航天器动力学姿态动力学解析
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转动轴n
转角
两次转动
一次转动
欧拉转动
n
1 1
2
2
3 3
与转换矩阵的关系
1 0
0
A 0 cos sin
0 sin cos
转动轴n 转角
arc1 2c(to r A s1)
(AI)n0
2.四元数概念
根据欧拉定理，用转动轴与转角可表示转动后的 方位。但是如何计算矢径的变化呢？要用较复杂的几 何关系。为便于计算，我们可以采用一种新的数学概 念：四元数来处理这个问题。
%-------每次转动的坐标转换矩阵 A01=[cos(psi) -sin(psi) 0;
sin(psi) cos(psi) 0; 0 0 1]; A12=[1 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta); 0 sin(theta) cos(theta)]; A23=[cos(phi) -sin(phi) 0; sin(phi) cos(phi) 0; 0 0 1];
在动系中看，三次转动的角速度为
0
1
0
&
& 2 0 0
0
3
0
&
z2 Z z 0 z3 z1
& &
ω& eZ& ex1& ez3
根据坐标转换关系，有
O
&
A 3 11A 3 22A 3 33 X x 0 x1x2 x3
A i j 表示 O xi y i z i 与 O x j y j z j 之间的坐标转换矩阵
%---------------转换关系 A10=simple(inv(A01)); A21=simple(inv(A12)); A32=simple(inv(A23)); A31=A32*A21;
%---------------角速度在动系中的结果 omega=A31*omega1+A32*omega2+omega3
y1
Y0
A 3 11A 3 22A 3 33
A 31A 32A 21A 23TA 21 A32 A23T A33 I
omega =
[ sin(phi)*sin(theta)*dpsi_dt+cos(phi)*dtheta_dt]
[ cos(phi)*sin(theta)*dpsi_dt-sin(phi)*dtheta_dt]
四元数的运算
参考书目：战术导弹飞行力学设计，张有济
1、加法：诸元相加 2、与标量乘法：诸元相乘
3、乘法（以O表示四元数乘法） (a)定义 i、j、k 的乘法:
i ij jk k 1 类似虚数
ijjik
类似矢量叉乘
(b)按前面定义，矢量与矢量的乘法为：
p q p q p q
正常矢量点乘
正常矢量叉乘
z1
O
X x 0 x1 x2 x3
y3 y2
y1
Yy 0
欧拉角对应的角速度
ω& eZ& ex1& ez3
向动系Ox3y3z3分解
（动系与刚体固结）
z2
Zz 0
z3 z1
& &
ωxexyeyzez
如何分解？ （1）几何法（自己试试） （2）转换法
O
&
X x 0 x1x2 x3
y3 y2
y1
Yy 0
1古今数学思想，M.克莱因，上海科学技术出版社， 2从一到无穷大：科学中的事实与臆测，盖莫夫，科学出版社
整数、负数、小数、无理数、矢量、复数（二维 矢量）、三维复数的寻找－－数字运算的结合律、交 换律、分配律是否必须满足？
在1830年前后，当时的数学家所知道的全部数都 具有乘法的交换性，但Hamilton经过长期研究发现， 所谓的三维复数应有四个分量，同时不满足乘法的交 换律，他称之为四元数。他花了15年才得到这些结果
角速度在动系中为
x sinsincos y sin cossin z cos
角速度在固定系中为
X &cos &sin sin Y &sin &cos sin Z &&cos
z2 Z0 z3 z1
& &
O
&
X0 x1x2 x3
y3 y2
y1
Y0
角速度反解
x sinsin cos 0&
y sincos z cos
[
cos(theta)*dpsi_dt+dphi_dt]
clc; clear all;
syms psi phi theta dpsi_dt dphi_dt dtheta_dt
%-------角速度在动坐标系中的分量 omega1=[0;0;dpsi_dt] omega2=[dtheta_dt;0;0] omega3=[0;0;dphi_dt]
(c)四元数与矢量的乘法
Q a ( q 0 q a )q 0 a q a q a
(d)定义共轭四元数 Λ λ0 λ
3
ΛΛΛΛ 若
2 i
1
i0
ΛΛ 1
3.用四元数表示刚体转动
根据欧拉定理，刚体的转动可用转动轴n、转角表示。
sin
0
10& &
& sinsin cos 01x
& &sincoscos
sin
0
0 1
y
z
&(x siny cos)/sin &x cosy sin &z &cos
反解可能有奇点
（每种欧拉角有不 同的表达式，但都 存在奇点）
姿态运动的四元数描述
1. 欧拉定理 具有固定点的刚体从某一位置到另一位置的变化， 等价于绕过固定点的某轴的一次转动而实现。
第四章 航天器姿态动力学
补充内容 §4.1 航天器姿态动力学 §4.2 姿态控制的几种方式 §4.3 重力梯度稳定 §4.4 自旋稳定 §4.5 双自旋稳定
欧拉角定义
欧拉角的转动次序：
1.结体系与参考系重合
2.绕Z轴转动 3.绕x1轴转动 4.绕z2轴转动
欧拉角与方位 是一一对应的
z2 z3
Zz 0
y3 y2
y1
Y y0
cos sin 0
A() sin cos 0
0
0 1
1 0
0
A() 0 cos sin
0 sin cos
cos sin 0
A() sin cos 0
0
0 1
A01 A() A12 A() A23 A()
z2 Z0 z3 z1
& &
O
&
X0 x1x2 x3
y3 y2
四元数的定义
设 Λ01i2j3k
i, j, k 为虚数单位
则称 为四元数。
简写为 Λ0 λ
Λ
0
Байду номын сангаас
四元数的性质
λ(1 2 3)T
（1）当0＝0时，为矢量。 （2）当＝0时，是标量。 （3）当中有两个分量＝0时，是复数。
因此四元数是标量、复数、矢量的推广。
四元数的产生历史
人们对于数的认识是一个漫长的历史过程，有兴 趣可见参考书目：
转角
两次转动
一次转动
欧拉转动
n
1 1
2
2
3 3
与转换矩阵的关系
1 0
0
A 0 cos sin
0 sin cos
转动轴n 转角
arc1 2c(to r A s1)
(AI)n0
2.四元数概念
根据欧拉定理，用转动轴与转角可表示转动后的 方位。但是如何计算矢径的变化呢？要用较复杂的几 何关系。为便于计算，我们可以采用一种新的数学概 念：四元数来处理这个问题。
%-------每次转动的坐标转换矩阵 A01=[cos(psi) -sin(psi) 0;
sin(psi) cos(psi) 0; 0 0 1]; A12=[1 0 0; 0 cos(theta) -sin(theta); 0 sin(theta) cos(theta)]; A23=[cos(phi) -sin(phi) 0; sin(phi) cos(phi) 0; 0 0 1];
在动系中看，三次转动的角速度为
0
1
0
&
& 2 0 0
0
3
0
&
z2 Z z 0 z3 z1
& &
ω& eZ& ex1& ez3
根据坐标转换关系，有
O
&
A 3 11A 3 22A 3 33 X x 0 x1x2 x3
A i j 表示 O xi y i z i 与 O x j y j z j 之间的坐标转换矩阵
%---------------转换关系 A10=simple(inv(A01)); A21=simple(inv(A12)); A32=simple(inv(A23)); A31=A32*A21;
%---------------角速度在动系中的结果 omega=A31*omega1+A32*omega2+omega3
y1
Y0
A 3 11A 3 22A 3 33
A 31A 32A 21A 23TA 21 A32 A23T A33 I
omega =
[ sin(phi)*sin(theta)*dpsi_dt+cos(phi)*dtheta_dt]
[ cos(phi)*sin(theta)*dpsi_dt-sin(phi)*dtheta_dt]
四元数的运算
参考书目：战术导弹飞行力学设计，张有济
1、加法：诸元相加 2、与标量乘法：诸元相乘
3、乘法（以O表示四元数乘法） (a)定义 i、j、k 的乘法:
i ij jk k 1 类似虚数
ijjik
类似矢量叉乘
(b)按前面定义，矢量与矢量的乘法为：
p q p q p q
正常矢量点乘
正常矢量叉乘
z1
O
X x 0 x1 x2 x3
y3 y2
y1
Yy 0
欧拉角对应的角速度
ω& eZ& ex1& ez3
向动系Ox3y3z3分解
（动系与刚体固结）
z2
Zz 0
z3 z1
& &
ωxexyeyzez
如何分解？ （1）几何法（自己试试） （2）转换法
O
&
X x 0 x1x2 x3
y3 y2
y1
Yy 0
1古今数学思想，M.克莱因，上海科学技术出版社， 2从一到无穷大：科学中的事实与臆测，盖莫夫，科学出版社
整数、负数、小数、无理数、矢量、复数（二维 矢量）、三维复数的寻找－－数字运算的结合律、交 换律、分配律是否必须满足？
在1830年前后，当时的数学家所知道的全部数都 具有乘法的交换性，但Hamilton经过长期研究发现， 所谓的三维复数应有四个分量，同时不满足乘法的交 换律，他称之为四元数。他花了15年才得到这些结果
角速度在动系中为
x sinsincos y sin cossin z cos
角速度在固定系中为
X &cos &sin sin Y &sin &cos sin Z &&cos
z2 Z0 z3 z1
& &
O
&
X0 x1x2 x3
y3 y2
y1
Y0
角速度反解
x sinsin cos 0&
y sincos z cos
[
cos(theta)*dpsi_dt+dphi_dt]
clc; clear all;
syms psi phi theta dpsi_dt dphi_dt dtheta_dt
%-------角速度在动坐标系中的分量 omega1=[0;0;dpsi_dt] omega2=[dtheta_dt;0;0] omega3=[0;0;dphi_dt]
(c)四元数与矢量的乘法
Q a ( q 0 q a )q 0 a q a q a
(d)定义共轭四元数 Λ λ0 λ
3
ΛΛΛΛ 若
2 i
1
i0
ΛΛ 1
3.用四元数表示刚体转动
根据欧拉定理，刚体的转动可用转动轴n、转角表示。
sin
0
10& &
& sinsin cos 01x
& &sincoscos
sin
0
0 1
y
z
&(x siny cos)/sin &x cosy sin &z &cos
反解可能有奇点
（每种欧拉角有不 同的表达式，但都 存在奇点）
姿态运动的四元数描述
1. 欧拉定理 具有固定点的刚体从某一位置到另一位置的变化， 等价于绕过固定点的某轴的一次转动而实现。
第四章 航天器姿态动力学
补充内容 §4.1 航天器姿态动力学 §4.2 姿态控制的几种方式 §4.3 重力梯度稳定 §4.4 自旋稳定 §4.5 双自旋稳定
欧拉角定义
欧拉角的转动次序：
1.结体系与参考系重合
2.绕Z轴转动 3.绕x1轴转动 4.绕z2轴转动
欧拉角与方位 是一一对应的
z2 z3
Zz 0
y3 y2
y1
Y y0
cos sin 0
A() sin cos 0
0
0 1
1 0
0
A() 0 cos sin
0 sin cos
cos sin 0
A() sin cos 0
0
0 1
A01 A() A12 A() A23 A()
z2 Z0 z3 z1
& &
O
&
X0 x1x2 x3
y3 y2
四元数的定义
设 Λ01i2j3k
i, j, k 为虚数单位
则称 为四元数。
简写为 Λ0 λ
Λ
0
Байду номын сангаас
四元数的性质
λ(1 2 3)T
（1）当0＝0时，为矢量。 （2）当＝0时，是标量。 （3）当中有两个分量＝0时，是复数。
因此四元数是标量、复数、矢量的推广。
四元数的产生历史
人们对于数的认识是一个漫长的历史过程，有兴 趣可见参考书目：