北邮通信网性能分析实验二MM排队系统实验报告

北邮通信网性能分析实验二M M排队系统实验

报告

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

《通信网理论基础》

实验二：二次排队问题——M/M/1排队系统的级联一、实验目的

M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为λ的Poisson

过程，服务时间是参数为μ的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有

无穷多个，排队的方式是FIFO。

M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，等待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little公式等进行理论上的分析与求解。

本次实验的目标有两个：

实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿

真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对比。

仿真两个M/M/1级联所组成的排队网络，统计各个队列的平均队列长度与平均系统

时间等值，验证Kleinrock有关数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换

机时，随机按负指数分布取一个新的长度的假设的合理性。

二、实验原理

1、M/M/1排队系统

根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。

设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，则长度为t的时间内到达k个

呼叫的概率

)(t

P

k服从Poisson分布，即

()

()

!

k

t

k

t

P t

k

eλ

λ-

=

，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=,2,1,0

k，其中λ>0为一常数，表示了平均到达率或Poisson呼叫流的强度。设每个呼叫的持续时间为i

τ，服从参数为μ的负指数分布，即其分布

函数为

{}1,0

t

P X t e t

μ

-

<=-≥

.服务规则采用先进先服务的规则（FIFO）。

在该M/M/1系统中，设

λρμ=

，则稳态时的平均队长为[]1E N ρ

ρ=

-，顾客

的平均等待时间为1

T μλ=

-。

2、 二次排队网络

由两个M/M/1排队系统所组成的级联网络，顾客以参数为λ的泊松过程到达第一个排队系统A ，服务时间为参数为

1μ的负指数分布；从A 出来后直接进

入第二个排队系统B ，B 的服务时间为参数为2μ的负指数分布，且与A 的服务

时间相互独立。

在该级联网络中，如稳态存在，即

1λμ<且2λμ<，则两个排队系统相互

独立，顾客穿过网络的总时延为各个排队系统的时延之和，即

1211

T μλμλ=

+

--。

如将该模型应用于数据包穿越网络的平均时延的计算，假设数据包的包长

服从负指数分布，平均包长为b ；排队系统A 的信道速率为1

C ，B 的信道速率

为

2

C 。为保证两次排队的独立性，Kleinrock 假设数据包在从一个交换机出来

后，进入下一个交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度。

三、 实验内容

1、 仿真时序图示例

本实验中的排队系统为当顾客到达分布服从负指数分布，系统服务时间也服从负指数分布，单服务台系统，单队排队，按FIFO 方式服务为M/M/1排队系统。

理论上，我们定义服务员结束一次服务或者有顾客到达系统均为一次事

件。i b

为第i 个任何一类事件发生的时间，其时序关系如下图所示。

bi 第i 个任何一类事件发生的时间 ti 第i 个顾客到达类事件发生的时间 ci 第i 个顾客离开类事件发生的时间 Ai 为第i-1个与第i 个顾客到达时间间隔 Di 第i 个顾客排队等待的时间长度 Si 第i 个顾客服务的时间长度

顾客平均等待队长()Q n 及平均排队等待时间()d n 的定义为

1

011()()()T

n

i

i Q n Q n Q t dt R T T ===≈∑⎰

其中，

i

R 为在时间区间

1[,]

i i b b -上排队人数

i

q 乘以该区间长度1()

i i b b --。

11()()n

i

i d n D n D n ===∑

i

D 为第i 个顾客排队等待时间。

2、 仿真设计算法

（1）利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流。 （2）对每个排队系统，分别构建一个顾客到达队列和一个顾客等待队列。顾客到达后，首先进入到达队列的队尾排队，并检测是否有顾客等待以及是否有服务台空闲，如果无人等待并且有服务员空闲则进入服务状态，否则顾客将进入等待队列的队尾等待。

（3）产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间。 （4）当服务员结束一次服务后，就取出等待队列中位于队头的顾客进入服务状态，如果等待队列为空则服务台空闲等待下一位顾客的到来。

（5）顾客结束A 系统的服务后，立即进入B 系统排队等待服务。 （6）由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段内排队的人数。

（7）在排队网络达到稳态时，计算顾客平均系统时间以及平均队长。 3、 仿真结果分析