高中物理竞赛讲义-镜像法
1-7镜像法
1)
边值问题： 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导 体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球 面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体 球的影响 可用镜像电荷（-q′） 可用镜像电荷（ 代替感应电荷， 代替感应电荷，其中 位置与电荷量为： 位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质 平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面 的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均 的上下半空间充满介电常数为 匀介质，在上半空间距S为 处有一点电荷 处有一点电荷q， 匀介质，在上半空间距 为h处有一点电荷 ，求空间 的电场 设上半空间电位为ϕ1，下半空间 根据唯一性定理， 电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足： 和ϕ2应满足： （1）
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为： 镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷 由原来电荷 处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（ 所产生 介电常数ε 冲满整个空间） 冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点， 思路：采用等效观点， 对于两圆柱导体外部的电场， 对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 细线。 细线。 如图相距为2b（ 的数值待定 的数值待定） 如图相距为 （b的数值待定）的两根电荷线密度 的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 这种方法称为电轴法。 这种方法称为电轴法。
5-恒定磁场-4镜像法
r a1n
r
H1
µ1
r
µ2
H2
如果没有自由表面电流：r r r r an × H1 = an × H2
… 时，分界面切向分量连续— — H1τ = H2τ
矢量磁位… 连续— —
磁 场 中 “镜像法 ”
因为“唯一性”定理：… … 在不改变 恒定磁场区域内电流分布和边界条件的情况下， 用场域外的等效源 (电流 )代替边界对场的影响，来简化 场的计算。
电导线平行于分界面，距离为 a 求：单位长度磁介质同导线之间的作用力
I
a
µ
磁介质的边界条件－1
1. 磁感应强度
µ1
r B1
r a2 n
“扁盒子”
rr
∫ B•dS = 0
µ2
S
分界面法向分量连续— —
r a1n
r B2
r B1
•
r an
=
r B2
•
r an
r ∇•B = 0
矢量磁位连续— —
rr A1 = A2
磁介质的边界条件－2
2. 磁场强度
r a2n
“闭合回路”
r rr r an × ( H1 − H 2) = J sFree
h
I ' = µ2 − µ1 ⋅ I µ2 + µ1
I' ' = 2 ⋅µ1 ⋅ I µ2 + µ1
对比： “线电荷 ”镜像
ε1
ρ
h
ε2
对比： “线电荷 ”镜像
1. 上半区域：
ε1
ρ'
ρ'= − ε2 − ε1 ⋅ ρ ε2 + ε1
2. 下半区域：
ρ"
2020年高中物理竞赛—电磁学C-03静电场：镜像法解题(下)(共17张PPT)
l1 2 0
ln
a
1 d1
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l1 2 0
ln
1 d1
a
l2 2 0
ln
a
1 d2
C
0
l2 l1
•镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。
•空间一点的电位
1
2
C1
l1 2 0
ln
r1
C2
l2 2 0
ln
r2
l1 2 0
ln
r2 r1
C
（3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以 保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等 位面）。
2020高中物理竞赛
电磁学C
例3.8 在点电荷q的电场中，引入一接地金属球。求达到 新的静电平衡状态后球外的电场。
解：设金属球心与点电荷的距离为d，电位函数满
足的条件是：除点电荷所在处外，到处有：2 0 ,
金属球面上＝0
。
•设想将金属球撤除，并使空间充满介电常数为的 介质，在离球心b（＝R2 /d）处放置电荷q’（＝－ Rq/d）。 •根据例3.7的结果，原电位函数满足的条件未变。 •对金属球外区域中的电场可根据q和q’两电荷来计 算。
2 l ln b (h a) 2 0 b a) 0 b (h a)
C0
l
U
ln
0
b (h a)
b (h a)
谢谢观看！
例3.10 两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离为D。 求：两圆柱间单位长 度上的电容。
解：设加电压后两圆柱分别带电＋pl和－pl。应 用上题结果，圆柱看成是两电轴（带电＋pl和－ pl）的等位面。求出电轴位置即得解。
ch镜像法解析实用PPT学习教案
注意几点：
a ) 像 电 荷 必 须放在 研究的 场域外 。 b ) 不 能 改 变 原有边 界条件 （实际 是通过 边界条 件来确 定假想
电 荷 的 大 小 和位 置）。 c ) 放 置 像 电 荷后， 就认为 原来的 真实的 导体或 介质界 面不存
在 ， 把 整 个 空间 看成是 无界的 均匀空 间。并 且其介 电常数 应 是 所 研 究 场域 的介电 常数。 d ) 像 电 荷 是 虚构的 ，它只 有等效 作用。 而其电 量并不 一定与 真 实 的 感 应 电荷 或极化 电荷相 等。 e ) 镜 像 法 所 适应的 范围是 ： ① 场 区 域 的 电荷 是点电 荷，无 限长带 电直线 ； ② 导 体 或 介 质的 边界面 必是简 单的规 则的几 何面（ 球面、 柱面、 平面） 。
会计学
1
一、镜像法的概念和适用条件
1. 求解泊松方程的难度
Q
Q
一 般 静 电 问 题可 以通过 求解泊 松方程 或拉普 拉斯方 程得到 电场。 但是， 在许多 情况下 非常困 难。例 如，对 于介质 中、导 体外存 在点电 荷的情 况虽然 可以采 用叠加 法求解 ，但是 求解比 较困难 。求解 的困难 主要是 介质分 界面或 导体表 面上的 电荷一 般非均 匀分布 的，造 成电场 缺乏对 称性。
( 2 a2 )3
1
40
Q2 (2a)2
第7页/共44页
讨论: ▲如果导体板不接地，左半空间有电场存在 。这时左、右两 半空间的电势必须满足以下条件：
2右 右 R
1
0
0
Q
(x
a,
右
x0
有限的定值
左2R左
0
0
y
第9讲 镜像法
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
——导体球镜像电荷
第9讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题 球外的电位函数为
P
r
a
d'
R' q' d
R
q
a q 1 2 2 4π r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像介质1的镜像电荷镜像法五无限大介质分界平面的镜像1点电荷与无限大电介质分界平面的镜像点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷对位于无限大平表面介质分界面附近且平行于分界面的无限长线电荷单位长度带其镜像电荷为镜像法五无限大介质分界平面的镜像2线电流与无限大磁介质分界平面的镜像线电流与磁介质分界平面磁介质1的镜像线电流空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生
点电荷在导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考
• 无限大导体平板不接地，有何影响？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
q q
h
h
第9讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以
用等效电荷产生的电位替代。
第9讲 镜像法 问题的提出 几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
镜像法电轴法电容部分电容静电能量与力副本.pptx
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P
1
2
20
ln
2 1
C
以 y 轴为参考电位
P
20
ln
2 1
20
ln
( x b)2 y2 ( x b)2 y2
令：P 常 数，等位线方程
( x b)2 y2 K 2 ( x b)2 y2
( x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
K2 1
K2 1
第26页/共83页
2 0
思路
边值问题
S U0
导体球外（除q点）空间：
S
D dS
Q
D dS q
S
S U0
+Q
Q
4R
Q 4πεRU0 Q q
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上页 下页
讨论 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。
思路
边值问题
导体球内（除q点）空间：
2 0
C
S
S D dS q
q
-q
q S 4R
3. 部分（分布）电容（Distributed Capacitance)
对于多导体系统，每两个导体上的电压受到所有导体上 电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不能 仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。
三导体静电独立系统
第42页/共83页
上页 下页
讨论前提
多导体系统
电位系数
静电独立系统 线性系统
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cosBiblioteka q''42r 2
cos
q
4r 2
sin
q'
chapter25(镜像法2,电容,能量,力)n
1
qa d 2 a2
2
2ad
2
1
d 2 2adt a2 2
1
q d 2 a2
2
1 d
d
1
a
d
1
a
a q q d
9
g) Observations -q< q q和q的位置对球心o来说，互为反演点 当导体球 → 平板时，即a，d → 时， a=d
q2 a2 b2 q2 a2 d 2 0
q2d q2b 0
q bq d
q a q d
a2 bd
b a2 d
5
c)确定镜像电荷的具体位置和电量
P
0 0
a
r
r
o -q
b
ra 0
d
q 对称轴
注意适用区域
仅适用于未引入电荷的区域
C10
C12
2 2
C20
o (0= 0)
图2-34 大地上方两线传输线 系统中的各个部分电容
C
U12
C12
C10C20 C10 C20
38
2.7.3 静电屏蔽 Electric Shielding
例2-11 四导体系统如图示，导体1为导体2所包围。试求C13=?
C10 11 12 ;
C12 12 ;
Ci0 , Cij
C20 21 22 ;
自有部分电容 Ci0 i1 i2 in 互有部分电容 Cij ij
部分电容永远大于零
35
(3) 部分电容 (两两导体之间的电容)
高中物理竞赛辅导讲义2
高中物理竞赛辅导讲义2高中物理竞赛辅导讲义第[2]讲几何光学基本知识一、光在球面上的反射――球面镜反射面是球面一部分的镜叫做球面镜．用球面的内表面作反射面的叫做凹镜，用球面的外表面作反射面的叫做凸镜． 1．成像公式如图所示，凹面镜中心点O称为顶点，球面的球心C称为曲率中心，球面的半径R称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴．发光点P在主轴上，光线PA反射后与PO的交点P’为像点，AC是∠PAP’的角平分线．由图中可知：β=α+θ，γ=β+θ．两式相减得：α+γ=2β．若考虑P发出的光线靠近主轴(近轴光线)。
即α、γ都很小，PO=u为物距，P’O=v为像距．当u→?时，v?R，即沿主轴方向的平行光束入射经2球面反射后，成为会聚的光束，其交点在主轴上，称为反射球面的焦点，焦点到顶点间的距离，称为焦距，以f来表示，则f?R111，凹面镜成像公式为?? 2uvf 用同样的方法可以证明：在近轴的条件下，对于凸面镜只要取f??R，上面的公式2同样适用． 2．符号规则成像公式中各量的符号规定如下：物距u：实物为正，虚物为负；像距v：实像为正，虚像为负；焦距f：凹面镜为正，凸面镜为负． 3．作图法球面镜成像，还可以用作图法来确定．作图时有三条特殊光线可以利用：(1)平行主轴的入射光线反射后过焦点F，(2)过焦点的入射光线反射后平行主轴，(3)过曲率中心C的入射光线沿原路反射．作图时只要取两条光线就可以确定一个像点． 4．横向放大率如图所示，PQ是垂直主轴的线状物，它的像也应是垂直主轴的，用作图法确定物的顶点Q所对应的像点Q’，再过Q作主轴的垂线P’Q’就行了．设物PQ高度为y，像P’Q’高度为y’，则横向放大率Ⅲ=卫．入射光线OO，则反射光线为OQ’(图中未画出)，△POQ ∽△ POQ’，因此有：P'Q'OP'?，横向PQOP放大率m?y'?v? yu 物距、像距按符号规则代入计算，若m为正表示像正立，m为负表示像倒立．二、光在球面上的折射 1．成像公式如图所示，设球形折射面两侧的折射率分别为n、n’)，O为球面顶点，球面曲率中心为C，半径为R．连线OC为主轴．主轴上的物点P发出的任意光线PA折射后和沿主轴的光线PO的交点P’为像点，PA与主轴的夹角为a，AP’与主轴的夹角为β，AC与主轴的夹角为θ，入射角为i，折射角为γ，则根据折射定律，得nsini=n’sinγ考虑到近轴光线，i、y都很小，有ni≈n’γ这就是球面折射的成像公式．如果R→?就是平面折射的公式．平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F’，从球面顶点O到像方焦点的距离称为像方焦距f’．由球面折射的成像公式可见，当u→?时，即得如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后将成为平行于主轴的平行光束,那么,这例题分析1．与光轴平行的两条光线射到半径R=5cm的球面镜上．求从球面镜反射后的光线与光轴两个交点之间的距离△x．两条光线到光轴的距离分别为h1=0.5cm，h2=3crn．2．薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm的凸面镜M2相距b=16cm，物点P放在玻璃平板前a远处(如图所示)，要使P在M1中的像与在M2中的像重合，a应取多大?3．一直径为4cm的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径为2cm的半球形．长为0.1cm的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8cm处．求像的位置及大小，并作光路图．4．一半径为R，折射率为”的透明球，其球心为C．在一径向方向上取P、Q两点，使CP=R， nCQ=nR．试证，从P点发出的光，经界面折射后，总是像从Q点发出的．5．如图所示，有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体AB(B离球心O较近)，其长度为l=0．02m．若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像(此外可能还有亮度更弱的像，不必考虑)，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动．现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端B距球心O的距离为S=0.020m．试利用以上数据求出构成此半球的玻璃的折射率”．(计算时只考虑近轴光线)同步练习1．两个焦距都是f的凸镜共主轴相对放置，如图所示，a为平行于主光轴的光线．问两镜之间的距离L满足什么条件时，光线a可形成循环光路?画出光路图．2．如图所示，凹球面反射镜中盛有一层清水，球心C到水面的垂直距离CP=40.0cm，从主光轴上物点Q发出的傍轴光线经折射和反射后所成的像点仍位于物点Q(即像点与物点重合)，并已知QP=30.0cm．试求水的折射率n．3．一凹面镜所成的像，像高为物高的1/4，物与像相距l m，求凹面镜曲率半径．4．一种人眼的简化眼模型为：人眼的成像归结为只由一个曲率半径为5.70mm、介质折射感谢您的阅读，祝您生活愉快。
3.5镜像法ppt课件
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
18
3.5.4 导体圆柱面的镜像 1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像
问题：如图 1 所示，一根电荷线密度
为 l的无限长线电荷位于半径为a 的
无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的
0 a
o
l x
d
图1 线电荷与导体圆柱
轴线平行且到轴线的距离为d 。
特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。
满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。
聊城大学物理科学与信息工程学院
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
上半空间( z≥0 ）的电位函数
(x, y, z) q [
1
1
]
4π x2 y2 (z h)2 x2 y2 (z h)2
7
(z 0)
导体平面上的感应电荷密度为
S
z
z0
aa r b
R
Oo q
d
R' q'
分析，可得到
d'
q a q, d
d a2 d
| q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
聊城大学物理科学与信息工程学院
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题
15
球壳内的电位
q
1
a
(r a)
球面上的感应电荷面密度为
S
r
ra
4πa(a2
q(d 2 a2)
d 2 2ad cos )3
2
a
P rR
R' q q'
2020年高中物理竞赛—电磁学B04点电荷对球面导体边界的镜像(共14张PPT)
Q
d2
d1
l
1
l '
1
]0
ra 2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d '2 2ad 'cos
l l
d (a2
l
d2 '0
)
l
'
d
'(a2
d
'2
)
0
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' （l 舍去）
d
四、点电荷对电介质分界面的镜像
问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷， 1 空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。 2
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷
zq h O
等效极化电荷作用。
区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q′共同产生
区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷q 共同产生
zq
z q q
1
h R1 P
h O R2
O h
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
二、点电荷对球面导体边界的镜像
点电荷对接地球面导体边界的镜像 镜像电荷
镜像电荷位于球心与电荷q连线上。
令镜像电荷电量为 q ' ，与球心距离 为 d ' 。要保持边界条件不变，则：
在空间中任意点 P(r, ) 处电位为： 1 [ q q'] 4 R r ' R r2 d 2 2rd cos r '
由边界条件可知：
0 ra
1 [ q q '] ra 4 R r '
高中物理复习提升-镜像法的总结
关于镜像法的总结一、理论依据唯一性定理：它指出了静态场边值问题具有唯一解的条件，在边界面S 上的任一点只需给定ϕ或nϕ∂∂的值，而不能同时给定两者的值。
镜像法的求解思想是：所有研究的区域边界是有规则的导体或介质界面、区域内只有一个或几个点电荷或线电荷时，设法不改变所求区域的电荷分布、在区域的边界外一定位置放置一个或几个镜像电荷来代替导体边界上感应电荷或介质边界上的极化电荷对外的作用。
这样，便把求解泊松方程及边界条件的解的问题，转化为求解几个点电荷及镜像电荷在空间产生场的问题。
二、镜像电荷法求导体球壳电场镜像电荷法是指在待求电场区域之外, 用假想电荷来等效原边界面上的感应电荷或极化电荷的作用, 只要保证求解空间内的全部边值条件得到满足,所得到的解就是唯一正确的解. 运用镜像电荷法求解静电场边值问题的关键根据唯一性定理找出电势满足的全部定解条件, 并由这些边值条件来决定像电荷的量值和位置. 对于平面导体附近有点电荷、球面导体附近有点电荷, 求出空间各点的电势及电场强度问题, 可以采用镜像电荷法来处理, 能够省去一些复杂的数学运算, 使问题巧妙地得到解决.比如, 接地空心导体球的内外半径分别为R1 和R2 , 在球内离球心为a( a< R 1 ) 处置一点电荷Q, 求球腔内的电势。
如图1 所示, 由于接地导体球壳的静电屏蔽作用, 可以得知R \R1的区域电势为零, 依据镜像电荷法规则, 假想点电荷Qc 应代替球壳面上感应电荷对空间电场的作用, 且满足球壳上电势U= 0 的边值条件. 由对称性可知, 假想点电荷Qc 必在OQ 连线上.设P 为球壳内表面上任一点, 由边界条件得'0'Q Q r r +=，式中r 为Q 到P 的距离, r’为Q’到P 的距离, 则''r Q r Q==常数 (1) 从图中可以看出, 只要选Qc 在合适的位置就可使'OQ P OPQ ∆∆, 则1'R r r a==常数 (2) 图1 设b 为Q’到球心的距离, 由两三角形相似条件可得R1 / a= b/ R, 即像电荷Q’的位置为21R b a= (3)由( 1) 和( 2) 式可求出像电荷Qc 的大小为1'R Q Q a=-(4) 则球腔内任一点P 的电势为11222200/11()()4'42cos 2cos QR QR a Q Qr r a R a Ra R b Rb ϕπεπεθθ=-=-+-+- (5)根据电势与电场强度的关系式E ϕ=-∇, 就可以求出电场强度.通过上面的分析运算可以看出, 采用镜像电荷法不仅解题思路清晰, 而且比分离变量法简单且更容易掌握。
镜像法(课堂PPT)
第3章 静电场及其边值问题的解法
1
d1
q d2
2
电位函数
q (1111) 4π R R1 R2 R3
q1
d1
d2 R1
d1 q R d2
d2 R3 q3 d1
R2 d2
d1
q2
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 ， R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所 求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；
.
13
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界 条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；
高中物理课件-镜像法
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Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
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y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
x
-Q（a, -b, 0）
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（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
1
]
8 –7 电势
第八章静电场
8 –7 电势
第八章静电场
四.等势面: 电场中电势相同的各点构成的面
等量同号点电荷的电场 正点电荷的电场
等量异号点电荷的电场
孤立带电体的电场
匀强电场
等差等势面： 两个相邻的 等势面间的 电势之差是 相等的
说明：
1.电场线与等势面垂直 2.电场线由高等势面指向低等势面，等势面不相交 3.在同一等势面上移动电荷电场力不做功 4.相邻两个等势面间的电势差相等，场强大的地方
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(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
。
的出现，又出现了
出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意 不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：
(4.4.2.1) 电场强度：
(4.4.2.2) 其中， 感应电荷：
=>
(4.4.2.3) 电场力：
(4.4.2.4)
图4.4.2 点电荷的平面镜像
无限长单导线对平面的镜像
图4.4.3 单导线的平面镜像
。k为常数。由图可知
、
。所以可得
(4.4.4.5) 这是一个圆方程。其参数为 圆心位置：
(4.4.4.6) 半径：
(4.4.4.7) 即等位线为一簇圆，其圆心自然是位 于等位圆的圆柱面的几何轴心上。圆 心和半径都是k的函数。实际问题往往 是这样：知道两条平行导线的半径及 相互间的距离，而需要确定电轴的位 置。这就要找到如图示的b.R.d之间的 图 关系。 求两个导体圆柱间单位长度的电 容
的关系进行试探求解。同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两 端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即
(4.4.4.1)
(4.4.4.2) 代入
的关系后，上面两方程解得 (4.4.4.3)
求解电位： 圆柱外任一点的电位为
(4.4.4.4) 其中 、 分别是 、 到场点的距离。
（1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。 （2）线电荷对不接地、净电荷不为零的导体圆柱的镜像
圆柱面镜像2
给定电轴，确定几何轴位置和等位面
两条互相平行的导线，其线电荷密 度分别为
和-
。
视这两条极细的带电导线分别为两 个电轴。
求解几何轴的位置 可以直接写出P点的电位为
由图可见，XOZ平面为零电位 面，即
图4.4.10 确定两个给定电轴 的几何轴
时，
。 于是可知常数C为零，则
的表达式为
，取（ ）为常数就可得到等位线，即取
列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
求解镜像电荷的大小和位置：
镜像电荷
镜像离球心距离
……
……
……
……
式中
求解电位、对地电容：
球体的点电荷为
(4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷 、 、 、…产生的，但 和 这对电荷、 和 这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独 置于球心的电荷使金属球具有电位 ，其值为
与地面平行的极长的单导线，半径为a，离地高度为h。
用位于地面下方h处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条 件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为
） 电位：
(4.4.2.5) 对地电容：
(4.4.2.6
平面镜像2
无限长均匀双线传输线对平面的镜 像
与地面平行的均匀双线传输线，半径为 a，离地高度为h，导线间距离为d，导线 一带正电荷+ ，导线二带负电荷。 用位于地面下方h处的镜像双导线代替地 图4.4.4 无限长均匀传输线对 面上的感应电荷，边界条件维持不变。 地面的镜像 将地面取消而代之以镜像双导线。 求解电位：
镜像法
思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区 域。
使用范围
界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤
确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。
(4.4.2.8)
(4.4.2.9) 平行导线间单位长度电容：
(4.4.2.10) 其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维
持不变。
与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐 射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放 置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天 线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
两根无限长平行圆柱， 半径均为a，轴线距离位 D。求两圆柱间单位长度上 的电容。
例题图4.10
把圆柱看成两平行线电荷 及的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。
这里 和 可由D和a定出。即 、
解得
、
对于左边圆柱面上的点，有这样的关系
，
故左边圆柱的电位为
对于右边圆柱上的点有 ，电位为
单位长度单导线的对地电容
可表示为
（式1）。 式中
为单导线的电位，
为地电位（
＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求 出
，用镜像法求解。
例题图4.9
单位长度单导线的对地电容 可表示为
（式1）。
式中 为单导线的电位， 为地电位（ ＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要求出 。
令 （近似认为 均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像 单导线（带 ）。则原地面上方任意点P的电位为
平面镜像1
点电荷对平面的镜像
(a) 无限大接地导体平面上方有
（b） 用镜像电荷-q代替导体平面上方
点电荷q
的感应电荷
图4.4.1 点电荷的平面镜像
在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体 平面的高度为h。
用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电 荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。
球面镜像2
无穷镜像问题
（a） 图4.4.8 无穷镜像问题
半径为a的金属球，带电荷 ，球心离地高度h。
（b）
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条 件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷 集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面
及像电荷
图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像
在原球面上任一点P处产生的电 位应为零，即
(.4.3.1)
我们在球面上取通过 的直径的两端点，对于这两点的电位式为
(4.4.3.2)
(4.4.3.3) 以上两方程解得
(4.4.3.4)
(4.4.3.5) 求解电位、电场强度、感应电荷： 的表达式表示对于球面上任一点P， 与 是相似三角形，即
两圆柱间电压为 故两圆柱间单位长度的电容为
如果 ，则 。
掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。
，与圆柱轴相距为
。
用位于导体圆柱内，距离圆 柱轴线
处的镜像线电荷
代替导体圆柱上的感应电 荷，边界条件维持不变，即 导体圆柱面为零电位面。
图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像
去掉导体圆柱，用原线电荷 和镜像线电荷求解导体圆柱 外区域场，注意不能用原电 荷和镜像电荷求解导体圆柱 内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置： 我们用
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6) 采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与 轴重合，则球外任一点 处有
(4.4.3.7) (4.4.3.8) 这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.9)
(4.4.3.10) r=a时球面上的感应电荷密度为
(4.4.3.11)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
（式2）。 式中
、 分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。由2式可知 为
。 把此式代入1式则得单导线对地电容为
（式3）。 有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容
为
（式4）。 式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线
半径。若D>>a， 就可以简化为式4的近似式。
点电荷对相交接地平面的镜像