在平行六面体中巧解四面体问题

O

A B C D E C B

A S

F

z 四面体问题求解中的“嵌”与“补”

江苏省姜堰中学 张圣官（225500）

四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。

1． 将四面体“嵌入”到平行六面体中

我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都

分成3：1的两部分。下面看几例这种“嵌入”的应用。

例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。 分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四

面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则

球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个 面都相切。易知正方体棱长为

a 2

2，所以球半径为

a 4

2，故 （图1）

球的体积为36

3334

a R ππ=

。

例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 900 B 600 C 450 D 300

分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正 四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱

分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正

方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。而 SA 与该侧棱所成角是450

，故异面直线EF 与SA 所成的 角等于450，选（C ）。

（图2）

例3 四面体ABCD 中，AB=CD=5，BC=AD=41，BD=AC=34，求此四面体的

体积。

分析：本题四面体ABCD 的面积可求，但高的位置

不易确定，直接求体积有一定困难。注意到四面体ABCD

的相对棱相等的条件，联想到长方体相对表面的对角线相等这一性质，故可补成长方体解题。 解：将四面体ABCD “嵌入”到长方体中，设长方体

的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则有

（图3）

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+342541222

222x z z y y x ⎪⎩⎪⎨⎧===∴3

45z y x ∴20)(43

1

21

31==

⋅⋅-=-xyz xyz xyz V BCD A

即四面体ABCD 的体积为20立方单位。

例 4 设正四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上，每两个相邻平面间的距离都是h ，求这个四面体的棱长。

分析：将棱长为a 的正四面体A 1C 1BD “嵌入”到棱长为

a 2

2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

（如图4）。设E 、F 、M 、N 分别是C 1D 1、CD 、A 1B 1、AB 的中点，那么平面A 1EFA

与平面C 1MNC 是适合题设的两个平面（另两个平面分别过B 、D 且与这两平面平行），这四个平面与正方体的上下底面垂直。

因为BC=

a 2

2，BN=

a 4

2，所以CN=

a 4

10， （图4）

在直角三角形BCN 中，B 到CN 的距离为a a a h 4

10422

2

⨯= ，

因此所求四面体棱长为h a 10= 。

2．将四面体补成平行六面体

以四面体过一顶点的三条棱为基底，可以将四面体补成一个平行六面体，而使四面体成为平行六面体的“一角”。特别是，当题设给出的四面体有共点的三条棱两两垂直时，可以将之补成正方体或长方体，从而有利于问题的解决。

例5（2000年上海高考题）如图5所示，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为

10

10，求四面体

ABCD 的体积。

分析：因为四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂

直，所以可把AB 、BC 、BD 视为长方体一角的三条棱，将 （图5） 四面体ABCD 补成长方体CFAB-GHQD 。（如图6）

解：连结GF 、BF ，则∠GFB 就是异面直线AD 与BE 所成的角。

设BD=x,那么BG 2=GF 2=4+x 2, BF 2=8， 根据余弦定理得，

4

82484cos 2

22+⋅⋅--++=

∠x x x GFB

44

82810

102=⇒=

∴

+⋅⋅x x （图6）

∴V 四面体 =

386

1

422=⨯⨯⨯ 。

A

B

S

C

M

N

例6 如图7，在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别为棱SC 、 BC 的中点，并且MN ⊥AM ，若侧棱长SA=32，则正三棱 锥S-ABC 的外接球的表面积为

A π12

B π36

C 32π

D π48

分析：由条件中的MN ⊥AM ，可以推得AM SB ⊥。 （图7）

又由正三棱锥S-ABC 中对棱互相垂直，得AC SB ⊥。所以SB ⊥平面SAC ，从而该正三棱锥的三个顶角都是直角。将该三棱锥补成正方体，使S 成为正方体的一个顶点，则正三棱锥S-ABC 的外接球也即是正方体的外接球，根据632332=⋅=⋅=

SA R 得，R=3，

所以正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为ππ3642

=R ，结果选（B ）。