数学物理方程复习提纲

数学物理方程复习提纲

（qin,090600）

(建议：复习巩固以下知识点+重温例题和作业+自主补充复习和练习)

1． 振动方程的导出，非齐次项的含义。振动方程定解条件的提法（初始条件？，第一、二、

三类边值条件？）；

2． 热传导方程的导出，非齐次项的含义。热传导方程定解条件的提法（初始条件？，第一、

二、三类边值条件？）；

3． 拉普拉斯方程的导出，泊松方程非齐次项的含义。拉普拉斯方程和泊松方程定解条件的

提法（第一、二、三类边值条件？三种边值问题？）；

4． 概念：线性（非线性）偏微分方程概念。定解问题，混合问题，初值问题，边值问题。

Laplace 第一边值问题（狄利克雷问题？），第二边值问题（诺伊曼问题？）,适定性，适定的。

5． 线性偏微分方程的叠加原理。二元二阶线性偏微分方程的一般形式、分类、特征方程、

三种类型的标准形式及化为标准形式的方法。

6． [a, b]上带权q(x)>0的正交函数系，模，傅里叶级数及其系数的算法。

f(x)在[,]l l -上的傅里叶级数01()~

(cos sin )2k k k a k x k x f x a b l l

ππ∞

=++∑的系数的算法。（1()cos ?l k l k x

a f x dx l l

π-=⎰）

f(x)在[,]l l -的傅里叶级数01(1/2)(1/2)()~

(cos sin )2k k k a k x k x f x a b l l

ππ∞

=++++∑的系数的算法。（1(1/2)()cos ?l k l k x

a f x dx l l

π-+=

⎰） f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数01()~cos 2k k a k x f x a l

π∞

=+∑的系数的算法。（02()cos ?l k k x

a f x dx l l

π=

⎰）（视为偶延拓到[0,]l 上？） f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数1

()~

sin

)k k k x

f x b l

π∞

=∑的系数的算法。（02()sin ?l k k x

b f x dx l l

π=⎰）

f(x)在[0,]l 上的傅里叶级数01(1/2)()~cos 2k k a k x f x a l

π∞

=++∑的系数的算法。（02(1/2)()cos

?l k k x

a f x dx l l

π+=⎰） 7.分离变量法可解的问题((,)0u x t x l <<在上的振动,热传导,laplace矩形域边值?).

8.能熟练求解：基本型()I ⎧⎪⎨⎪⎩齐方齐边非齐初（分离变量法？），基本型()II ⎧⎪

⎨⎪⎩非齐方齐边齐初（固有函数法？）。

9．会解基本形()III ，方法是（？）：()()()I I II ⎧⎧⎪⎪−−−−→=+⎨⎨⎪⎪⎩⎩

边界齐次化

(非)齐方非齐方

非齐边齐边(非)齐初非齐初。

10．记得边界条件与固有函数系的对应规律。

即（？）：

(0,)0,(,)0,{sin

};1()2(0,)0,(,)0,{cos

};1()2(0,)0,(,)0,{sin

};(0,)0,(,)0,{cos };

x x x x n u t u l t x l

n u t u l t x l n u t u l t x l n u t u l t x l π

π

π

π

==+==+==== 或

2(()0,

(0)()0,(

),{sin };1()2(0)()0,{cos };1()2(0)()0,{sin

};(0)()0,{cos };

X x X x n n X X l x l l n X X l x l n X X l x l n X X l x l λππλπ

π

π

''+====+'==+'==''==对时 11．会解矩形域上Laplace 边值问题（把一个变量类比为时间t ，视为基本形（I ）、（II ）或（III ）？）。会解圆域上Laplace 问题（记得(,)0,0,

(,)(),

u r r R u R f θθθ∆=<<⎧⎨

=⎩的半通解为

1

(,)(cos sin )2n n n n a u r a n b n r θθθ∞

==++∑，并用边值条件计算系数即可？）。

12．行波法能解哪类问题？（23

,,R R R 上波动方程？）。

14．会解2(,),(,0)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u f x t x t u x x u x x ϕψ⎧=+-∞<<+∞>⎨==⎩

。

（齐次的达朗贝尔公式法，或非齐次的更一般公式法？）。

15．会解2(),(,,,0)(,,,0)(,,),(,,,0)(,,)

tt xx yy zz t u a u u u x y z t u x y z x y z u x y z x y z ϕψ⎧=++-∞<<+∞>⎨==⎩。

（基尔霍夫公式法，即平均值法？）。

15．会解2(),(,,0)(,,0)(,),(,,0)(,)tt xx yy t

u a u u x y t u x y x y u x y x y ϕψ⎧=+-∞<<+∞>⎨==⎩。

（降维法，或泊松公式法？都要会）。

16．傅氏变换定义式及其逆变换的定义式，微分性质，卷积，卷积定理。拉氏变换定义式，求拉氏逆变换的留数法，微分性质，延迟性质，卷积，卷积定理，记得常用的一些结果例如

1

[]at L e s a

=

-等。 17．积分变换法可解哪类问题？如何选择变换类型。

（三种类型变量取值于(0,)+∞或(,)-∞+∞的无界区域？某变量取值于(0,)+∞且该变量有足够的初值则可关于该变量作拉氏变换，关于取值于(,)-∞+∞的变量可作傅氏变换？）。 18．会用积分变换法求解类似课本例题和习题的定解问题。 19．格林函数法能解哪种类型的问题？

（Laplace 方程和泊松方程第一边值问题？）

20．三（二）维Laplace 方程的基本解和球（圆）对称解。格林第一、二公式。三维调和函数的积分表达式。 21．调和函数的性质

（无流出？平均值公式？极值原理？）。

诺伊曼问题有解的必要条件及其证明，狄利克雷问题解的唯一性及其证明。 （用无流出？极值原理？） 22．区域3

R Ω⊂上的格林函数。 （0

01

(,)4MM G M M v r π=

-，？，由狄利克雷问题解的唯一性可知其唯一？）

。 狄利克雷问题0,|(,,)u in u f x y z Γ

⎧∆=Ω

⎨=⎩的解是唯一的（？），可表示为？

（0()G

U M u

ds n

Γ

∂=-

∂⎰⎰？） 23．如何求解狄利克雷问题0,|(,,)u in u f x y z Γ

⎧∆=Ω

⎨=⎩