第3章力系的平衡条件与平衡方程

第3章 力系的平衡条件与平衡方程
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
3.1.1 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。

力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于
零，即 1
10
()0i n R i n O O i
i F F M M F ==⎫
==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭
∑∑
平衡条件的解析式：
1
110
0()0n
ix i n
iy i n O i i F F M F ===⎫
=⎪
⎪
⎪
=⎬⎪⎪=⎪⎭∑∑∑ 或 00()0x y O F F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭
∑∑∑ 平面一般力系的平衡方程
该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。

平面汇交力系：
平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足
()0O M F ≡∑
物体在平面汇交力系作用下平衡方程：
00x y
F F ⎫=⎪
⎬=⎪⎭∑∑
例题3-1 图所示为悬臂式吊车结构图。

其中AB 为吊车大梁，
BC
为钢索，
A 处为固定铰支座，
B 处为铰链约束。

已知起重电动机E 与重物的总重量
为
P
F （因为两滑轮之间的距离很小，
P
F 可视为集中力作用在大梁上）梁
的重力为
Q
F 已知角度30θ=。

求：
1、电动机处于任意位置时，钢索
BC
所受的力和支座
A
处的约束力；
2、分析电动机处于什么位置时。

钢索受力最大，并确定其数值。

解：1、选择研究对象
以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。

建立平衡方程 取
A 为矩心。

根据
()0
A M F =∑
sin 0
2Q P TB l
F F x F l θ-⨯-⨯+⨯=
222sin 2sin30
P Q P Q P TB Q
l
F x F F x F l F x F F l l l θ⨯+⨯+===+
由
x
F =∑
cos 0
Ax TB F F θ-=
2()cos303()
2Q P P Ax Q F F x F x F F l l =+=+
由
y
F =∑
sin 0
Ay Q P TB F F F F θ---+=
1
22[()]
2Q P Ay Q P TB Q P Q P F F x F F F F F F l F l x
F l =--+=--++
-=-+
由 2P TB Q
F x F F l =+ 可知当x l =时钢索受力最大， 其最大值为 22P TB Q P Q
F l
F F F F l =+=+
在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。

例题3-2 A 端固定的悬臂梁AB 受力如图所示。

梁的全长上作用有集度为
q
的均布载荷；自由端B 处承受一集中力
P
F
和一力偶M 的作用。

已知
2,;P F ql M ql l
==为梁的长度。

试求固定端处的约束力。

解：1、研究对象、隔离体与受力图 2、将均布载荷简化为集中力
3、建立平衡方程，求解未知约束力
0x
F =∑ ， 0
Ax F =
y
F
=∑ ，
0Ay P F ql F --= ,
2Ay F ql
=
()0
A M F =∑
, 0
2A P l
M ql F l M -⨯--= ， 252A M ql =
例题3-3 图所示刚架，由立柱AB
和横梁
BC
组成。

B
处为刚性节点（刚架
受力和变形过程中横梁和竖杆之间的角度保持不变）。

刚架在A
处为固定铰
支座；
C
处为辊轴支座；受力如图所示。

若图中
P
F
和l 均为已知，求
A C 、二处的约束力。

解：1、研究对象、隔离体与受力图 2、应用平衡方程求解未知力
()0
A M F =∑
，
0C P F l F l -= C P F F =；
0x
F
=∑ ，
0Ax P F F += ， Ax P F F =- ；
y
F
=∑ ， 0Ay C F F += ， Ay C P
F F F =-=-。

以上负号表明Ax F
和Ay F
的实际方向与图中所设方向相反。

【例】图示梁AB 受一力偶作用,其矩5000.6300M N m =⨯=⋅，
1.5a m =，0.6b m =。

试求支座B A 、的反力。

解：⑴取梁
AB
为研究对象。

⑵画出受力图。

梁
AB 处于平衡状态，
0y
F =∑,
RA RB
F F =
⑶列出平衡方程
B
RA M M F =-=∑
300
1003
RA M F N l === 100RB RA F F N
== 0
RA RB F F 、，说明
,RA RB
F F 的方向与图中所设方向一致。

【例】图示梁AB ，其A 端为铰链支座，B 端为滚动支座。

梁的跨度为a 4，在梁的左半部分，即AC 段上有均布荷载q 作用，在D 截面处有一力偶矩大小为
m
的力偶作用。

梁的自重及各处摩擦均不计，试求A 和B 处的支座反力。

解：取梁为研究对象，建立图示坐标系。

0240=⋅⋅--⋅=∑a a q m a N m B A
①
0==∑A A
X X ②
20
=+⋅-=∑B A A
N a q Y Y
③
a m qa N qa Y qa
a m a qa m N X B A B A 42322
1
4420
2-=
-=+=+==
例题3-4 图所示的简单结构中，半径为r 的四分之一圆弧杆AB 与折杆
BDC
在B 处用铰链连接，A C 、二处均为固定铰支座，折杆BDC 上承受
力偶矩M 为的力偶作用，力偶的作用面与结构平面重合。

图中2l r =。

若
r M 、均为已知，试求A C
、二处的约束力。

解：1、受力分析
2、应用二力构件以及力偶平衡的概念求解 折杆：
()0
B M F =∑
0C M F d -= C M
F d =
sin 45sin 45(2)sin 452d r l r r r
=+=+=
3C M F M
d r ==
3A B
B C M F F F F M d r '=====
【例】重kN
G 1=的球放在与水平成
30的光滑斜面上，并用与斜面平行
的绳
AB 系住。

试求绳AB 受到的拉力及球对斜面的压力。

解：⑴选球为研究对象。

⑵画出受力图。

G
为主动力，
N
T ,为约束力。

三
力汇交于
o 点。

⑶以球心o 为坐标原点，建立图示坐标系。

⑷根据平衡条件
建立平衡方程。

0cos30cos 600
x
F T N =-=∑
①
sin 30sin 600
y F T N G =+-=∑ ② 联立解之，得
kN
T kN
N 50.0866.0==
根据作用与反作用定律，绳子所受拉力为
kN
50.0；求对斜面的压力为
kN
866.0，其方向与图中相反。

也可以斜面向上、垂直斜面向上为
y
x ,轴，则
cos 600
x
F T
G =-=∑
kN G T 50.02
1
==
60sin 0=-=∑
G N Y kN G N 866.02
3
== 由此可见，选择恰当的坐标系，可使问题求解变得更简单。

【例】图所示为起重机起吊一无缝钢管而处于平衡时的情况。

已知钢管重
60,4==αkN G ，不计吊绳和吊钩的重量。

试求铅垂吊索和钢丝绳AB 、
AC 中的拉力。

解：由对称性可知，
12
T T =
y
F
=∑
12cos 4T T G kN α===
kN
T 41=
kN
T 42=
【例】简易绞车如图所示，
C
B
A、
、
处为铰链连接，钢丝绳绕过滑轮
A
将
kN
Q20
=
的重物缓缓吊起。

杆件和滑轮重量以及一切摩擦均不计。

滑
轮A
半径很小，可视为一个点。

试求
AB
和
AC
所受的力。

解：
20
T Q kN ==
节点：
x
F=
∑cos30sin300
AB AC T
F F F
-+-=
y
F=
∑sin30cos300
AC T
F F Q
--=
55
AB
F kN
=75
AC
F kN
=
【例2.9】平面刚架如图所示，a
P和
为已知，不考虑自重，求支承
D A和
处的约束反力。

解：⑴选刚架为研究对象。

⑵画出受力图。

因D 处为活动铰，故D R 的方向竖直向上。

A 处为固定铰，
其约束反力
A
R 方向未知，但因刚架受三力作用平衡，根据三力平衡汇交定
理，可知三力必汇交于C 点。

A R 沿AC
方向， 6.26)2arctan(==a a θ
⑶以
A 为坐标原点，建立图示坐标系。

⑷根据平衡条件建立平衡方程。

cos 26.60
x A F P R =+=∑ ①
P
R A 12.1-=
（负号表示
A
R 的方向与图中所设的方向相反）
sin 26.60
y D A F R R =+=∑ ②
P
P R R A D 502.0)12.1)(488.0(448.0=--=-=
注意：写平衡方程时，A
R 的指向是以图示指向为准，故将
A
R 代入②式时仍
保留负号。

3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式 平衡方程的其他形式 二矩式
()0()0x A B
F M F M F ⎫=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭
∑∑∑ ()A A M M F =∑∑ ()B B M M F =∑∑
其中B A 、两点的连线不能与x 轴垂直。

三矩式
000A B C
M
M M ⎫
=⎪⎪=⎬⎪=⎪⎭∑∑∑ 其中C B A 、、三点不能共线。

选用二矩式或三矩式，可以使一个平衡方程中只包含一个未知力，不会遇到求解联立方程的麻烦。

对一个受平面一般力系作用的平衡物体，可以也只能列出三个彼此独立的平衡方程，求解出三个未知数。

例题3-5 在图所示结构中A 、C 、D
，三处均为铰链约束。

横梁
AB 在B 处
承受集中载荷P
F 。

结构各部分尺寸均示于图中，若已知
P
F
和l 试求撑杆
CD
的受力以及
A 处的约束力。

解：AB 杆：
0A M =∑ sin 4502P RC l F l F -+⨯=
RC
P F =
0C M =∑ 022Ay P l l
F F -⨯-⨯= Ay P F F =-
0D M =∑ 02Ax P l
F F l -⨯-⨯= 2Ax P F F =-
负号表明Ax F
、
Ay
F 的方向与图中所设方向相反。

校核：
x F =∑ cos450Ax RC F F +=
cos452Ax RC P F F F =-=-
与上所求相同，即上计算正确。

例题3-6 图所示为曲柄连杆活塞机构，曲柄OA
长为r ，连杆
AB
长l
，活塞
受力
400,45F N AOB θ=∠==。

不计所有构件的重量，试问在曲柄上应
加多大的力偶矩M
方能使机构在图示位置平衡？
解： 1、受力分析
连杆AB 为二力杆，AB BA F F =。

而OA 杆，根据力偶必须与力偶平衡，故
O
F
必定与
AB
F ' 组成一力偶并与力偶矩为M 的力偶平衡。

且
AB AB
BA BA F F F F ''=== 。

2、以活塞为研究对象
由图可得
100
1
sin β==
，
2002cos β== 0y
F
=∑ ，
cos 0BA F F β
'-=
400cos BA
F F β'===
3、应用力偶平衡的概念，确定作用在曲柄OA 上的力 以曲柄OA 为研究对象：
O
M
=∑ ，
0.1cos 0.1sin 0AB
AB F F M ββ''+-=
,
0.1cos 0.1sin 21
0.1(60AB
AB M F F N m
ββ''=+=⨯⨯+=⋅
题中注意单位。

例题3-7 在图所示结构中，C
处为铰链连接，各构件的重量略去不计，在
直角杆BEC 上作用有矩为M 的力偶，尺寸如图所示。

试求支座A
的约束反力。

解：1、受力分析，选择研究对象
直角杆BEC ：由于力偶必须由力偶来平衡，所以C F 与B
F 等值、反向并组
成一力偶。

丁字杆ADC ：根据三力平衡汇交定理，的方向应如图所示。

2、对平衡对象分别应用平衡方程，求解未知量 对
BEC
杆：
0M =∑ 0C
M F l -= C
F
M l
=
对
ADC
杆： 0
x
F
=∑
cos450A C
F F '-=
A C
F l '==
0x
F =∑ Ax C C
F F F M l '===
0A M =∑ 0D C F l F l '-+= D C
F F M l '== 0D M =∑ 0Ax Ay
F l F l += ()
Ay Ax
F F M
l =-=-↓
A F l
===
校核：对整体
A
M =∑
0D F l M -+= 00=
故以上所得结果正确。

3.2 简单的刚体系统平衡问题
刚体系统：由两个或两个以上的构件通过一定方式连接起来的系统。

如上几个例题中的结构便是。

解刚体系统问题时，重要的是：正确判断刚体系统的静定性质、选择合适的研究对象。

3.2.1 刚体系统静定与静不定的概念
静定问题：作用在刚体上的未知力的数目正好等于所能建立的独立的平衡方程数目。

应用这些平衡方程能解除全部未知量。

这类问题称为静定问题。

如前面所有例题都是静定问题。

静不定问题：作用在刚体上的未知力的数目多于所能建立的独立的平衡方程数目。

因此仅靠平衡方程不能求出全部未知量。

这类问题称为静不定问题。

3.2.2 刚体系统的平衡问题的特点与解法
1、整体平衡与局部平衡的概念
系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。

如例题3-7图
2、研究对象有多种选择
一般先以整体为研究对象，可求出一个或几个未知力，再以局部为研究对象，求出其余未知量。

对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力
外力：研究对象以外的物体作用于研究对象上的力。

内力：研究对象内部各部分间的相互作用于力。

内力和外力是一相对概念需视研究对象而定。

如上图中，当以整体为研究对象时，铰C 处左右两部分之间的作用力C F 与C F '
是内力。

但当把系统拆开，以单个刚体为研究对象时，原来的内力将变
为外力。

如分别以BEC 和ADC 为研究对象时C F 与C F '则变为外力。

当整体平衡时，若以整体为研究对象，因内力总是成对出现，一对内力在任意轴上的投影之和以及对任意点的力矩之和始终为零，所以不必考虑内力。

刚体系统的受力分析过程中，必须严格根据约束的性质确定约束力，特别要注意互相连接物体之间的作用力与反作用力，使作用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上的力系都满足平衡条件。

例题3-8 图所示结构由杆AB 与BC 在B
处铰接而成。

结构A 处为固定端，
C 处为辊轴支座。

结构在DE 段承受均布载荷作用，载荷集度为q ；E 处作
用有外加力偶，其力偶矩为M 。

若q M l 、、等均为已知，试求A C 、二处
的约束力。

解：1、以整体为研究对象
x
F
=∑
Ax F =
2、以BC 段为研究对象
0B M =∑ 202RC l F l M ql ⨯--⨯=
24RC M ql
F l =+ 3、再以整体为研究对象
0y F =∑ 20Ay RC F ql F -+= 742Ay ql M
F l =-
A M =∑ 4220RC A F l M ql l M ⨯--⨯+= 2
3A
M ql M =- 校核：
C
M
=∑
4220
A Ay M lF ql l M -+⋅-=
2222447243A Ay M lF ql M ql M ql M ql M
=-+=--+=- 结果正确。

例题3-9 图所示为房屋和桥梁中常见的三铰拱结构模型。

结构由两个构件 通过中间铰连接而成：A B 、二处为固定铰链支座；C 处为中间铰。

各部分
尺寸均示于图中。

拱的顶面承受集度为q
的均布载荷。

若已知q l h 、、，且
不计拱结构的自重，试求A B 、二处的约束力。

解：1、以整体为研究对象
0A M =∑ 02By P l F l F ⨯-⨯=
2By ql
F = 0B M =∑ 02Ay p l F l F -⨯+⨯=
2Ay ql
F =
x
F
=∑ 0Ax
Bx F F -= Ax Bx F F =
2、以左半拱为研究对象
0C M =∑ 0242Ax Ay ql l l F h F ⨯+⨯-⨯=
2
8Ax Bx ql F F h == 校核：对整体 0y F =∑ 022Ay By ql ql
F F ql ql +-=+-= 结果正确。

3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
静滑动摩擦力（静摩擦力）：两个相互接触的物体，如果有相对滑动的趋势，在其接触面间产生的彼此阻碍滑动的力。

由平衡条件得
,N P
P
F mg F F F F ===-
或
如果P
F ↗,在一定范围内物体仍保持静止，该范围内F
↗。

即，静摩擦
力的大小是个不固定的数值。

只要物体保持静止，静摩擦力的大小就应由平衡条件来确定，即
P
F F =，其方向与物体滑动趋势相反。

当拉力达到某一临界值
max
P F 时，物体处于将要滑动而尚未滑动的极限状
态(临界状态)，此时静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用m a
x F F =表
示。

其后，物体开始沿P F
方向滑动。

物体开始滑动后静摩擦力突变为滑动摩擦力d F。

此后，主动力的数值若
再增加，滑动摩擦力基本上保持不变。

实验表明：最大摩擦力的方向与相对滑动趋势相反，大小
max s N F f F = 库伦摩擦定理 N F ：物体间的正压力 s
f ：静摩擦因数。

其大小与两接触物体的材料以及表面情况（粗糙度、干湿度、温度等）有关，而一般与接触面积的大小无关。

max 0F F ≤≤
滑动摩擦力 d d N F f F = 滑动摩擦力d F ＜ 最大静摩擦力max F 静摩擦力也是一种约束力。

3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦时的平衡问题：1、在受力分析时必须考虑摩擦力，且摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反；2、物体处于静止状态时，摩擦力一般不是一定值，而是
max
0F F ≤≤，可用平衡条件求得。

例题3-10 图中所示为放置于斜面上的物块。

物块重1000W F N
=，斜面倾
角为30。

物块承受一方向自左至右的水平推力，其数值为400P F N =。

若
已知物块与斜面之间的摩擦因数0.2
s f =。

求：1、物块处于静止状态时，静
摩擦力的大小和方向；2、使物块向上滑动时，力P F
的最小值。

解：1、物块处于静止状态
以物块为研究对象。

x F =∑ ，
sin30cos300
W P F F F --+=
153.6F N
=-
负号表明实际摩擦力与图中所设方向相反。

即物体实际有向下滑动的趋
势。

y F =∑ ，
cos30sin300
N W P F F F --=
1066N F N
=
最大静摩擦力
max 0.21066213.2s N F f F N
==⨯=
max
F F
2、使物块向上滑动
仍以物块为研究对象。

先设物块处于将动未动的临界状态。

此时物块仍处于平衡状态，其受力如图所示。

0x F =∑，
max min sin30cos300W P F F F --+=
y F =∑ ，
min cos30sin300
N W P F F F --=
max s N
F f F =
min sin30cos300s N W P f F F F --+=
min cos30sin30N W P F F F =+
min min cos30sin30sin30sin300s W s P W P f F f F F F ---+=
min (cos30sin30)(sin30cos30)0
W s P s F f F f -++-+=
min
cos30sin300.2cos30sin301000878.83sin30cos300.2sin30cos30
s P W s f F F N f ++==⨯=-+-+ 例题3-11 梯子的上端
B
靠在铅垂的墙壁上，下端
A
搁置在水平地面上。

假
设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束，如图所示。

已知：梯子与地面之间的摩擦因数为s
f ；梯子的重力为
W。

求：1、若图中在倾角
1
α的位置保持平衡，求
A B
、二处的约束力
NA NB
F F 、和摩擦力
A
F ；2、
若使梯子不致滑倒，求其倾角
α
的范围。

解：1、梯子在倾角
1
α的位置保持平衡
0A M =∑， 11cos sin 02NB l
W F l αα⨯⨯-⨯⨯=
11cos 2sin NB W F αα=
0y
F =∑，
NA F W -=
NA F W
=
x
F
=∑,
A N
B F F +=
1
cot 2
A NB
W
F F α=-=- 负号表明
A
F 与图中所设方向相反.
2、求使梯子不致滑倒，其倾角
α
的范围
设梯子处于将滑未滑的临界状态。

0A M =∑， cos sin 02NB l
W F l αα⨯⨯-⨯⨯=
cos cot 2sin 2
NB W W F αα
α== 0y
F =∑，
NA F W -=
NA F W
=
x
F
=∑,
A N
B F F -+=
cot 2
A NB
W
F F α
== A s NA F f F =
cot 2s NA
W f F α= cot 2
s W
f W α= cot 2s
f α= cot(2)
s arc f α=
由常识知，角度α越大，梯子越容易保持平衡， 故
cot(2)
s arc f α≥ 。

3.4.4 摩擦角与自锁的概念 1、摩擦角
摩擦角是研究滑动摩擦问题的一个重要物理量。

当物体静止时，把它所
受的法向反力N F 和摩擦力F
合成一合力，并称为全反力，用表示R F 。

R N F F F =+
大小：
R F =全反力作用线与接触面法线的夹角ϕ为， tan N F
F ϕ=
当推力P F 逐渐增大时，静摩擦力F
也随之增大，因而ϕ角也相应地增大。

当推力增至m P F 时，摩擦力达到最大值max F ，此时全反力Rm F
与接触面的法
线之间的夹角ϕ也达到最大值m ϕ，m ϕ称为摩擦角。

max Rm N F F F =+
max tan m N F F ϕ=
根据库伦摩擦定律 max tan s N
m s
N N
F f F f F F ϕ=== 由以上讨论可知：摩擦角是全反力R F
偏离接触面法线的最大角度；摩擦
角的正切值等于静摩擦因数。

2、自锁现象
自锁：当主动力合力的作用线位于摩擦角的范围以内时，无论主动力大小如何，物体都能保持平衡，这种现象称为自锁。

自锁条件：
m αϕ≤ 若主动力合力的作用线位于摩擦角的范围以外()m αϕ≥，无论主动力多
小，物体一定发生运动。

（1）当m αϕ 时，物块保持静止。

（2）当m
αϕ 时，物块发生运动。

（3）当
m
αϕ=时，物块处于临界状态。

P75，螺旋零件的示意图。

3.4.5 空间力系特殊情形下的平衡方程 一般空间力系的平衡方程
000x y
z
F
F F
⎫=⎪⎪
=⎬⎪=⎪⎭
∑∑∑
000x y z M M M ⎫
=⎪⎪=⎬
⎪=⎪⎭∑∑∑
1、空间汇交力系：力系中所有力的作用线都相交于一点的力系。

对于空间汇交力系，上平衡方程中三个力矩方程自然满足，因此，其平衡方程为
000x y
z
F F
F
⎫
=⎪⎪=⎬
⎪=⎪⎭∑∑∑
2、空间力偶系：力偶作用面位于不同平面的力偶系。

对于空间力偶系，以上三个力的平衡方程自然满足，因此，其平衡方程为
000x y z
M M M
⎫
=⎪⎪=⎬
⎪=⎪⎭∑∑∑
3、空间平行力系：所有力的作用线相互平行的力系。

对于空间平行力系，上6个方程中2个力的平衡方程和1个力矩方程自然满
足。

例如上图中：
0,
0,
x
y
z
F F
M
===∑∑∑
因此空间平行力系的平衡方程为
000z x y
F M M ⎫=⎪⎪
=⎬
⎪=⎪⎭
∑∑∑。