岩石地下工程围岩应力解析法

r

1
E
2
（ r
1
)


1

E
2
（

1
r)
（5-4）
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
4. 边界条件
当开挖了以R0为半径的圆 形洞室时，其边界条件为：
当 r = R0 时 ， σr = 0（洞
pp0 0
壁径向应力为零）
(σr+dσr)(r+dr) dθ-σr r dθ-2σθdr sin(dθ/ 2) = 0 d
展开上式，略去高阶无穷小量，又由于dθ很小，有
sin(dθ/ 2 ) ≈ (dθ/ 2 ) ，则上式可写成
dr
r r

dσr·r +σr ·dr - σθ ·dr = 0
写成微分方程的形式则为：σθ = σr + r · dσr/ dr
（5-2）
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
（2）几何方程 （与应变关系）
开挖后微元环向内产生的径向位移u，微 元环自身产生的径向位移增量du，微环厚 dr-du，单元环半径变为r-u。
因为λ=1，所岩体切向位移v = 0。 而径向位移u使微环周长产生增量，为
R0
当 r →∞时 ， σr =σθ = p0
（假定条件给定）
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
5. 围岩应力、位移、应变的求解

r

p0 (1
R02 r2
)



p0 (1
R02 r2
)


u
p0 E
(1


)r

(1
r

p0 (1
R02 ) r2


p0 (1
R02 r2
)
u 1
E
p0[(1 2 )r
R02 ] r
r
1
E
p0[(1
2)

R02 r2
]

1
E
p0[(1
2)

R02 r2
]
（5-5）
平面应变问题公式
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
当λ=1 时，有σθ =σr =σz =σx，τrθ =0
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
3. 基本方程（3个）
1 d
（1）静力平衡方程
取一微元环作为单元体，其受力状况如左图
2

r d r
所示。距洞心半径 r；微环厚dr；微环宽 rdθ。 由ΣFr = 0 得：
就岩石力学特性而言，多数岩石属脆性材料，其屈服应力的大小 不易求得。因此，近似的采用库仑-莫尔准则，作为围岩进入塑性状 态的判据。
假设天然应力场为静水压力式(λ= 1 )，即
σv=σh= p0 时τrθ= 0 , σr 、σθ 均为主应力。
2019/12/6
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
六、深埋圆形洞室弹塑性分布的围岩应力状态
⑵岩体的初始应力状态在不作特殊说明时仅考虑自重应力。且侧 压力系数 ，本小节λ= 1 ；
1
⑶计算模型，为无限大薄板中开挖圆形孔，属平面应力问题。模 型图
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法 三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
计算模型
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
2. 岩体内的应力和位移
对用直角坐标表示的应力，若采用极坐标的方法表示，通过坐标转换，其表达式
如下：

z x
2
z x
2
cos 2
r
z x
2
z x
2
cos 2
r
z x
2
sin 2
（5-1）
式中：σθ ，σr —分别为极坐标表示的切向应力和径向应力； τrθ —极坐标表示的剪应力。
dr
u
r
ru
2 r 2 (r u) 2u
进而微环的切向、径向应变分别可用下式表示：
r

du dr


u r
（5-3）
u du dr du
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
（3）本构方程（应力应变关系） 在弹性力学中，对平面应力问题，其应力应变关系为：
围岩的塑性或破坏状态有两种情况：一是围岩局部区域的拉应力达到了抗拉强度，产生局 部受拉分离破坏；二是局部区域的剪应力达到了岩体抗剪强度，从而使这部分围岩进入塑 性状态，但其余部分围岩仍然处于弹性状态。
（1）轴对称条件下的平衡方程
r r 0
r
r
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
假设围岩均在弹性区，可直 接按弹性理论计算
更趋于真实的情况是围岩属于弹塑性状 态，有弹塑性的分区（如PPT最后一页）
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法 三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
（一）侧压力系数λ= 1时围岩应力状态
1. 基本假定
⑴计算单元为一无自重的单元体，不计开挖后而产生的重力变化。 并将岩体的自重应力作为作用在无穷远处的初始应力状态；
Leabharlann Baidu
)
R02 r2

（5－4）
r

p0 E
(1
)

(1
)
R02 r2





p0 E
(1
)

(1
)
R02 r2


平面应力问题公式
9
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
5. 围岩应力、位移、应变的求解
三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
6. 深埋圆形洞室围岩应力、应变和位移的变化特性
（1）圆形水平洞室围岩应力分布（λ=1）特征
分析围岩应力公式围岩应力有如下特征
①围岩应力σr , σθ与θ无关，只与极径有关； ②当r = R0时，洞壁处σr = 0 ，σθ= 2p0 ； ③当r≥ 6 R0时，σr ≈σθ≈ p0 ，相差1/36 ； ④围岩内任一点，σr +σθ= 2p0 ； ⑤围岩内任一点τrθ= 0， σr ，σθ为主应力，恒有σθ≥ σr ，且σθ为最大 主应力。
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法 三、深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态
P0 R0
以上内容是深埋圆形洞室弹性分布的二次应力状态 后面是深埋圆形洞室弹塑性分布的围岩应力状态
5.2 岩石地下工程围岩应力解析法
六、深埋圆形洞室弹塑性分布的围岩应力状态
1.塑性区内的应力态
从洞壁开始，围岩应力大于岩体的屈服应力时，围岩产生屈服，出 现塑性区。