青海师范大学附属第二中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案 新人教A版选修2-2

青海师范大学附属第二中学高中数学 1.5.3 定积分的概念导学案新人教A版

选修2-2

[学习要求]

1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.

2．理解定积分的几何意义.

3．掌握定积分的基本性质．

[学法指导]

通过求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.

问题2 怎样正确认识定积分ʃa f(x)dx?

例1利用定积分的定义，计算ʃ10x3dx的值．

跟踪训练1 用定义计算ʃ21 (1＋x)dx.

探究点二定积分的几何意义

问题1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃb a f(x)dx表示什么？

问题2 当f(x)在区间 [a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃb a f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

例2 利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃ3－3dx；(2)ʃ3－1 (3x＋1)dx.

跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1

－1xdx ；(2)ʃ2π

0cosxdx ；(3)ʃ1

－1|x|dx.

探究点三 定积分的性质

问题1 定积分的性质可作哪些推广？

问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？

例3 计算ʃ3

－3 (9－x 2

－x 3

)dx 的值；

跟踪训练3 已知ʃ10x 3

dx ＝14，ʃ21x 3dx ＝154，ʃ21x 2dx ＝73，ʃ42x 2dx ＝

563，求： (1)ʃ2

03x 3

dx ；(2)ʃ4

16x 2

dx ；(3)ʃ2

1 (3x 2

－2x 3

)dx.

[达标检测]

1．下列结论中成立的个数是 ( )

①ʃ10

x 3

dx ＝∑i ＝1n

i 3n 3·1n ； ②ʃ10x 3

dx ＝lim n →∞

∑i ＝1n

i －3

n 3

·1

n ； ③ʃ10

x 3

dx ＝lim n →∞∑i ＝1

n

i 3n 3·1

n . A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．定积分ʃb

a f(x)dx 的大小 ( )

A ．与f(x)和积分区间[a ，b]有关，与ξi 的取法无关

B ．与f(x)有关，与区间[a ，b]以及ξi 的取法无关

C ．与f(x)以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b]无关

D ．与f(x)、积分区间[a ，b]和ξi 的取法都有关 3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：

①ʃ1

0xdx________ʃ10x 2

dx ； ②ʃ2

0dx________ʃ2

02dx.

4．已知 ＝ ＝1， ＝π324

，求下列定积分：

(1)ʃsinxdx ；(2). π20sin d x x

⎰

x x d sin π

2π

⎰⎰

2π02d x

x ⎰

+2

π

2d )3(sin x

x x

[小结]

1．定积分ʃb a

f(x)dx 是一个和式 i ＝1

n

b －a

n

f(ξi )的极限，是一个常数．