位错的弹性性质(考试重要)

2.4位错的弹性性质位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。

它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。

处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。

从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。

我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。

一、位错的连续介质模型早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。

位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。

1.位错的连续介质模型基本思想将位错分为位错心和位错心以外两部分。

在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。

问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。

在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。

用线性弹性理论处理。

即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。

对此，我们仅作一般性的了解。

2.应力与应变的表示方法(1)应力分量如图1所示。

物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。

它们是：图1物体中一受力单元的应力分析σxx σxy σxz σyx σyy σyz σzx σzy σzz其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。

如σxy 表示作用在与yoz 坐标面平行的小平面上，而指向y 方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。

同样的分析可以知道:σxx ，σyy ，σzz 3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。

平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx ，σyy ，σzz ，σxy ，σxz 和σyz ，而σxy =σyx ，σxz =σzx ，σyz =σzy 。

同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr ，σθθ，σzz ，σrθ，σrz ，σθz 。

（2）应变分量与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分量。

直角坐标系中：εxx ，εyy ，εzz ，εxy ，εxz 和εyz 。

柱面坐标系中：εrr ，εθθ，εzz ，εr θ，εrz 和εθz 。

二位错的应力场晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力场。

在位错的核心区，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围，虎克定律已不适用。

中心区外，位错所形成的弹性应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。

该模型首先假设晶体是完全弹性体，服从虎克定律；其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近似地认为晶体内部由连续介质组成，晶体中没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移等量是连续的，可用连续函数表示。

（1）螺位错的应力场取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。

圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿Z 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。

图2螺位错的连续介质模型采用圆柱坐标系，坐标选取如图2。

从这个圆柱体中取一个半径为r 的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中心r 处的切应变为r b z πεθ2/=，其相应切应力rGb z z z G πθθθεσσ2.===，式中G 为切变模量。

由于圆柱只在Z 方向有位移，X，Y 方向无位移，所以其余应力分量为零。

0=======zr rz r r zz rr σσσσσσσθθθθ，如果采用直角坐标系表示，则)(222sin y x r Gbz zx xz +−=−==πθθσσσ，)(222cos y x xGb z zy yz +===πθθσσσ，0=====yx xy zz yy xx σσσσσ。

由前面的式子知，螺位错应力场中不存在正应力分量。

切应力分量只与r 有关，与θ无关，所以螺位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力相等。

当r 趋向0时，z θσ与θσz 趋于无限大，显然不符合实际情况，这是因为线弹性理论不适用于位错中心的严重畸变区。

螺型位错的应力场(如图2所示)具有以下特点：1).只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错不引起晶体的膨胀和收缩。

2).螺型位错所产生的切应力分量只与r 有关（成反比），而与θ、z 无关。

只要r 一定，z 就为常数。

因此，螺型位错的应力场是轴对称的，即与位错等距离的各处，其切应力值相等，并随着与位错距离的增大，应力值减小。

（2）刃位错应力场取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。

圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿X 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图3。

图3刃位错的连续介质模型刃位错应力场比螺位错复杂，按图3，根据弹性理论可求得22222)()3(y x y x r xx D ++−=σ，22222)()(y x y x r yy D +−=σ，)(yy xx zz r σσσ+=，22222)()(y x y x x yx xy D +−==σσ，0====zy yz zx xz σσσσ，其中)1(2γπ−=Gb D ，γ为泊松比，G 为切变模量。

由上式可看出，刃型位错应力场具有以下特点：1).同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大小与G 和b 成正比，与r 成反比，即随着与位错距离的增大，应力的绝对值减小。

2).各应力分量都是x，y 的函数，而与z 无关。

这表明在平行于位错线的直线上，任一点的应力均相同。

3).刃型位错的应力场对称于多余半原子面（y-z 面），即对称于y 轴。

4).y=0时，σxx=σyy=σzz=0，说明在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值。

5).y＞0时，即滑移面以上，σxx＜0；而y＜0时，即滑移面以下，σxx＞0。

这说明正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。

6).在应力场的任意位置处，|σxx|＞|σyy|。

7).x=±y时，σyy，τxy均为零，说明在直角坐标的两条对角线处，只有σxx，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy的符号相反。

显然，同螺位错一样，上述公式也不适用于刃位错中心区。

刃位错周围的应力场如图4所示。

图4刃位错周围的应力场三位错的应变能1位错的应变能位错在晶体中引起畸变，使晶体产生畸变能，我们称之为位错的应变能或位错的能量。

与位错的畸变相对应，位错的能量也可分为两部分：一是位错心的能量；二是位错心以外的能量。

根据用点阵模型对位错心能量的估算，它大约是位错心以外能量的十分之一左右。

因而作为近似，我们通常所说的位错的应变能就是指位错心以外的弹性应变能。

这部分能量可用弹性模型来处理。

2刃位错的弹性应变能在连续介质模型中制造有关的位错时必须作功，位错形成后，这个功就转变为位错的应变能。

因此，我们只要求出形成位错时外界所做的功即可。

以刃型位错为例，仍考虑一圆柱体，图5所示。

图5形成位错时的做功分析内径为r 0，外径为R 。

沿xoz 面剖开至中心后，在两剖面上加切应力τyx (请同学们分析τyx 的作用平面和施力方向)，使它们沿x 方向相对移动。

τyx 起始值为零，然后逐渐增大，这是因为它必须克服弹性体中随变形而增长起来的内应力。

最后当两剖面相对位移达到b 时，τyx 恰好增大到与刃位错的应力分量σyx 相等。

考虑到τyx 在剖面上不是常数，而是x 的函数。

取z 轴的单位长度。

x 轴上考虑d x 面积元内的情况。

变形过程中外力在此面积元上所作元功为:dx b dw yx σ21=，系数21是因为一开始τyx =0，最后τyx =σyx ，取其平均值而得到的。

将积分元在r 0~R 范围内积分(并考虑到y =0)，可得形成一单位长度刃型位错所需作的功w E ：02ln)()1(4r R Gb EL W E W γπ−==，其中γ为泊松比，一般金属31=γ。

3螺位错的弹性应变能由弹性理论可知：弹性体变形时，单位体积内的应变能（W/V ）等于σε21，如果应力有若干分量，则总的单位体积应变能等于这些应力分别乘以其相应的应变分量总和的二分之一。

对于螺位错，只有切应力分量，故dV dw z z θθεσ.21=，由图2，L rdr dV .2π=，其中L 为位错线长度。

若位错中心区为0r ，应力场作用半径R ，则dr r z z Rr LdW LW.2..)(0210πεσθθ∫∫=，整理后得，r drRr Gb LdW LW∫∫=0240)(π，单位长度螺位错的弹性应变能W s 为02ln(4r R Gb s L W s W π==。

估算实际晶体中位错应变能的数值。

首先要确定R 和r 0。

对于一般金属晶体，位错应力场受到亚晶界限制，因此R 为一般亚晶界的尺度，约为10-4cm~1μ。

根据点阵模型的估算，r 0的数量级为10-8cm 。

因此，ln(R /r 0)为10左右。

分析上述式子表明单位长度的位错的应变能大致可表示为)/(./2m J Gb L W α=，其中α是与几何因素有关的系数。

约为0.5-1.0。

此式表明由于应变能与柏氏矢量的平方成正比，故柏氏矢量越小，位错能量越低。

注意：位错应变能的单位量纲为：能量/长度。

如对Cu 单晶，G =4×1011dyn/cm 2，b =2.5×10-8cm，得到位错的应变能为：2.5×10-4erg/cm。

又如Fe 单晶，G =8.3×1011dyn/cm 2，b =2.48×10-8cm，位错的应变能为：5.2×10-4erg/cm。

位错的应变能使晶体的自由能增加，虽然位错出现也增大晶体的熵，使自由能下降。

但是通常位错引起的熵是很小的。

位错的自由能基本上就是位错的弹性应变能，具有正值。

因而，从热力学上说，位错是不稳定的晶体缺陷。

混合位错的弹性应变能的计算，可将混合位错分解为螺型分量和刃型分量，然后按螺型位错和刃型位错的弹性应变能公式计算，最后相加。

四外力场中位错所受的力在切应力作用下，晶体中的位错将发生运动，由于位错移动的方向总是与位错线垂直，故可设想有一个垂直于位错线的力，造成了位错的移动，这就是“作用在位错线上的力”，常用虚功原理求得。

作用于位错的力只是一种组态力，它不代表位错附近原子实际所受到的力，也区别于作用在晶体上的力。

图6作用在位错线上的力由图6可知，切应力τ使一小段位错线移动了ds 距离。

此段位错线的移动使晶体中dA 面积上下两部分沿滑移面产生了滑移量为b 的滑移，故切应力作的功为b ds dl b dA dW ..).(ττ==。