苏教版高中数学必修一函数与方程教案(1)

函数与方程

一、 教学目标

1、 理解二次函数的图像与x 轴的交点（函数的零点）和相应的一元二次方程根的关系

2、 学会判别式的运用

3、 掌握函数零点的概念

4、 函数零点存在的充要条件和函数零点的存在性定理

二、 教学重难点、关键

1、 重点：零点的概念及存在性的判定

2、 难点：零点的确定

3、 关键：如何利用函数的图像判定与确定

三、 教学过程

1. 复习引入

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

⑴方程0322=--x x 与函数322

--=x x y

⑵方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y

⑶方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y

上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

2. 引申铺垫

上述结论推广到一般的一元二次方程02=++c bx ax 和二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 同样成立，为此使用判别式来把两者的关系联系起。

3. 分析归纳、自主定义

函数零点的概念

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

⑴函数零点的意义：

函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

⑵函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：

①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

⑶二次函数的零点： )0(2≠++=a c bx ax y ．

① △＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，

二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点。

② △＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），

二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零

点。

③ △＜０，方程02=++c bx ax 无实根，

二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

4. 探索

函数零点存在性定理

⑴零点存在性的探索

观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：

在区间]1,2[-上有零点______；

=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）

。 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）。

观察下面函数)(x f y =的图象

在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）。

在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）。

在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）。

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

⑵零点存在性定理

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(a f ·)(b f ＜0，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，

即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根。 ⑶函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；

从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。

5. 练习巩固

例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．

问题:①你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

②判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

例2．求函数222

3+--=x x x y ，并画出它的大致图象．

练习：

利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

①01272=++x x ；②0)2lg(2=--x x ；

③0133=--x x ；④0ln 31=--x x

6. 回顾小结

方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤。

7. 布置作业

四、 教学工具

1. 制作课件的软件：几何画板、authorware 、flash ；

2. 三角尺等尺规工具。