16三角函数模型的简单应用

• 问题二:如果你手头上只有一根尺,你能在操
场上测量出我们学校体育馆的高度吗? 如果我说我只要测量正午时体育馆影子的 长度就可以计算出体育馆的高度你相信吗?
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
-5
2
2
O
2
5
x
从图中可看出,函数 y | sin x | 是以π为周期
有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能
呆多久？
y
xA 0.38,
xB 5.61
6A
B
C
D
4
y 5.5
2
O
3
6 9 12 15 18 21 24
x
故货船可在凌晨零时30分左右进港，早晨5：30
左右出港；或在中午12：30左右进港，下午
17：30左右出港.每次可在港口停留5小时左右.
o
6 8 10 12 14 t/h
例2. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足
函数 y Asin(x ) b. y T/°C
(1)求这一天的最大温度差; 30
(2)写出这段曲线的函数解析式.
20
解:(1)由图可知,这段时间
的最大温度差是20°C;
10
(2)从图中可看出,从6~14时的
故这个港口的水深与间
的关系可用 y 2.5sin x 5 7.50
6
5.00
近似描述.
2.50
由上述关系式可得港口在
0
3
6
9
12 15 18 21 24
整点时水深的近似值:
时刻
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
水深(米) 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻
12
13
14
15
16
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百度文库
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水深(米) 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米， 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海洋底 的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
1.6 三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际 问题和物理问题中有着广泛的应用.
• 问题一:根据所学地理知识我们知道:在绍
兴地区每天正午时太阳的高度角是会变化的, 那你觉得这样的变化有规律吗? 你能建立相应的函数关系式吗?
解:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5米,所以当
y≥5.5就可以进港，令 2.5sin x 5 5.5,得sin x 0.2.
由计算器可得,
sin1 0.2
6
0.20135792
6
0.2014.
如图,在区间[0,12]内,函数
y
2.5sin
6
x
5
的图象与直线
y=5.5有两个交点A、B，因此
84
小结：
A
=
1 2
f
x
max
-
f
x
min
b
=
1 2
f
x
max
+
f
x
min
利用T = 2π，求得ω ω
利用最高点或最低点在图像上，该点的坐标满足
函数解析式求得 ；也可以利用函数的零值点来 求．
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时 刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.
例3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象
y
6
4 2
O 3 6 9 12 15 18 21 24
x
解:以时间为横坐标,水深为纵坐标,画出散点图(如
图).根据图象,可考虑用函数 y Asin(x ) h
，刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象 可以得出:
A 2.5, h 5,T 12, 0;由T 2 12,
得 .
6
图象是函数的半个周期的图象,
故 y Asin(x ) b
6
10
14 x
t/ h
A 30 10 10, b 30 10 20,
2
2
1 2 14 6, .
2
8
将x=6,y=10代入上式,解得 3
4
综上,所求解析式为 y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 时刻 水深(米)
0.00 5.00
9.00
2.50 18.00 5.00
3.00 7.50
12.00
5.00
21.00 2.50
的波浪形曲线. 下证之:
由于 | sin(x ) || sin x | sin x
所以,函数 y | sin x | 是以π为周期的函数.
练习:
(1)求函数y=|cosx|的周期. (2)求函数y=|tanx|的周期. （3)求函数y=|cosx+0.5|的周期.
(1) (2) (3)2
例2
x 0.2014,或 x 0.2014.
8
6A
B
C
D
6
6
4
2
解得xA 0.3848, xB 5.6152.
0
5
10
15
由函数的周期性可得
xC 12 0.3848 12.3848, xD 12 5.6152 17.6152.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要
6.00 5.00
15.00
7.50
24.00 5.00
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间
的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确 0.001）
时刻 水深
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，
该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满
足函数 y Asinx b, (A 0, 0)
• （１）求这一天6～14时的最大温差。 • （２）写出这段曲线的函数解析式。
T/oC
30
注意—— 一般的，所求
20
出的函数模型只能近似地
刻画这天某个时段的温度
10
变化情况，因此要特别注
意自变量的变化范围。