16三角函数模型的简单应用
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1.6三角模型的简单应用(2)共22页PPT资料
当地夏半年 取正值，
冬半年 取负值。
90
地心
太阳光
9 0
90||
90||
返太回 阳光直射南半球
地心
90
太阳光
9 0
90||
90||
例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现16：00Fra bibliotek17：00
18：00
19：00
20：00
21：00
22：00
23：00
水深
从数据和图象可以得出：
A=2.5，h=5，T=12， 0
由 T212,得6，
y2.5sinx5
6
时刻 0.00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
水深
7.165
时刻
12.00
13：00
14：00 15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
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水深
从数据和图象可以得出：
A=2.5，h=5，T=12， 0
由 T212,得6，
y2.5sinx5
6
时刻 0.00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
后讨论错误原 考重点内容记好 因。针对学习 笔记。有不明白 中疑问问题准 或有补充的要大
冬半年 取负值。
90
地心
太阳光
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90||
返太回 阳光直射南半球
地心
90
太阳光
9 0
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例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现16：00Fra bibliotek17：00
18：00
19：00
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21：00
22：00
23：00
水深
从数据和图象可以得出：
A=2.5，h=5，T=12， 0
由 T212,得6，
y2.5sinx5
6
时刻 0.00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
水深
7.165
时刻
12.00
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19：00
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水深
从数据和图象可以得出：
A=2.5，h=5，T=12， 0
由 T212,得6，
y2.5sinx5
6
时刻 0.00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00
后讨论错误原 考重点内容记好 因。针对学习 笔记。有不明白 中疑问问题准 或有补充的要大
人教版高中数学高一1.6三角函数模型的简单应用
4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。
关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？解：（1）l g f g l T l g ππωπω21,22===∴=；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ） A.t v y 0= B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2π B.0 C.π D.π323.某人向正东方向走x 千米后向右转150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成 60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知 13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?。
1.6三角函数模型的简单应用
3
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1.6 三角函数模型的简单应用(2)
1.6三角函数模型的简单应用 (二)
1.在三角形ABC中,根据下列条件求角:
3 1 (1) sin A ，求A; (2) cos B ，求B； 2 2 1 (3) sin( A B) , 求C。 2
2.在(0,2π)内,根据下列条件求角x:
3 1 (1) sin x ; (2) cos x 。 2 2
y 2.5sin x 5 6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
解： （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5sin x 5 5.5 6 化简得 sin x 0.2 6 所求进出港时间是否符合实际 x 0.2014, 或 x 0.2014 情况?如果不符合,应如何修正? 由计算器计算可得 6 6 解得 xA 0.3848, xB 5.6152
如何刻画船的安全水深?
解： （3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 应在安全水深接近港 个交点. 口水深的时候. 什么时候应停止卸货?
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约 为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为 4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米， 因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶 向较深的水域。
太阳光
如果在富阳市区（纬度数约为北纬30º ）的一幢高为H的楼房 北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应小于多少？
1.在三角形ABC中,根据下列条件求角:
3 1 (1) sin A ，求A; (2) cos B ，求B； 2 2 1 (3) sin( A B) , 求C。 2
2.在(0,2π)内,根据下列条件求角x:
3 1 (1) sin x ; (2) cos x 。 2 2
y 2.5sin x 5 6 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
解： （2）货船需要的安全水深 为 4+1.5=5.5 （米），所以 当y≥5.5时就可以进港. 令 2.5sin x 5 5.5 6 化简得 sin x 0.2 6 所求进出港时间是否符合实际 x 0.2014, 或 x 0.2014 情况?如果不符合,应如何修正? 由计算器计算可得 6 6 解得 xA 0.3848, xB 5.6152
如何刻画船的安全水深?
解： （3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 应在安全水深接近港 个交点. 口水深的时候. 什么时候应停止卸货?
通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约 为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为 4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米， 因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶 向较深的水域。
太阳光
如果在富阳市区（纬度数约为北纬30º ）的一幢高为H的楼房 北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮 挡，两楼的距离不应小于多少？
16三角函数模型的简单应用
(2)由题意，水深 y≥4.5＋7， 即 y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[0,24]， ∴sinπ6t≥12，π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋56π，k＝0,1， ∴t∈[1,5]或 t∈[13,17]， 所以，该船在 1∶00 至 5∶00 或 13∶00 至 17∶00 能安全 进港．
离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略 离港所用的时间)
解 (1)从拟合的曲线可知，函数 y＝Asin ωt＋B 的一个周期 为 12 小时，因此 ω＝2Tπ＝π6.又 ymin＝7， ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3， B＝12(ymax＋ymin)＝10. ∴函数的解析式为 y＝3sinπ6t＋10 (0≤t≤24)．
单调递增区间：[k , k ](k Z )
2
单调递减区间：[k , k ](k Z )
2
零点为 x k , k Z;
对称轴为 x k , k Z .
2
例 2 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小时)的 函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似 的看成正弦函数型 y＝Asin ωt＋B 的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出 y＝Asin ωt＋B 的解析式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为 7 米， 那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全
∴函数y=|sinx|的图象可由y=sinx的图象变换而得：
高中课件 三角函数模型的简单应用
1.通过对三角函数模型的简单应用的学习， 初步学会由图象求解析式的方法； 2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的 过程； 3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要 函数模型．
在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用
数学语言可以说这些现象具有周期性1、，物理情而景—我—们所学的三角
①简谐运动
.
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以
当y≥5.5时就可以进港.令
化简得
sin
6
x
2.5 sin
0.2
6
x
5
5.5
由计算器计算可得
6
x
0.2014,或来自6x0.2014
y
6
4
AB
CD
2
O
3 6 9 12 15 18 21 24
x
解得 xA 0.3848, xB 5.6152
1.6三角函数模型的简单应 用
本节课以三角函数各种实践生活中的模型让学生 体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、 抽象概括等能力．
让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解 决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、 勤于思考的精神.
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知
H
A
B
C
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回 归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太 阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情 况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间 距应不小于MC.
1.6 三角函数模型的简单应用(导学案)---涂序星
变式练习2、已知 的图象如右图
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）说明 的图象是由 的图象经过怎样的变换得到?
二、应用举例二
例2画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.
解：
变式练习3、画出函数y＝|cosx|的图象并讨论其函数性质
三、简单的三角方程（不定式）
例题3根据下列条件，求 内的角
； ；
变式练习4、课本P65页习题1.6 A组第1、2题
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
变式练习5．一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2) P点第一次达到最高点约要多长时间?
【教或学反思】（本节课学了什么、学习中出现的问题，得到的启示等）
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
：
y＝Asin(x＋)＋b
(1)求这一天6~14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式。
小结：怎样求解析式y＝Asin(x＋)＋b中的参数：
； ； ；
变式练习1、如图3-4-7所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数 ．
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）说明 的图象是由 的图象经过怎样的变换得到?
二、应用举例二
例2画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.
解：
变式练习3、画出函数y＝|cosx|的图象并讨论其函数性质
三、简单的三角方程（不定式）
例题3根据下列条件，求 内的角
； ；
变式练习4、课本P65页习题1.6 A组第1、2题
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
变式练习5．一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2) P点第一次达到最高点约要多长时间?
【教或学反思】（本节课学了什么、学习中出现的问题，得到的启示等）
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
：
y＝Asin(x＋)＋b
(1)求这一天6~14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式。
小结：怎样求解析式y＝Asin(x＋)＋b中的参数：
； ； ；
变式练习1、如图3-4-7所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数 ．
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
1.6三角函数模型的简单应用
7.50
A
B
C
D
5.00
2.50
0
3
6
9
12 15 18 21 24
精品课件
货船可以在0时30 分左右进入港口， 17时30分左右出港 口，最多能在港内 停留17小时左右。
8.若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在 2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么 该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
现实问题
改 造
现实模型
是否符合实际
修改
现实模型的解
还原 说明
三角函数模型的解
数学 方法
抽象
概括
三角函数模型
精品课件
解析式 图形
反思：
近似描述 近似数值
精品课件
生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物 模型.下表中给出了在小时期间人的体温的典型变化（从夜间 零点开始计时）.
时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 间 温 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8 度
（1）作出这些数据的散点图； （2）选用一个三角函数来近似描述这些数据；
精品课件
精品课件
77..5500 A
55..0000
22..5500
00
B
33
66
C
D
xA = 0.3848 xB = 5.6152 xC = 12.3848 xD = 17.6152
99
1122 1155 1188 2211 2244
5.给出在整点时的水深的近似数值；(精确到0.001)
高中数学：1.6三角函数模型的简单应用 (36)
知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，
即建立三角函数模型．
目标导向
知识导学
重点导析
思维导悟
方法导拨
第8页
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求得结果．
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．
【例 3】 已知挂在弹簧上的一个小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离 s(cm)
随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3 ，t∈[0，＋∞)．用五点法作出这个函数在一个周 期内的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
(2)小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
(3)由于这个函数的周期 T＝π，故小球往复振动一次所需要的时间为πs.
目标导向
知识导学
重点导析
思维导悟
方法导拨
第22页
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学 方法导拨
目标导向
知识导学
重点导析
思维导悟
方法导拨
第23页
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学
导拨 形如 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象可以通过函数 y＝f(x)的图象变换得到．
5π 6
s＝4sin2t＋π3
0
4
0 －4
0
目标导向
知识导学
重点导析
思维导悟
方法导拨
第20页
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学
描点连线，得 s＝4sin2t＋π3 在一个周期内的简图．如图 1－6－3，其中实线表示的 部分即 s＝4sin2t＋π3 在一个周期内的简图．
第一章1.6三角函数模型的简单应用
2π 所以振幅为 A＝3(厘米)，周期 T＝ ＝4(秒)． π 2 答案：3 4
5．已知某种交变电流 I(A)随时间 t(s)的变化规律可 以拟合为函数 I＝5
π 2sin100π t－ ，t∈[0，＋∞)，则 2
这种交变电流的频率为________． 1 解析：周期 T＝ s，所以频率为每秒 50 次． 50 答案：50
又当 t＝6 时，y＝900，
π 所以 900＝100sin ×6＋φ＋800， 6
所以 sin(π ＋φ)＝1， 所以 sinφ＝－1， π 所以取 φ＝－ ， 2
π π 所以 y＝100sin t－ ＋800. 2 6
π π (2)当 t＝2 时，y＝100sin ×2－ ＋800＝750， 2 6
(2)由散点图可知，选择 y＝Asin(ωt＋φ)＋b 函数模型 较为合适． 1.4－0.6 2 由图可知，A＝ ＝ ，T＝12， 2 5 1.4＋0.6 b＝ ＝1. 2
2π π 2 π 则 ω＝ ＝ ，y＝ sin t＋φ＋1. 12 6 5 6
π 把 t＝0 代入，得 ×0＋φ＝0，即 φ＝0. 6 2 πt 所以 y＝ sin ＋1(0≤t≤24)． 6 5
即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.
[变式训练] 如图所示，某港口一天 6 时到 18 时的 水深变化曲线近似满足函数
π y＝3sin x＋φ ＋k.据此函 6
数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(
)
A．5 C．8
B．6 D．10
解析：根据图象得函数的最小值为 2，有－3＋k＝2， k＝5，最大值为 3＋k＝8. 答案：C
π 所以 I＝300sin100π t＋ (t≥0)． 3
高中数学：1.6三角函数模型的简单应用 (37)
思维导悟
第13页
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学
【解析】 因为 y＝f(t)的图象可以近似看成 y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象，所以 y＝f(t)
具有周期性．观察表格中的数据，发现 t＝0，6，12，18，24 时，y 的值都近似等于 12；
并且 t＝3，15 时，y 取最大值近似为 15；当 t＝9，21 时，y 取最小值近似为 9. 可以判定 T＝15－3＝12，则 ω＝2Tπ＝π6 ，排除 C、D，再取一个最高点(3，15.1)分
(1)在熟练掌握三角函数图象的基础上灵活运用三角函数的性质．
(2)画出散点图，列出表格，借助图形表格发现港口海水深度呈周期性变化的规律， 从而找到解题模型．
3．情感、态度与价值观
注重分析信息、处理数据、自主探索、合作交流、抽象归纳，养成实事求是的科学 态度，强化创新意识．在数学建模中，促使知识内化与迁移，提高能力．
同步 导练
同步导练/RJA·必修④
数学
经典品质/超越梦想
经典品质/超越梦想
同步导练/RJA·必修④ 数学
01 三角函数
目标导向
知识导学
重点导析
思维导悟
第2页
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§1.6 三角函数模型的简单应用
第二课时 三角函数模型的简单应用（二）
目标导向
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思维导悟
第6页
经典品质/超越梦想
三角函数模型的简单应用 课件
已知电流 I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2π在 一个周期内的图象如图．
(1)根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多 少？
• 【思路点拨】对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确 定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周 期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)可利用正弦型 函数的图象在一个周期中必有一个最大值和一个最小值点来解．
三角函数模型的简单应用
• 三角函数的应用
• 1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
• 2．将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． • 3．利用搜集的数据作出 散点图 ，并根据 散点图 进行函数拟合，从
而得到函数模型．
• 在建模过程中，散点图的作用是什么？
• 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然 后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲 目选择函数模型而造成的不必要的失误．
12分
• 【题后总结】由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化， 才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型
的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数
值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来 解决(如本例中将实际问题转化为解三角不等式)，并回到实际情景作 答．
故所求的解析式为
I＝300sin150π
t＋6π.
(2)依题意，周期 T≤1510， 即2ωπ≤1510(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942， 故 ω 的最小正整数值为 943.
【数学】1.6 三角函数模型的简单应用(人教A版必修4)2
TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在 编 故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
y
6
4 2
O 3 6 9 12 15 18 21 24
x
解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中 描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用
函数 y Asin(x ) b 刻画水深与时间的关系。
故事记忆法小妙招
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费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼 （Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔 物理学奖，费曼不仅是一名杰出的 物理学家，并且是一位伟 大的教育家，他能用很 简单的语言解释很复杂的概念，让其 他人能够快 速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会 不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观 轻松的理解， 这也是这个学习法命名的由来！
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆
规律
记忆后
选择巩固记忆的时间 艾宾浩斯遗忘曲线
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！ TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期是30分钟 第三个记忆周期是12小时 这三个记忆周期属于短期记忆的范畴。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4 天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
y
6
4 2
O 3 6 9 12 15 18 21 24
x
解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中 描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用
函数 y Asin(x ) b 刻画水深与时间的关系。
16三角函数模型的简单应用已修改
因为 x[0,24]，所以有函数周期性易得
xC 120.384812.3848,
xD125.615217.6152. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出 港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次 可以2020在/6/6港口停留5小时左右。
解： （3）设在时刻x船舶的安全水深为y， 那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标 系内作出这两个函数的图象，可以看 到在6时到7时之间两个函数图象有一 个交点.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40º)的一幢高为 h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全 年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
太阳光
－
北回归线 南回归线
－
B
太阳光
C
2020/6/6
解：如图，A、B、C分别太阳
直射北回归线、赤道、南回归
线时，楼顶在地面上的投影点，
要使新楼一层正午的太阳全年
2020/6/6
课堂小结
1. 三角函数模型应用基本步骤: (1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关
的简单函数模型. 2. 利用收集到的数据作出散点图，并 根据散点图进行函数拟合，从而得到 函数模型.
2020/6/6
2020/6/6
2020/6/6
解：
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标， 在直角坐标系中画出散点图，根据图象，
可以考虑用函数 yA sin(x)h
来刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出：
A=2.5,h=5,T=12, =0;
由
T
2
12 ，得
1。6三角函数模型的简单应用
解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中 描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用 函数 y A sin(x ) h 刻画水深与时间的关系。
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从数据和图象可以得出： A=2.5，h=5，T=12， 由T
三角函数模型的简单应用
备注
①简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
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函数模型的应用示例
• 正弦型函数
• • • • • • • • • • •
需要更完整的资源请到
o
8
10 12 14 t/h
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例题３
如果在北京地区（纬度数是北纬40o）的一幢高为ho的楼 房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前 面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——
南，北回归线之间的地带。画出图形如下，由画图易知
0
2
12, 得
6，
y 2.5 sin
时刻 水深 时刻 水深
12.00
13：00 14：00 15：00
x5 6
4：00 5：00 6：00 7：00 8：00 9：00
10：00 11：00
0.00
1：00
2：00
3：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
h0 h0 MC 2.000 h0 所以 即在盖楼时， tan c tan 26 34'
1.6三角函数模型的简单应用-课件
(2)从6～14时的图象是函所数求y出=A的s函in数(ω模x+型φ只)+能b的
半个周期的图象
近似刻画这天某个时段
A 1 30 10 10
2
b
1 2
30温注1度意0变自 2化变0 ,量因的此变应化当范特围别
1 2 14 6
2
8
将x=6,y=10代入上式,解得
y 2.5sin x 5
6
由 y 2.5sin x 5 得到港口在整点时水深的近似值:
6
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的 距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那 么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
高中数学必修四1：1.6 三角函数模型的简单应用
(1) 本题的解题关键是建立三角函数的模型，选择适当的角作为变量．方法比 较灵活，突出了对能力的考查．
(2)第(2)问是探索性问题，考生找不到问题的突破口是造成失分的主要原 因．另外计算错误也是常见失分原因．
课堂练习
如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,如图 所示. (1)求这一天的最大用电量和最小用电量; (2)写出这段曲线的函数解析式.
新课引入
. 简单应用——学以致用，解决生活中的 实际问题 ②数学模型——具体的数学函数关系 ③三角函数模型——三角函数关系
探究点1
• 正弦型函数
y Asin(x ),( A 0, 0)
• 1、物理情景—— • 2、地理情景—— • 3、心理、生理现象—— • 4、日常生活现象——
探究点2
根据图象建立解析式 根据解析式作出图象 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数
拟合，从而得到函数模型
探究点3
解三角函数应用题的一般步骤： (1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言； (2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系； (3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质； (4)作出结论．
第一章 三角函数 §1.6 三角函数模型的简单应用
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步 学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题 的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学 “建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括 等能力．
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o
6 8 10 12 14 t/h
例2. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足
函数 y Asin(x ) b. y T/°C
(1)求这一天的最大温度差; 30
(2)写出这段曲线的函数解析式.
20
解:(1)由图可知,这段时间
的最大温度差是20°C;
10
(2)从图中可看出,从6~14时的
的波浪形曲线. 下证之:
由于 | sin(x ) || sin x | sin x
所以,函数 y | sin x | 是以π为周期的函数.
练习:
(1)求函数y=|cosx|的周期. (2)求函数y=|tanx|的周期. （3)求函数y=|cosx+0.5|的周期.
(1) (2) (3)2
例2
解:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5米,所以当
y≥5.5就可以进港，令 2.5sin x 5 5.5,得sin x 0.2.
由计算器可得,
sin1 0.2
6
0.20135792
6
0.2014.
如图,在区间[0,12]内,函数
y
2.5sin
6
x
5
的图象与直线
y=5.5有两个交点A、B，因此
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满
足函数 y Asinx b, (A 0, 0)
• （１）求这一天6～14时的最大温差。 • （２）写出这段曲线的函数解析式。
T/oC
30
注意—— 一般的，所求
20
出的函数模型只能近似地
刻画这天某个时段的温度
10
变化情况，因此要特别注
意自变量的变化范围。
叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船 在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海 洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻 水深(米) 时刻 水深(米) 时刻 水深(米)
0.00 5.00
9.00
2.50 18.00 5.00
3.00 7.50
12.00
5.00
21.00 2.50
• 问题二:如果你手头上只有一根尺,你能在操
场上测量出我们学校体育馆的高度吗? 如果我说我只要测量正午时体育馆影子的 长度就可以计算出体育馆的高度你相信吗?
新授
例1.画出y=|sinx|的图象并观察其周期.
解：
y
y | sin x |
2
-5
2
2
O
2
5
x
从图中可看出,函数 y | sin x | 是以π为周期
图象是函数的半个周期的图象,
故 y Asin(x ) b
6
10
14 x
t/ h
A 30 10 10, b 30 10 20,
2
2
1 2 14 6, .
2
8
将x=6,y=10代入上式,解得 3
4
综上,所求解析式为 y 10sin( x 3 ) 20, x [6,14].
1.6 三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用
学习目标： 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题； 2．体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 函数模型．
引入:
三角函数能够模拟许多周期现象.因此,在解决实际 问题和物理问题中有着广泛的应用.
• 问题一:根据所学地理知识我们知道:在绍
兴地区每天正午时太阳的高度角是会变化的, 那你觉得这样的变化有规律吗? 你能建立相应的函数关系式吗?
故这个港口的水深与间
的关系可用 y 2.5sin x 5 7.50
6
5.00
近似描述.
2.50
由上述关系式可得港口在
0
3
6
9
12 15 18 21 24
整点时水深的近似值:
时刻
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
水深(米) 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，
该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速
84
小结：
A
=
1 2
f
x
max
-
f
x
min
b
=
1 2
f
x
max
+
f
x
min
利用T = 2π，求得ω ω
利用最高点或最低点在图像上，该点的坐标满足
函数解析式求得 ；也可以利用函数的零值点来 求．
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时 刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.
例3.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象
时刻
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
水深(米) 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米， 安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海洋底 的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
6.00 5.00
15.00
7.50
24.00 5.00
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间
的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确 0.001）
时刻 水深
0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
y
6
4 2
O 3 6 9 12 15 18 21 24
x
解:以时间为横坐标,水深为纵坐标,画出散点图(如
图).根据图象,可考虑用函数 y Asin(x ) h
，刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象 可以得出:
A 2.5, h 5,T 12, 0;由T 2 12,
得 .
6
有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能
呆多久？
y
xA 0.38,
xB 5.61
6A
B
C
D
4
y 5.5
2
O
3
6 9 12 15 18 21 24
x
故货船可在凌晨零时30分左右进港，早晨5：30
左右出港；或在中午12：30左右进港，下午
17：30左右出港.每次可在港口停留5小时左右.
x 0.2014,或 x 0.2014.
8
6A
B
C
D
6
6Hale Waihona Puke 42解得xA 0.3848, xB 5.6152.
0
5
10
15
由函数的周期性可得
xC 12 0.3848 12.3848, xD 12 5.6152 17.6152.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要