第4章 有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法

（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信 号产生相位失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中非常重要；
（2）可得到多带幅频特性； （3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题； （4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；
（5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：
（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以 较高的阶数为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解 析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性
4.1.1 线性相位的条件 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函 数，即
①既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为 倒数的两组共轭 对， zi z*i 1/zi 1/z*i ②在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己 的共轭，所以有一对共轭零点， zi,z*i
③不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是 自己，所以有一对互为倒数的零点, zi, 1/zi ④又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合 为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或 zi=-1
令
N m n 1 2
N 2
N 1 H ( ) 2h( 1 m) sin[ (m )] 2 2 m 1
1 H d (n) sin n 2 n 1
N /2
N d (n) 2h 1 n 2
N /2
或写为：
N /2 1 H b(n) cos n 2 n 1 N b(n) 2h 1 n 2
由于 也为奇对称，且由于 种情况不能用于设计 通、带阻滤波器。 时
奇对称，所以 时，
N23 N 1 j N 1 N 1 2 e h 2hn cos n 2 2 n 0
N 1 H ( ) h 2
1 sin n 2
由于 在ω=0,２π处为零，所以 H(ω)在ω=0, 2π处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对 ω=0,2π呈奇对称。
四种线性相位FIR滤波器
四种线性相位FIR DF特性，参考 P91 表4.1 第一种情况 ，偶、偶，四种滤波器都可设计。
( )
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时 延为一相同的常数，系统的群时延为
d ( ) g d
FIR滤波器的DTFT为
H e j hn e jn H e j
n 0

N 1
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等 式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部 与虚部的比值应当相等:
,0 n N 1
另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还 有一附加的相位，即
( )
N 1 2 2 hn h N 1 n


2
0


Baidu Nhomakorabea
0
2

2
( N 1)
( N 3) / 2

n 0
N 1 2h(n) cos n 2
N 1 ( ) 2
令
，则
N 1 ( N 1) / 2 N 1 H ( ) h m) cosm 2h( 2 2 m1

e
N 3 N 1 j 2 2 2
N 1 2hn sin n 2 n 0
N 1 H ( ) 2h(n) sin[ (n )] 2 n 0
令 n=m+(N-1)/2，得：
hne
n 0
N 3 2
jn
e
j N 1 n

N 1 h e 2
H ( e j ) e
N 1 j 2
N23 N 1 N 1 j n j n N 1 2 2 e ) h hn (e 2 n 0
时间窗口设计法是从单位脉冲响 应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉 冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从 理想频响通过付氏反变换获得
( N 0.5)
h(n) 偶对称
图1 线性相位特性
h(n) 奇对称
4.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性 分四种情况
1、N为奇数，
偶对称
2、N为偶数， 偶对称
3、N为奇数，
奇对称
4、N为偶数，
奇对称
h 1． (n) 偶对称，N为奇数
h(n)=h(N-1-n)
H e j H e j
由于 这些点也奇对称。
点呈奇对称，所以
对
由于 时， 相当于 H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器 的设计。
4.h(n)奇对称，N为偶数
He
e
j
N N 1 1 j 2 2 2
N 1 2hnsin n 2 n 0
第4章 有限长单位脉冲响应 （FIR）滤波器的设计方法
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 线性相位FIR数字滤波器的特性 窗口设计法（时间窗口法） 频率取样法 FIR数字滤波器的最优化设计 IIR与FIR数字滤器的比较
序言
FIR数字滤波器的差分方程描述
y (n) ai x(n i)
z hnz n hN 1 nz n H
H z h ( m) z
m 0 N 1 N 1 m
z
N 1
m 0
hmz
Hz
N 1
m
H z z
N 1

1
由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一 定是H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z)的零点还必 须共轭或对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共 轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种可能的情 况：
第二种情况，偶、奇，可设计低、带通滤波器，不能设计
高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设
计低通和带阻。
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度 函数H (ω)。
对
处必有一零点，因此这 的滤波器，如高
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
H e j
hn e
n 0
N 3 2
j n

hn e jn
n N 1 2
N 1

hn e
n 0
N 3 2
jn
e
j N 1 n
N 1 N 1 N 1 n , n 1,2,, , a(n) 2h 令 a(0) h 2 2 2
则
H
N 1/ 2 n 0
a(n) cosn
偶对称，因此 对这些频率
由于 也呈偶对称。
2．h(n)偶对称，N为偶数
h(n)=h(N-1-n)
i 0
N 1
对应的系统函数
H ( z ) ai z
i 0
N 1
i
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
y(n) h(i) x(n i)
i 0
N 1
H ( z ) h(i ) z i
i 0
N 1
ai h(i )
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点 ：
H e j hn e jn h N 1 n e j N 1 n
n 0 n 0

N 1 2
N 1 2
hn e jn e j N 1 n
n 0
N 1 2


e
N N 1 2 1 j 2
线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种， 应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类 型，并在设计时遵循其约束条件。
4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应 为 ，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一 个传递函数
去逼近
，逼近方法有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近）

h(n)e jn
n 0
N 1
N 1 jn hn e h e 2 n 0
N 3 2
N 1 j 2

hn e jn
n N 1 2 N 1 j 2
N 1
我们从幅度响应的讨论中已经知道，对于第二种 FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数）， ， 即 是 的零点，为单根；同样道理， 对于第四种FIR滤波器（h(n)奇对称，N为偶 数）， ，即 是 的零点，为单 根；对于第四种FIR滤波器（h(n)奇对称，N为偶 数）， ，即 是 的零点， 为单根
解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对 称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2 - cosω- cos2ω = 2- (cosω+cos2ω)
小结：
四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对 称性，而与h(n)的值无关。 幅度特性取决于h(n)。
设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下， 只要完成幅度特性的逼近即可。 注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为奇对 称时，其相频特性中还应加一个固定相移π。
4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点特性
h(n) h( N 1 n)
N 1 n 0
N 1 n 0
hn sin n sin cos hn cosn
n N n
N
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到 左边，应用三角函数的恒等关系
hnsin n
n
N
N 1 2 hn hN 1 n
H
N / 21

n 0
N 1 2h(n) cos n 2
N 1 2hn cos n 2 n 0
令
，则
1 N H 2h 1 m cos m 2 2 m 1
N 3 2
N 1 H 2h m sinm 2 m 1
H
( N 1) / 2

N 1 2

m 1
N 1 2h m sin m 2
所以
N 1 2 H c(n) sin n n 1 N 1 c(n) 2h 2 n