概率论期末考试公式复习Word版

概率论期末考试公式复习

对偶律: ，B A B A = ； B A AB = 概率的性质 1. P (Ø)=0；

2. A 1,A 2,…, A n 两两互斥时：P (A 1∪A 2∪…∪A n )=P (A 1)+…+P (A n ),

3.)(1)(A P A P -=(A 是 A 不发生)(D )

4.若A ÌB , 则有: P (A )≤ P(B )，P (AB ) = P (A )，P (B -A )=P (B )-P (A )，P (A ∪B )=P (B ).

5.)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃(D ), P (B -A )=P (B )-P (AB )。

古典概率模型中，事件A 的概率

基本事件总数

中包含基本事件数A A P =

)(

从n 件商品中取出k 商品，共有)!(!!k n k n C k

n -=

[即⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛k n ]种取法[12)1(!⋅⋅⋅-⋅= n n n ]。 D 1- P (B )>0，称下式为事件B 发生条件下，事件A 的条件概率

, )

()

()|(B P AB P B A P =

乘法公式：若P (B )>0，则 P (AB )=P (B )P (A |B ) ；若P (A )>0，则P (AB )=P (A )P (B |A )。

设A 1, A 2,…,A n 是两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n =Ω，且P (A i )>0, i =1, 2,…, n ; 另有一事件B , 它总是与A 1, A 2,…, A n 之一同时发生，则

全概率公式：∑==n

i i i A B P A P B P 1)()()(｜

贝叶斯公式：. ,,2 ,1 , )

()()()()|(1

n i A B P A P A B P A P B A P n

j j j i i i ==∑=｜｜(D 1)

随机变量 X 的分布函数：F (x )= P (X ≤x ), -∞< x <∞。 性质：P (a 1

D 2- 定义 ：设离散型随机变量 X 所有可能取的值为,,,21 x x 且有

。

,2,1,)( ===k p x X P k k 则称p 1 , p 2, …为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。其中 p 1 , p 2, …满足

;,2,1 ,0)1( =≥k p k .1(2))

n(1i =∑∞=k p

离散型随机变量的分布函数(累计频率)：

==≤=∑≤x

x k k p x X P x F )()(⎪⎪

⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧≤<≤<≤<+∞x x x x x x x x x x p p p n )(322112

111

)()(1--=k k k x F x F p ，;,2,1 =k

k k n k p x X E )(1)(∞=∑=，k

k n k p x X E 2

)(12)(∞=∑=，22)]([)()(X E X E X D -=(D 2)。 D 3- X ~ B (n , p )-参数为 (n , p ) 的二项分布:用X 表示 n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，

则：n k p p C k X P k n k k

n , ,1 ,0 ,)1()( =-==-(D 3).

np X E =)(，)1()(p np X D -=.

X ～P (λ)-参数为λ的泊松分布：. ,2 ,1 ,0 ,!

)();( ====-k k e

k X P k p k

λλλ

其中λ>0 是常

数，

λ=)(X E ，λ=)(X D 。

X 为连续型随机变量：有密度函数 0)(≥x f 使： , )()(1

1

11⎰=≤

设其它b x a x h x f <≤⎩⎨⎧=0

)()( ，密度函数的性质： 1 )(⎰∞∞-=dx x f 1 )(⎰=b a

dx x h 或(D ) 分布函数=≤=)()(x

X P x F x b b x a a x dt t h x

a ≤<≤<⎪⎩

⎪⎨⎧⎰1)(0

在 f (x )的连续点，有：. )()(x f x F ='

⎰=b

a

dx x h x X E , )()(⎰=b

a

dx x h x X E , )()(2222)]([)()(X E X E X D -=

D 4- ),(~2σμN X ：参数为常数μ和σ>0的正态分布：密度函数为

∞<<∞-=--x e

x f x ,21

)(2

22)(σμσ

π

μ=)(X E ，2)(σ=X D 。

标准正态分布，记作)1,0(~N X ，0)(=X E ，1)(=X D ：

).

( d 21)( 21)(2

/2

/22可查表得出分布函数：，

，密度函数：t e x x e x x t x ⎰∞

---=Φ∞<<∞-=π

πϕ ，，若) (~ 2σμN X )1,0(~N X σ

μ

-,

}{11b X a P <<. 11⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=σμσμa b }{1b X P <.1⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ=σμb )(1)( 0 x x x Φ-=-Φ>时，当(D 4) X ～U(a , b )-均匀分布，密度函数：

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.

,0, ,1

)(其他b x a a

b x f 2/)()(b a X E +=，12/)()(2a b X D -=.

X ~E(λ)-参数为λ的指数分布, 密度函数：

0)( . 0 , 0 , 0 , )(>⎩

⎨⎧<≥=-λλλx x e x f x ，

λ/1)(=X E ，2/1)(λ=X D .

X 1，X 2独立，.2,1),,(~2=i N X i i i σμ a X 1+b X 2+c ~N (a μ1+b μ2+c ，a 2σ12+b 2σ22)