 是ABC ∆的BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中。

（1）与向量CD 共线的向量有哪些？ （2）与向量DF 的模相等的向量有哪些？ （3）写出与向量DE 相等的向量。

E
C
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
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1、已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB a =，BC b =，则向量 叫做a 与b 的 ，记作 ，即a b += = 。

求两个向量和的运算，叫做 。

这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则。

2、以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以O 为起点的对角线 就
是a 与b 的和，称为向量加法的 法则。

3、a b += （交换律），()
a b c ++= + （结合律）。

课后作业：
一、选择题：
1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ，OA AB BC ++等于
（ ）
A 、CD
B 、O
C C 、DA
D 、CO 2、下列式子中，成立的是（ ）
A 、a b a +>且a b b +>
B 、若a b c >>，则a b b c +>+
C 、若a b c >>，则a c b c +>+
D 、向量a 、b 不平行，则a b a b +>+ 3、如图，已知平行四边形ABCD ，O 是对角线交点，则在下列各结论中正确的为（ ） A 、AB CB AC += B 、AB AD AC += C 、AD CD BD +≠
D 、0AO CO OB OD +++≠
4、已知3OA a ==
，3OB b ==，120AOB ∠=
，则a b +的值为（ ） A 、3 B 、6 C
、 D 、27 二、填空题：
C
C
E D
5、如图，CB ED DC FE AF ++++= 。

6、若向量a 、b 满足8a =，12b =，则a b +的最小值是 ；当非零向量a 、b 满足 时，能使a b +平分a 、b 间的夹角。

7、已知向量a 的长度为3，方向水平向右，向量b 的长度是2，方向水平向左，则向量a b +的长度为 ，方向为 。

8、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，则a b +表示 。

三、解答题：
9、正六边形OABCDE 中，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 将OB ，OC ，OD 表示出来。

10、若O 是ABC ∆内一点，满足0OA OB OC ++=，则O 是
ABC ∆的（ ）
A 、内心
B 、外心
C 、垂心
D 、重心
11、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，AO OC =，DO OB =。

求证：ABCD 是平行四边形。

★ 12、一架飞机从A 地按北偏西30的方向飞行300km 后到达B 地，然后向C 地飞行，
已知C 地在A 地北偏东60的方向处，且A 、C 两地相距300km ，求飞机从地B 向C 地飞行的方向及B 、C 两地间的距离。

C
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
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1、与a 长度 ，方向 的向量，叫做a 的相反向量，记作 ，a 和a -互为 ，零向量的相反向量是其本身，a b a -=-+ 。

2、已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则 a b =-，即a b -可以表示为从向量b 的 指向向量a 的 的向量。

课后作业： 一、选择题：
1、已知非零向量a 与b 同向，则a b -（ ）
A 、必定与a 同向
B 、必定与b 同向
C 、必定与a 是平行向量
D 、与b 不可能是平行向量 2、AB BC AD +-=（ ） A 、AD B 、CD
C 、DB
D 、DC
3、如图，已知在平行四边形ABCD 中，BC CD BA
-+等于（ ）
A 、C
B B 、AD
C 、DA
D 、AC
4、如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD 等于（ ）
A 、a b c ++
B 、a b c --
C
C
A
C
C 、a b c -+
D 、a b c +- 二、填空题：
5、化简AB AC DB --= 。

6、在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，则BA = ，BC = ，AC = ，
BD = 。

7、设()()
AB DA DC BC a +--=，而b 为一非零向量，下列命题：
()()()()1;2;3;4a b a b a a b b a b a b +=+=+<+
其中正确的命题是 （将你认为正确的命题的序号填在横线上）。

8、如图，有一边长为1的正方形ABCD ，设AB a =，BC b =，
AC c =，则a b c ++= ，a b c -+= ，
a b c --+= 。

三、解答题：
9、平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，EF
是过O 且分别与两边AB ，CD 相交的线段，指出下列向量：AB 、AD 、BC 、CD 、AO 、
CO 、BO 、OD 、AE 、FC
中相等的向量与相反的向量。

10、化简()()()()1;
2.
AB DB AC DC AB DB BC DC --+++
-
11、在水流速度为10km/h 的河中，如果要使船以的速度与河岸成直角地横渡，求船行驶速度的大小与方向。

D
C
12、已知向量a ，b 满足：3a =，5a b +=，5a b -=，求b 。

2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义
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1、一般的，实数λ与向量a 的积是一个 记作 ，它的长度与方向规定如下： （1）a λ= ；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向 ；当0λ=时，a λ= 。

2、（1）()a λμ= ；（2）()a λμ+= ；（3）()
a b λ+= 。

3、向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 。

4、任意向量a 、b ，以及任意实数λ，1μ，2μ，恒有()
12a b λμμ±= 。

课后作业： 一、选择题：
1、()()
43a b a b b +---等于（ ）
A 、2a b -
B 、6a b +
C 、a
D 、6a b - 2、已知122a e e =+，1223b e e =-，则2a b -等于（ ） A 、14e B 、27e C 、1247e e + D 、1247e e - 3、若向量a b +与向量a b -共线，则（ ）
A 、a 与b 均等于0
B 、a 与b 必为相反向量
C 、a b =
D 、()a b R λλ=∈ 4、在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）
A 、平行四边形
B 、矩形
C 、菱形
D 、梯形
5、若13AB e =，15CD e =-且AD BC =，则四边形ABCD 是（ ） A 、平行四边形 B 、等腰梯形 C 、菱形 D 、不等腰梯形
6、化简()()11
284232a b a b ⎡⎤
+--⎢⎥⎣⎦
得（ ）
A 、2a b -
B 、2b a -
C 、b a -
D 、a b - 7、下面给出四个命题，其中正确命题的个数是（ ）
（1）对于实数m 和向量a ，b 恒有()
m a b ma mb -=-（2）对于实数m 、n 和向量a ，恒有
()m n a ma na -=-（3）若()ma mb m R =∈，则有a b =（4）若
()
,0ma na m R a =∈≠、n ，则m n =
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
二、填空题：
8、()()()()
2353a b a b λμλμ+--+--=
()R λμ∈、。

9、已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式()
()310247xa yb xb y a +-=++，则x = ，y = 。

10、若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 。

11、
()()()
231
0353
a b b a a +--+-= 。

12、已知向量a 、b 共线，0a ≠，:a b μ=，当a 、b 反向时，有b = a 。

13、设I 为ABC ∆的内心，当5AB AC ==且6BC =时，AI AB BC λμ=+，那么，
λ= ，μ= 。

14、已知OA a =，OB b =，如下图，C 、D 是三等分点，则OC = ，OD = 。

三、解答题：
15、设1e 、2e 是两个不共线的向量，若向量1232AB e e =-，1224BC e e =-+，
1224CD e e =--，试证明：A 、C 、D 三点共线。

★ 16、若a 、b 均为非零向量，求证：a 与b 共线的充要条件是a b +与a b -共线。

17、如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，
求证：()()()1;
12;2
30
DE AB DE AB AD BE CF =++= 2.3.2 平面向量的基本定理及坐标表示
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1、平面向量基本定理：
若1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使 。

其中不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 。

2、设OA a =，OB b =（其中a ，b 为非零向量），则AOB θ∠=，叫做 ，θ∈ 。

（1）0θ=时，a 与b ；
（2）180θ=时，a 与b ；
（3）90θ=时，a 与b ，记作 。

3、在平面直角坐标系内，i ，j 分别是与x 轴，y 轴方向相同的单位向量，a 是该平面内的任一向量，则(),a xi y j x y R =+∈，把(),x y 叫做 ，记作a = ，其中x 叫a ，y 叫a 。

4、i = ，j = ，0= 。

5、若(),a x y =，那么与a 相等的向量b = 。

课后作业：
一、选择题：
1、下面三种说法：（1）一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；
（2）一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；（3）零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）
A 、（1）（2）
B 、（2）（3）
C 、（1）（3）
D 、（1）（2）（3）
2、已知ABCD 中，12
AE AB =，若AB a =，AD b =，则EC =（ ）
A 、12a b +
B 、12a b -+
C 、12a b +
D 、12
a b -- 3、设O 是ABCD 两对角线的交点，下列向量组：（1）AD 与AB ；（2）DA 与BC ；（3）CA 与DC ；（4）OD 与OB ，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是（ ）
A 、（1）（2）
B 、（1）（3）
C 、（1）（4）
D 、（3）（4）
4、已知()2,a a =，(),1b b =且a b =，则a ，b 分别为（ ）
A 、2，2
B 、2，1
C 、1，2
D 、1，1
5、下列说法正确的有（ ）个
（1）把一个向量分解为两个不共线的向量，叫正交分解；（2）零向量的坐标为；（3）位置不同的向量的坐标可以相同；（4）向量的坐标就是向量终点的坐标。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6、设1e ，2e 是两个不共线的非零向量，则向量()12a e e R λλ=+∈与向量()212b e e =--共线的充要条件是（ ）
A 、0λ=
B 、1λ=-
C 、2λ=-
D 、12
λ=- 7、若一个向量的坐标为()3,2-，则它可表示下列哪个向量（ ）（其中i ，j 分别是与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量）
A 、32j i -
B 、23j i -
C 、23j i -+
D 、32j i -+
二、填空题：
8、0= ；i = ；j = 。

（填坐标）
9、设向量a 、b 不共线，满足()
322x y a x y b ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩若以a 、b 为基底，则x 、y 可分别表示为x = ，y = 。

10、设1e ，2e 是不共线向量，而124e e -与12ke e +共线，则实数k 的值为 。

11、向量()2,1AB =--，(),CD x y =且AB 与CD 是相反向量，则x = y = 。

12、已知向量12e i =，24e j =，()1,2a =，则a = 。

2.3.3 平面向量的坐标运算
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1、若()11,a x y =，则a b += ，a b -= ，a λ= 。

2、若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么AB 的坐标为 ，即AB = ，BA = 。

3、(),a x y =不能说a 的终点坐标即为 ，只有当表示a 的有向线段的起点即为坐标原点时，(),x y 也是其终点坐标。

（此时0x x -=，0y y -=）
课后作业：
一、选择题：
1、设向量()2,3AB =，且A 点坐标为()1,2，则B 点坐标为（ ）
A 、()1,1
B 、()1,1--
C 、()3,5
D 、()4,4
2、已知三点()1,1A ，()1,0B -，()0,1C 。

若AB 和CD 是相反向量，则D 点坐标是（ ）
A 、()2,0-
B 、()2,2
C 、()2,0
D 、()2,2--
3、如下图，在ABCD 中，()3,7AD =，()2,3AB =-，对称中心为O ，则CO 等于（ ）
A 、1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭
B 、1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C 、1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭
D 、1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
4、已知平行四边形三个顶点坐标分别为()1,0-，()3,0，()1,5-，则第四个顶点的坐标是（ ）
A 、()1,5或()5,5-
B 、()1,5或()3,5--
C 、()5,5或()3,5--
D 、()1,5或()5,5-或()3,5--
二、填空题：
5、作用于原点的两力()11,1F =，()22,3F =，为使它们平衡，需加3F = 。

6、已知向量()23,34a x x x =+--与AB 相等，其中()1,2A ，()3,2B ，则x = 。

7、若()2,3p =-，()1,2q =，()9,4a =，且a m p nq =+，则m = ，n = 。

8、已知()2,3a =-，()1,1b =，()3,7c =-，则用a 和b 为一组基底表示c = 。

三、解答题：
9、已知()3,1a =-，()1,2b =，求满足条件的向量x ，y ，使()2,5x a +=，()1,3b y +=--。

10、已知()1,2A -，()2,1B ，()3,2C ，()2,3D -，以AB 、AC 为一组基底来表示AD BD CD ++。

11、已知点()0,0O ，()1,2A ，()4,5B ，及OP OA t AB =+，问：
（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？
（2）四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。