空间的角

立体几何第5课 空间的角（含答案解析）

●考试目标主词填空

1.两条相交直线所成的角

两条直线相交得四个角，其中不大于直角（锐角或直角）的角，叫做这两条直线所成的角.

2.两条异面直线所成的角

过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a、b平行的直线aʹ、bʹ,形成两条相交)直线，这两条相交直线所成的角（不大于直角的角）叫做这两条异面直线所成的角.

3.平面的斜线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

4.二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

5.二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

●题型示例点津归纳

【例1】如图，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂

直,∠ABS=45°,∠ABC=60°，M为AB的中点：

例1题图

(1)求BC与平面SAB所成的角；

(2)求证：平面ABC⊥平面SCM；

(3)求SC与平面ABC所成角的正弦值.

【解前点津】 (1)BC在平面ABS上射影为BS，

∠CBS为所求的角，而计算∠CBS时可利用∠ABS、

∠ABC、∠CBS三者之间关系来处理.

(2)本题中可以证明AB⊥平面SCM.

(3)利用第2问结论：SC在平面ABC上的射影为MC，∠SMC为所求的角.

【规范解答】 (1)∵SC⊥SB，SC⊥SA，∴SC⊥平面ABS，

∴斜线BC在平面ABS上的射影为BS，∠CBS为所求的线面角，

根据公式cos∠CBA=cos∠CBS·cos∠ABS,易求得cos∠CBS=

,

∴∠CBS=45°.

(2)∵∠ABS=45°，∴△ABS是等腰直角三角形

又∵M是AB中点，∴AB⊥MS ①，

又∵SC⊥平面ABS，∴AB⊥SC ②

由①、②可得AB⊥平面SCM，∴平面ABC⊥平面SCM.

(3)由上一问，显然SC在平面ABC上的射影为MC，∠SCM为所求的角，

又由第一问知∠ABS=∠CBS=45°，∴△ABS与△BCS都是等腰三角形.

设SA=SB=SC=a,则MS=

在Rt△SCM中，MC=

,

∴sin∠SCM=

.

【解后归纳】主要考察斜线与平面所成角的概念及公式

cosθ=cosθ1·cosθ2的应用，证明平面与平面垂直，主要依据是面面垂直判定定理，即只要在一个平面内找一条直线恰好与另一平面垂直即可.

【例2】如图所示，四面体P-ABC中，AP、AB、AC两两垂直，

且PA=2,AB=3,AC=4，求二面角P—BC—A的正切值.

【解前点津】本题的关键是找二面角的平面角，而找二面角的平面角最常用的方法是利用三垂线定理，及其逆定理来处理.

【规范解答】∵PA、AB、AC两两垂直，

例2题图

∴PA⊥平面ABC，过A作AD⊥BC于D，连结PD，

由三垂线定理知，PD⊥BC，根据二面角的平面角定义，

∠PDA为所求的角，在Rt△ABC中，

AB=3,AC=4,∴BC=5,

又∵

AB·AC=

BC·AD,可求得AD=

.

∴tan∠PDA=

.

【例3】已知直角三角形ABC的两直角边AC＝2，BC＝3，P是斜边AB上的一点，如图(1)，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B,当AB＝

时，求二面角P—AC—B的大小.

【解前点津】本题是折叠问题，不妨先作一个题意相同的直角三角形的模型，然后按照题意进行折叠，在实图上作出二面角P—AC—B；然后再回到图形中，互相对照，理解之后再予以解答.

例3题图(1)

例3题图(2)

【规范解答】如图(2)，过B作CP延长线的垂线，垂足E，过E作AC 的垂线，垂足为D，连BD.

∵平面APC⊥平面BPC，且BE⊥CE，

∴BE⊥平面APC.

而ED⊥AC,∴BD⊥AC.

∴∠BDE是二面角P—AC—B的平面角.

∵AC=2,BC=3,AB=

,

∴cos∠ACB=

,

∴∠ACB=60°.

∴BD=3sin60°=

,CD=

BC=

.

设∠PCB=θ,则∠ACP=90°-θ,利用∠CDE=∠CEB=90°,得

=3cosθ,

2sinθcosθ=1,sin 2θ=1.

∴2θ=90°,θ=45°.

∴BE=BC sin 45°=3×

.

∴sin∠BDE=

,

∴∠BDE=arcsin

【解后归纳】解本题的关键是作出二面角的平面角.

【例4】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,PA为平面ABC的斜线,∠PAB=∠PAC=60°.

(1)求PA与平面ABC所成的角;

(2)PA等于多少时,P点在平面ABC内的射影O恰好在BC上.

【规范解答】 (1)作PO⊥面ABC于O,连AO,则∠PAO为PA与平面ABC 所成的角.

∵∠PAB=∠PAC,易证AO是∠BAC所成的角,作OD⊥AB于D,连结PD,由三垂线定理得PD⊥AB,

设AD=a,∵∠PAD=60°,