圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

金荣生（上海市市北中学 200071）

2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.

定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =.

证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.

设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .

若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.

若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （0，p ），Q （0，q ），

1

111

31132)(:x

k x x x x x

k x k y CE +-⋅--=,

1

321

31111131132)

()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-⋅--=

,同

理

2

42142)

(x x k k x x q --=

, 所以

)

()()]

()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -⋅-+-+-=

+

将x k y 1=代入(*)得0

)()(122

11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得

2

1

121Ck Bk A D x x ++-=

+, 2

1

121Ck Bk A F x x ++=

, 同理 2

2

243Ck Bk A D

x x ++-=

+, 22

243Ck Bk A F

x x ++=

，所以0=+q p ，即MQ MP =.

注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.

定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q 证明：如图2，以M 为原点，AB 设

圆

锥

曲

线

的

方

程

为

022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （11,y x ）

，B （21,y x ），则切线MA 的方程是02211=++F y E x D ，切线MB 的方程是02

221=++F y E

x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下面与定理1的证明相同，略）

特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.

性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122

22=±b y a x 的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、

DF 的连线交点G 在直线l ：m

a x 2

=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴

所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.

证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得MQ MP =.

过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得

FH

FM HG

MQ HG

MP HE

EM =

=

=

，设M （m ，0），H

（n ，0），焦点轴长为2a ，则有n

a m

a n a m a --=--+，

得

2a mn =.

注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论

若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.

性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22

=的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物

线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.

注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M 为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.

性质3：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0l 与

CD 交于点I ，则

DI

DM CI

CM =

.

证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：

DI

DM IG

MQ IG

MP CI

CM =

=

=

.

性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线

22

22±b y a x 交点G 在直线l ：m

a x 2

=上.

证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直

线，由定理

1，定理

2

得：

DI

DM IG

MQ IG

MP CI

CM =

=

=

，由性质3得，点I 在

直线l ：m a x 2=上，所以点G 在直线l ：m

a x 2

=上.

类似性质3、性质4得到性质5、性质6.

性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0交于点I ，则

DI

DM CI

CM =

.

性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m x -=上.

注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 的连线交点G 落在相应准线上.

性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122

22=±b y a x 的弦线的切线的交点G 在直线l ：m

a x 2

=上.

证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM 交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D

与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与性质8：过点M （m ，0）做抛物线px y 22

=的弦CD 的交点G 在直线l ： m x -=上.