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1.2.2 组合
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某
天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名
同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天 一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
问题1
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素 , 按照一定的 顺序排成一 列.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
今晚课后自己证明，明天再课堂评讲
性质应用
1、计算 C19080＋C19070
2、解方程 C22x5＝C2x5＋4
3、计算 C 0 4 ＋ C 1 5 ＋ C 6 2 ＋ ＋ C 1 93
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有 一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上 场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种方式做这件事情?
例2：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共 有多少条?
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
思考：组合和排列有什么共同和不同点？
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关. 也就是排列是“先取后排”，组合是“只取不排”
概念理解
思考1：ab与ba是相同的排列还是相同的组合？
思考2：两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？
元素和顺序相同
有
顺
序
排列
问题2
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素 , 并成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列.
对应于
即3人不去参赛
C
3 10
C170 C130
即：从n个不同元素取出m个元素的组合，与剩下的n-m个 元素的组合一一对应。
所以：
Cnm
Cnm n
意义理解：猜想2：
1个黑球 n个白球
Cm n 1
抽m个球
C 第一类：抽到1个黑球
m 1 n
共有n+1个球
C 第二类：没有黑球 m n
所以： Cnm 1CnmCnm1
元素相同
思考3：排列与组合有何联系？
构造排列可以分成两个步骤组成，先取元素后排序，而构造组 合只是其中一个步骤。
练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
可分两步完成： 1、先抽三个元素，即 2、对这三个元素进行排序
所以：
即：
总结归纳
一般地，求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，可
以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出 m个元素的组合
数
C
m．
n
第2步，对 m个元素的进行全排
根据分步计数原理，得到： Anm CnmAm m
C n m A A m n m mn n 1 n 2 m !n m 1
排列问题
有多少种不同的火车票价？
组合问题
(3)8只球队进行单循环比赛，需进行多少场比赛? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题
练习2： (1)写出从a,b,c三个不同元素取出2个不同元素的组合
ab,ab,cb
共3个
(2)写出从a,b,c，d四个不同元素取出2个不同元素的组
合
ab,ac, ad,cb, db, cd 共6个
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C
m 表示.
n
思考：一个组合与组合数有什么区别？
一个组合是具体的一个取法形式。 组合数是所有组合的个数，是数值。
探究：前面我们已经提到，组合与排列有相互联系，那么我们 能否利用这种联系，通过排列数 来求出组合数 呢？ 比如：求从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。
组合数的两个性质
性质1
Cnm
Cnm n
（
当
m
n 时） 2
性质2 Cnm 1CnmCnm1
注: 1 公式特征：左端下标是n+1,右标下端是n,相差1；
左端上标与右端上标的一个一样，另一个
上标少1 2 性质的作用：恒等变形，简化运算．
你会用组合数公式去证明这两个性质吗？
性质1
Cnm
Cnm n
性质2 Cnm 1CnmCnm1
猜想：
Cnm
Cnm n
练习2、一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球． （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共有多少种取 法？
（3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多少种不同的取法？
猜想： Cnm 1CnmCnm1
意义理解：猜想1：
C7 10
10人选7人去参赛
这里 m、 nN*，且mn，这个公式叫做组合数公式．
公式归纳 组合数公式:
C n mA A n m m mn (n 1 )(n 2 m )L ! (n m 1 )
Cnm
n! m!(n m)!
计算
证明
我 们 规 定 ： C n01.
练习1： 计算 C 1 3 0
C 1 7 0
C 2 5 0
C 15 20
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某
天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名
同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天 一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
问题1
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素 , 按照一定的 顺序排成一 列.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
今晚课后自己证明，明天再课堂评讲
性质应用
1、计算 C19080＋C19070
2、解方程 C22x5＝C2x5＋4
3、计算 C 0 4 ＋ C 1 5 ＋ C 6 2 ＋ ＋ C 1 93
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有 一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上 场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种方式做这件事情?
例2：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共 有多少条?
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
思考：组合和排列有什么共同和不同点？
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关. 也就是排列是“先取后排”，组合是“只取不排”
概念理解
思考1：ab与ba是相同的排列还是相同的组合？
思考2：两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？
元素和顺序相同
有
顺
序
排列
问题2
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素 , 并成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个排列.
对应于
即3人不去参赛
C
3 10
C170 C130
即：从n个不同元素取出m个元素的组合，与剩下的n-m个 元素的组合一一对应。
所以：
Cnm
Cnm n
意义理解：猜想2：
1个黑球 n个白球
Cm n 1
抽m个球
C 第一类：抽到1个黑球
m 1 n
共有n+1个球
C 第二类：没有黑球 m n
所以： Cnm 1CnmCnm1
元素相同
思考3：排列与组合有何联系？
构造排列可以分成两个步骤组成，先取元素后排序，而构造组 合只是其中一个步骤。
练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?
可分两步完成： 1、先抽三个元素，即 2、对这三个元素进行排序
所以：
即：
总结归纳
一般地，求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，可
以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出 m个元素的组合
数
C
m．
n
第2步，对 m个元素的进行全排
根据分步计数原理，得到： Anm CnmAm m
C n m A A m n m mn n 1 n 2 m !n m 1
排列问题
有多少种不同的火车票价？
组合问题
(3)8只球队进行单循环比赛，需进行多少场比赛? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题
练习2： (1)写出从a,b,c三个不同元素取出2个不同元素的组合
ab,ab,cb
共3个
(2)写出从a,b,c，d四个不同元素取出2个不同元素的组
合
ab,ac, ad,cb, db, cd 共6个
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C
m 表示.
n
思考：一个组合与组合数有什么区别？
一个组合是具体的一个取法形式。 组合数是所有组合的个数，是数值。
探究：前面我们已经提到，组合与排列有相互联系，那么我们 能否利用这种联系，通过排列数 来求出组合数 呢？ 比如：求从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。
组合数的两个性质
性质1
Cnm
Cnm n
（
当
m
n 时） 2
性质2 Cnm 1CnmCnm1
注: 1 公式特征：左端下标是n+1,右标下端是n,相差1；
左端上标与右端上标的一个一样，另一个
上标少1 2 性质的作用：恒等变形，简化运算．
你会用组合数公式去证明这两个性质吗？
性质1
Cnm
Cnm n
性质2 Cnm 1CnmCnm1
猜想：
Cnm
Cnm n
练习2、一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球． （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共有多少种取 法？
（3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多少种不同的取法？
猜想： Cnm 1CnmCnm1
意义理解：猜想1：
C7 10
10人选7人去参赛
这里 m、 nN*，且mn，这个公式叫做组合数公式．
公式归纳 组合数公式:
C n mA A n m m mn (n 1 )(n 2 m )L ! (n m 1 )
Cnm
n! m!(n m)!
计算
证明
我 们 规 定 ： C n01.
练习1： 计算 C 1 3 0
C 1 7 0
C 2 5 0
C 15 20