第3章 正弦交流电路

π 2
相位关系
感抗和感纳:
U LI

u
i

π 2
第3章 正弦交流电路
有效值关系
相位关系
XL= L=2fL，称为感抗，单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL， 感纳，单位为 S
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力 (2) 感抗和频率成正比；
频率越高，感抗就越大； 直流电(f=0)，感抗为零，电感元件相当于短路。
第3章 正弦交流电路
复数A的两种表示形式可以通过以下计算相互转换
a r cos b r sin
r A a2 b2



arctan
b

a
A r r cos r sin
A a jb a2 b2 arctanb a
复数的运算
例3-3 在选定参考方向下正弦量的波形如图3-3所示，已知 正弦量的频率f=1000Hz，试写出正弦量的解析式。 解：正弦量的角频率为
2 f 6280ras/s
由波形图可得
u1

200 sin(6280t

π)V 3
π
u2

250 sin(6280t

)V 6
3.1.2同频率正弦量的相位差
不在规定取值范围，利用2π 进行调整，调整后相位差为
=120˚
电压u1超前u2120˚，或u2滞后u1120˚。
（2） i 10sin(t 130 )A
u 200costV
u 200sint 90 200sin(t 90 )V
i u 130o (90o ) 40o
等于初相位之差，规定： | |
了解相位的超前滞后关系
3. 周期性电流的有效值
I Im , Im 2I 2
第3章 正弦交流电路
3.2 正弦量的相量表示 3.2.1复数及运算规律
复数A的表示形式
代数形式： A a jb
极坐标形式： A r
式中a、b是复数A的实部和虚部； r、ψ是复数A的模和辐角； j是虚数单位，j2=1，或 j 1
I&3 10 53.1o A
则瞬时值表达式为 i1 10 2 sin(314t 53.1 )A i2 10 2 sin(314t 126.9 )A
i3 10 2 sin(314t 53.1 )A
第3章 正弦交流电路
3.3 电路基本定律的相量形式 3.3.1基本元件电压电流关系的相量形式
第3章 正弦交流电路
例3-8 已知正弦量 i 311sin( t 30 )A u 537sin( t 60 )V
写出它们的相量形式，并作相量图。 解： 有效值相量为
I& 311 30 22030A 2
U& 537 60 380 60V 2
电压的振幅值Um=200V，角频率ω=1000rad/s，初相ψ=-150˚
(2) i 5sin(314t 60)A 5sin(314t 60 180)A 5sin(314t 120)A
电流的振幅值Im=5A，角频率ω=314rad/s，初相ψ=-120˚。
第3章 正弦交流电路
3.1.3正弦量的有效值
周期电流、电压有效值定义
第3章 正弦交流电路
直流I R
物
交流i R
理
意
义
W I 2RT
W T i2Rdt 0
电流有效
值定义为
I 1 T i2dt
T0
有效值也称均方根值
第3章 正弦交流电路
设正弦电流表达式为 i Im sin t
代入上式得正弦电流有效值为
第3章 正弦交流电路
例 已知两复数 A 12 j16， B 5 j8.66
求（1）A+B，A-B；（2）AB，A/B。
解：（1） A B (12 j16) (5 j8.66) 7 j24.66 A B (12 j16) (5 j8.66) 17 j7.34
第3章 正弦交流电路
第3章 正弦稳态电路分析
3.1 正弦量 3.2 正弦量的相量表示 3.3 电路基本定律的相量形式 3.4 复阻抗与复导纳 3.5 正弦交流电路的相量分析法 3.6 正弦稳态电路的功率
3.1 正弦量
第3章 正弦交流电路
正弦量：按正弦规律变化的电压和电流。 用小写的u和i表示，代表电压、电流的瞬时值。
I Im 2
说明，正弦电流的有效值等于最大值的 1 2 同理，可得正弦电压的有效值 U U m
2 引入有效值后，正弦电流表达式也可写为
i Im sin(t ) 2I sin(t )
第3章 正弦交流电路
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为:Um311V；
U=380V，
第3章 正弦交流电路
如果 =ψ1-ψ2=0则称电流i1与i2同相位
如果 =ψ1-ψ2=π则称电流i1与i2反相 如果 =ψ1-ψ2=π/2则称电流i1与i2正交
第3章 正弦交流电路
例 求下列几组正弦量的相位差，并说明超前、滞后关系。
（1） u1 220 2 sin(t 120 )V u2 220 2 sin(t 120 )V
第3章 正弦交流电路
例3-1 已知工频交流电流的最大值为12A，初相为45º，写 出它的解析式，求t=0.01s时电流的瞬时值。 解： 工频交流电的角频率为314 rad/s，电流的解析式为
i 12sin(314t 45)A
t=0.01s时，
i 12sin(100 0.01 45) 12sin 225 8.49A
例3-5 一正弦电压的初相为60°，最大值为311V，角频率
=314rad/s，试求它的有效值、解析式，并求t=0.003s时的瞬
时值。 解： Um=311V， 有效值为
U Um 311 220V 22
则电压的解析式为 u 220 2 sin(314 t 60)V
将t=0.003s代入，得
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
2π 2π f
T
(3) 初相位ψ
t=0时的相位,反映正弦量 的计时起点。
第3章 正弦交流电路
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
ψ=0
ψ =60
ψ=－60
ψ>0，表示波形起点超前坐标原点。
ψ<0，表示波形起点滞后坐标原点。
一般规定：| ψ | 。
1、电阻元件
时域形式： u Ri
设 i 2I sin(t i )
u R i 2RI sin(t i )
u 2U sin(t u )
U u RI i
相量关系： U& RI&
U RI
u i
有效值关系 相位关系
波形图及相量图：
第3章 正弦交流电路
第3章 正弦交流电路
(1)加减运算——采用代数形式
A1 a1 jb1 r1 1
A2 a2 jb2 r2 2
A1 A2 (a1 jb1) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
图解法wk.baidu.com
Im A2
0
A1+A2
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
相位关系为i超前u 90˚。
例 已知同频正弦电流相量为
第3章 正弦交流电路
I&1 6 j8A
I&2 6 j8A
I&3 6 j8A
频率f=50Hz，写出它们的瞬时值表达式。
解： 先将电流相量写成极坐标形式
I&1 1053.1o A
I&2 10126.9o A
2 f 100 314rad/s
第3章 正弦交流电路
2、电感元件
时域形式： u L di dt
设 i 2I sin(t i )
u L di dt
2LI cos(t i )

2LI
sin(t
i

π) 2
u 2U sin(t u )
U LI 有效值关系

u
i

u 220 2 sin(100 0.003 60)V 311sin114o V 284.1V
小结 1. 正弦量的三要素
第3章 正弦交流电路
i
Im
T
i=Imsin( t+ψ)
ψ/ O
t
(1)幅值Im
(2) 角频率 2π 2π f
(3) 初相位 ψ
T
2. 同频率正弦量的相位差
电流i滞后电压u 40˚。
第3章 正弦交流电路
（3） i1 30sin(t 20 )A i2 40sin(3t 50 )A
i1的角频率是ω，i2的角频率是3ω，i1与i2不是同频率正 弦量，其相位差随时间变化，求相位差没有实际意义。
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同 符号，且在主值范围比较。
在电路图上所标的方向是指它们的参考方向。 正弦量瞬时值为正，表明其实际方向与参考方向一致； 瞬时值为负，表明其实际方向与所选定的参考方向相反。
第3章 正弦交流电路
3.1.1正弦量的三要素
i(t)=Imsin( t+ψ )
(1)幅值 (振幅、最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω 单位： 弧度/秒(rad/s)
第3章 正弦交流电路
A1 a1 jb1 r1 1 A2 a2 jb2 r2 2
A1 A2 r1 1 r2 2 r1r2 1 2
A1 A2

r1 1 r2 2

r1 r2
1 2
两复数相乘，将模相乘、辐角相加； 复数相除，将模相除、辐角相减。
第3章 正弦交流电路
例3-2 在选定的参考方向下，已知正弦电压和电流的解析式为
u 200sin(1000t 210)V, i 5sin(314t 60)
试求两个正弦量的三要素。 解： (1)
u 200sin(1000t 210)V 200sin(1000t 150)V
（2）将复数A、B变换成极坐标形式 A 12 j16 2053.13 B 5 j8.66 10120 AB 2053.13 10120 200173.13 A 2053.13 2 66.87 B 10120
第3章 正弦交流电路
3.2.2正弦量的相量表示
（2） i 10sin(t 130 )A
u 200costV （3） i1 30sin(t 20 )A
i2 40sin(3t 50 )A
（1） u1 220 2 sin(t 120 )V
第3章 正弦交流电路
u2 220 2 sin(t 120 )V 解： （1） 1 2 120 120 240
第3章 正弦交流电路
等于初相位之差
i1 I1m sin(t 1) i2 I2m sin(t 2 )
i1与i2的相位差为
(t 1) （t 2 ) 1 2
规定： | φ | (180)
如果 =ψ1-ψ2>0则称电流i1超前i2（或称为电流i2滞后i1）
Um537V。
注
（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的
是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i、Im、I
第3章 正弦交流电路
在正弦稳态电路中，如果所有激励都是同频率的正弦量，则 电路中的响应与激励也是同频率正弦量，此时电路中的响应只 需确定两个要素——幅值和初相位。
i 2I sin( t ) I I ——有效值相量
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
Im Im
第3章 正弦交流电路
——最大值相量
幅值相量和有效值相量的关系为 I&m 2I&
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，画在复平 面上表示相量的图形称为相量图。必须注意只有相同频率 的正弦量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量一般 不能画在一个相量图上。另外，用复数表示正弦量时，复 数与正弦量之间只是对应关系，不是相等关系。