人教版高中数学选修2-2教学案2.2直接证明与间接证明(学生版)

合集下载

人教版高中数学选修1-2 2.2直接证明与间接证明(教案)(共3课时) .doc

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....na a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,abc R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥.先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： ① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）→ 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B为锐角，且tan tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.板书设计课题知识点小结例题练习教学反思第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）三维目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

人教版选修2-2第二章直接证明与间接证明含解析高中数学教学设计试卷分析.doc

重点列表:重占名称重要指数重点1分析法与综合法★ ★★重点2反证法★ ★★★重点详解：1.直接证明⑴综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的,最后推导出所要证明的结论___ ,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或法.(2)分析法：一般地，从要证明的_______ 出发，逐步寻求使它成立的_____________ ,直至最后，把要证明的_________ 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推证法或 __________ 法.(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.2.间接证明反证法：一般地，假设原命题___________ (即在原命题的条件下，结论____________ ),经过_____________ ,最后得出___________ ,因此说明假设_________ ,从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法是间接证明的一种基本方法.【答案】1.(1)推理论证成立由因导果(2)结论充分条件结论执果索因2.不成立不成立正确的推理矛盾错误重点1：分析法与综合法【要点解读】1.综合法证题是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件.综合法的解题步骤用符号表示是：P(己知)今Q13Q2今Q3今…今Qn^Q(结论).2.分析法是一种“执果索因”的证明方法，它的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“己知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件.分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论)u BiU B2<= ...<= B店A(已知).3.分析法与综合法的综合应用(1)分析法和综合法是两种思路相反的证明推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推.(2)二者各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节.在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述.【考向1］综合法【例题】设a, b, c>0,求证：3(a3+b3+c3)>(a1 2+fe2+c2)• (a+/?+c).证明：'■ b, a2 + b左2ab>・・・ ®+b2) Q+b) >2ab(a+b),.'.a3 + b3 + a2b+ab^2a2b+2ab2,/■a3 + b3>a2b+ab2,①同理，b3 + c3>b2c+bc2, ②a3 + c3>a2c+ac2^ ③① + ② + ③得2(a3 + b3 + c3)>a2b + ab2 + b2c + bc2 + a2c + ac2, 3(a3 + b3 + c3)>(a3 + a2b +a2c) + (b3 + ab2+b2c)+(c3 + ac2 + bc2)=a2(a+b+c)+b2(b+a+c)+c2(c+a+b)=(a2+b2 + c2)・(a+b+c).・•・ 3 (a3+b3 + c3)>(a2+b2+c2) • (a+b+c).【评析】在证明本题的过程中，若直接将结论展开证明，虽然可能成功，但相比从已知公式定理出发进行证明，有一定的复杂性，所以在使用分析法出现困难时，应及时回顾相关的知识背景，分析通过怎样的配凑或变形可以使己知公式定理接近结论，才是明智之举.【考向2】分析法1_____ 2 2只要证、^a2+占+2Na+*+迈，Va>0,故只要证(\^a2+^+2)£+知迈)，即a2+占+°\/a2+吉+也2+2+吉+2迈(a+*)+2,从而只要证2yJa2+吉Ri(a+》,只要证4(a2+^2(a2 + 2+^),即a2+^>2,而该不等式显然成立(a=l时取等号)，故原不等式成立.重点2：反证法【要点解读】1.用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；(2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件相矛盾的结果：(4)断定产生矛盾的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.2.可用反证法证明的数学命题类型(1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题；(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明的命题.3.常见的“结论词”与“反设词”【考向1］角度的判断【例题】在△ABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别为a, b, c.若a, b, c三边的倒数成等差数列.求证：ZB<号.证明：若a, b, c的倒数成等差数列，贝冲+2=总假设Bg，从而ZB是AABC的最大角,根据“大角对大边”得b>a, b>c.所以》右相加得彳+》¥，这与++£=¥矛盾，所以假设不成立.因此ZB弓.【评析】相比直接证明，本题采用反证法，能快速解决问题，可见证题方向的重要性.同时，熟练掌握一些适用面较宽的解题方法，如(三角)换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、坐标法、数形结合法、构造法等，才能在答题时，将好的方法信手拈来.【考向2】存在性的判断已知函数J｛x)=ov24-bx+c(a^O), a, b, c均为整数，且几0),川)均为奇数.求证：几r)=0无整数根.证明：假设恥)=0有整数根D,则an2+bD+c=0(iiEZ)・而艮0),艮1)为奇数，即c为奇数小+b+c 为奇数.则4 b, c同时为奇数，或呂，b同时为偶数，c为奇数.当D为奇数时，an2+bn为偶数；当D为偶数时，an2+bn也为偶数，即an2+bn+c为奇数，与an2+ bn+c—0 矛盾.・・・f(x)=0无整数根.难点列表：难点详解：难点1：证明方法的综合应用【要点解读】综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显.同时，在数列、三角函数、解析儿何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题.(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证.用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反血成立.(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾.(3)否定反设，得出原命题结论成立.【考向1】分析法与综合法综合【例题】给定数列al, a2,…，an,对i=l, 2,…，n—1,该数列前i项的最大值记为Ai, 后n—i 项ai +1, ai+2,…，an 的最小值记为Bi, di=Ai —Bi.⑴设数列｛an｝为3, 4, 7, 1,写出dl, d2, d3的值;(2)设al, a2,…，an(n>4)是公比大于1的等比数列,且al>0,证明：dl, d2,…，dn—1是等比数列；(3)设dl, d2,…，dn—l是公差大于0的等差数列，且dl>0,证明：al, a2,…，an-l是等差数列.【解析】⑴当i=l时，Al=3, Bl=l,故dl=Al — El=2,同理可求得d2=3, ⑵证明：因为al>0,公比炉1,所以耳1, a2>・・・> an是递増数列・因此〉对i=l> 2〉n-1, Ai=ai> Bi=ai+1.于是对i=l> 2> D—di—Ai—Bi—ai_ai+1—al(l —q)qi— 1.因此di^O 且=q〔i=「2,口一2),即dl, d2,…，dn-1是等比数列.(3)证明：设d为dl, d2,…，dn-l的公差.对l<i<n-2,因为BiWBi + 1, d>0,所以Ai+1 =Bi+1 +di+1 NBi+di+d>Bi + di=Ai.又因为Ai+l=max｛Ai, ai+1｝,所以ai+1 =Ai+l>Ai2ai.从而al, a2,…，an—1是递增数列.因此Ai = ai(i=l, 2,…，n— 1).又因为dl>0, Bl=Al-dl=al-dl<al,所以Bl<al<a2<---<an— 1.因此an=Bl.所以Bl=B2 = ... = Bn— 1 =an.所以ai=Ai=Bi+di = an+di.又di+l-di=d,因此对i=l, 2,・•・，n-2 都有ai+l-ai=di+l-di=d,即al, a2»…，an—1是等差数列.【考向2】反证法的综合应用【例题】设｛為｝是公比为g的等比数列.(1)推导｛荡｝的前兄项和公式:(2)设q知,证明数列｛a n+\｝不是等比数列.【解析】⑴设伽｝的前n项和为Sn,当q=l 时〉Sn=al + al +... + al=Dalj当q*l 时〉Sn=al + alq+ alq2+... + alqn— 1 ①qSn=alq+alq2 +.. _ + a lqn ②①—②得〉(1 - q)Sn—al- alqn^.小al (1—qn)•. Sn—j ,i—qnal, q=l,・：Sn=v al (1 —qn)—；~1—，qHl.i-q r(2)证明：假设｛an+1｝是等比数列，则对任意的kWN*,(ak+1 + l)2 = (ak+ l)(ak+2+1),aR+ 1 +2ak+ 1 + I = akak + 2 + ak + ak + 2+ 1,a2q2k+2alqk=alqk—1 • alqk+l+alqk—1+alqk+l.TalHO, /.2qk=qk— 1 +qk+1.TqHO, /.q2 —2q+1 =0,・・.q=l,这与已知矛盾.・・・假设不成立，故｛an+1｝不是等比数列.【名师点睛】对于从正面入手较困难的证明问题，一般优先考虑间接证明，即“正难则反”.本例中(1)可以分公比q等于1和不等于1两种情况讨论，在公比不等于1时利用错位相减法推导；第(2)小题屮结论出现“不是”的字样可考虑反证法证明.注意反证法证明问题的解题步骤.难点2：数学归纳法【要点解读】1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值nOCnOeN*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设___________ (kNnO, k㈢*)时命题成立，证明当 ______________ 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有___________ 都成立.2. _____________________________ 数学归纳法主要用于解决与有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可. 【答案】1. (2)n = k n = k+1 正整数 n2. 正整数【考向1］证明等式【例题】证明：1一知*一土+…+*7一/=计?+出+…+却曲). 证明：(1)当11=1时，左边=1—*=*,右边=*,等式成立.〔2)假设n=k(k€N*)时等式成立，即i-l.l-l. +__丄=丄+丄++ 丄2 3 4 …十 2k —l 2k _k+l k+22k^那么，当D=k+1时,T+卜¥+…+若-殳+詁亍爲=lc+2 + k+3 + …+2k +2k+l +2k + 2-根据(1)和(2),可知等式对任何n$N*都成立.【评析】用数学归纳法证明与正整数n 有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n=k 到n=k+l 时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明. 【考向2】证明不等式用数学归纳法证明：计y+鳩+...+册＞菁(必2 ,诈N). 证明：(1)当n=2时，左边=詁「+亍*7=占＞务成立.(2)假设n=k(kN2, k^N)时不等式成立，即匸”+计二+…+匸七＞菁成立，则当n = k+l 时，__1 =k+T+ --- +—+ -----k+2 …2k 十 2k+l1 2k+2左边=k+2+，，-+k+k+2k+ 1 +2k+2FTT +k+2 + …+k+k +2k+1 +2k+2_k+7(2k+l) (2k+2)--综合(1)(2)知，原不等式成立.【评析】从n = k 到n = k+l 时，左边增加的项为詁「+詁3—击，证明时应注意左边代数式的变化规律，弄清增加的项后再恰当使用放缩法证明. 【趁热打铁】1. 用分析法证明：欲使①A>B,只需②C<D 这里①是②的() A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 设a, b, c 是不全相等的实数，给出下列判断： ① (a 一硏+(b-c)2+(c- a)2#)；② Qb, a<b 及a=b 中至少有一个成立； ③ dfc, b±c,辱b 不能同时成立，其中正确判断的个数是() A. 0B. 1C. 2D. 33・用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60"时，假设正确的是 () A. 假设三个内角都不大于60。

人教版数学高二A版选修2-2课堂探究 2.2 直接证明与间接证明(第1课时)

课堂探究探究一综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.思路分析：利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．证明：∵a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ＞0， 1b －1＝1－b b ＝a ＋c b ≥2ac b ＞0， 1c －1＝1－c c ＝a ＋b c ≥2ab c＞0，以上三式对应相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1≥8×bc a ×ac b ×ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴原不等式成立．反思综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )．②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别是b a ＋a b≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提条件)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞6，求证：a－3－a－4＜a－5－a－6.思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a－3－a－4＜a－5－a－6，只需证a－3＋a－6＜a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2＜(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2(a－3)(a－6)＜2a－9＋2(a－5)(a－4)⇐(a－3)(a－6)＜(a－5)(a－4)⇐(a－3)(a－6)＜(a－5)(a－4)⇐18＜20，因为18＜20显然成立，所以原不等式a－3－a－4＜a－5－a－6成立．探究三综合法和分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：→→…→←…←←其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．【典型例题4】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.思路分析：本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．证明：要证lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c，只需证lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc . 因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．反思对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．探究四易错辨析易错点：分析法与综合法相混淆而导致出错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6. 错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数，所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。

新人教A版选修(2-2)2.2《直接证明与间接证明》word教案

高三一轮复习文科数学学案姓名：班级：使用时间：课题： §9直接证明与间接证明主备人：审核人：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．——反证法．了解反证法的思想过程及特点.1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．.1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°2．若函数F (x )＝f (x )＋f (－x )与G (x )＝f (x )－f (－x )，其中f (x )的定义域为R ，且f (x )不恒为零，则 ( )A ．F (x )、G (x )均为偶函数B ．F (x )为奇函数，G (x )为偶函数C ．F (x )与G (x )均为奇函数D ．F (x )为偶函数，G (x )为奇函数3．命题“对于任意角θ，co θ4s －si θ4n ＝co θ2s ”的证明：“co θ4s －si θ4n ＝(co θ2s －sin θ2n )(co θ2s +sin θ2n )＝co θ2s －sin θ2n ＝co θ2s ”过程应用了 ( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是________．5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b应满足的条件是________．因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．6、(2011·全国高考)设数列{a n}满足a1＝0且11－a n＋1－11－a n＝1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1－a n＋1n，记S n是数列{b n}的前n项和，证明：S n<1.7、用分析法证明：若a >0，则 a 2＋1a2－2≥ a ＋1a －2.8、求证：5,3,2不可能成等差数列。

湖北省巴东一中数学(人教A)选修2-2教案 2.2直接证明与间接证明2(理)

§2.2.1 综合法和分析法(2)【学情分析】：前两节课分别学习了综合法与分析法的思考过程、特点。

本节是在前两节课的基础上继续运用综合法与分析法证明数学问题。

在解决问题时，往往会将这两种直接证明的方法结合起来使用，本节课的例4就是运用这种证明方式。

【教学目标】：（1）知识与技能：进一步了解直接证明的两种基本方法——综合法与分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：进一步运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：运用综合法、分析法证明数学问题。

【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题或将两种方法结合使用；分析法证明问题的正确格式【教学过程设计】：证：+1tan【练习与测试】：1.用分析法证明：欲使①A>B ，只需②C<D ，这里①是②的（）A ．充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件答案：B解：由分析法的证题思路知：②⇒①，但①不一定推出②，故选B 。

2．2,M N ==则( )A ．M≥N B. M>N C. M≤N D. M<N 答案：B解：M>N ⇐222)>⇐88->-<∵15<24显然成立，∴选B3. 若ba b a R b a +≥+∈+22121:,,证明证明：要证原式成立，只需证ba ab b a +≥+22，因为+∈R b a , 所以只需证ab b ab a ab b a 424)(222≥++≥+即证要证上式成立，只需证0)(,02222≥-≥+-b a b ab a 即显然成立，所以原不等式成立。

4. 若,,a b R +∈11223323求证:(a +b )>(a +b ) 证明： ∵,a b R +∈∴6()⇐⇐11112233226332233322323(a +b )>(a +b )(a +b ))>((a +b )(a +b )>(a +b ) 22223()2a b a b ⇐+⇐+>642246633633a +3a b +3a b +b >a +2a b b a b 223()2a b ⇐+>ab ，显然成立，所以原式成立。

2018-2019学年人教A版选修2-2 2.2直接证明与间接证明(2) 学案

第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明2------------ 学案一、学习目标(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.二、自主学习1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[化解疑难]1．反证法实质用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p，否定结论q ―→导致逻辑矛盾―→“p且綈q”为假―→“若p，则q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．三、合作探究探究1：用反证法证明否定性命题[例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b 为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．[类题通法]1．用反证法证明否定性命题的适用类型一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．2．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．[活学活用1]设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.探究2：用反证法证明唯一性命题:[例2]已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．[证明]由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一个实根x＝b a.如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，从而有ax1＝b，ax2＝b，两式作差得a(x1－x2)＝0.因为x1≠x2，从而a＝0，这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立．即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．[类题通法]用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．[活学活用2]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立.探究3：用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题[例3]已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.[证明]假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100，这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100矛盾，故假设错误．所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. [类题通法]常见“结论词”与“反设词”结论词至少有一个至多有一个至少有n 个至多有n 个反设词一个也没有(不存在) 至少有两个至多有(n －1)个至少有(n ＋1)个结论词只有一个对所有x 成立对任意x 不成立反设词没有或至少有两个存在某个x 不成立存在某个x 成立结论词都是一定是 p 或q p 且q 反设词不都是不一定是綈p 且綈q綈p 或綈q[活学活用3]已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数．求证：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数 y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0. 因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．四、自主小测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③D ．①②④2．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 3．下列命题适合用反证法证明的是 (填序号)．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根；②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋yx 中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．4．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设．5．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．参考答案1解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．2解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B 正确．3解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．答案：①②③④4解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交5解：若三个方程均无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2－4－4a ＋3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2－4－2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1.设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －32＜a ＜－1，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1，故所求实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≤－32或a ≥－1.。

人教版高中数学选修2-2直接证明与间接证明教学讲义学生版

学生讲义轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为：故要从A 推理到D ，由A 推演出的中间结论未必唯一，如B 、B 1、B 2等，可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等．所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”．2.综合法证明不等式时常用的不等式（1）a 2+b 2≥2ab （当且仅当a =b 时取“=”号）；（2）2a b ab +≥（a ，b ∈R*，当且仅当a =b 时取“=”号）；（3）a 2≥0，|a |≥0，(a －b )2≥0；（4）2b a a b +≥（a ，b 同号）；2b a a b+≤-（a ，b 异号）；（5）a ，b ∈R ，2221()2a b a b +≥+，（6）不等式的性质定理1 对称性：a ＞b ⇔b ＜a ．定理2 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭．定理3 加法性质：a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭．推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭．定理4 乘法性质：0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭．推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭．推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭．定理5 开方性质：0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭． 3.分析法这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”．分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．命题“若P则Q”的推演过程可表示为：要点二：间接证明间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．反证法的格式：用反证法证明命题“若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：要点诠释：（1）反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤：（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设【变式2】在△ABC中，若a2=b(b+c)，求证：A=2B．例3．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．求证：（1）P A∥平面EDB；（2）PB⊥平面EFD．举一反三：【变式1】如图，设在四面体PABC中，90==，D是AC的中点.∠=o，PA PB PCABC求证：PD垂直于ABC∆所在的平面.【变式2】如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA平面ABCD，且SA=AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：（1）EF⊥CD；（2）平面SCD⊥平面SCE．类型二：分析法证明例4. 设0a >、0b >，且a b ≠，用分析法证明：3322a b a b ab ++＞．举一反三：【变式1】设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：2222ac bc a b c d +≤+⋅+．【变式2】求证：123(3)a a a a a --<---≥【变式3】用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+aa a a ．例5. 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +＞lg a +lg b +lg c ．举一反三：【变式1】设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +【变式2】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++类型三：反证法证明例6．证明357，，不可能成等差数列．举一反三：【变式1】求证：函数3()cos f x x =不是周期函数．【变式2】设{a n}是公比为q的等比数列，S n为它的前n项和．（1）求证：数列{S n}不是等比数列．（2）数列{S n}是等差数列吗？为什么？【变式3】已知数列{a n}的前n项的和S n满足S n＝2a n－3n (n∈N*)．(1)求证{a n＋3}为等比数列，并求{a n}的通项公式；(2)数列{a n}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．例7. 已知a，b，c∈（0，1），求证：(1―a)b，(1―b)c，(1－c)a中至少有一个小于或等于14．举一反三：【变式】已知,,,0,1a b c R a b c abc∈++==，求证：,,a b c中至少有一个大于3 2 .例8．已知：直线a以及A∉a．求证：经过直线a和点A有且只有一个平面．举一反三：【变式】求证：两条相交直线有且只有一个交点．励学国际学生课后作业年级：上课次数：作业上交时间：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：宋冰洁作业内容作业得分作业内容【巩固练习】一、选择题14.14．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.15. 如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．。

高中数学教案选修2-2《2.2.1 直接证明》最新修正版

教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点：1．合法的证明过程和应用．2．分析法的证明过程和应用．教学过程：一、预习1．问题如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB ＝CD ，BC ＝DA ．证明连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以DA BC CD AB ////，，故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．因为 AC ＝CA ，所以 △ABC ≌△CDA ，故 AB ＝CD ，BC ＝DA ．思考以上证明方法有什么特点？上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．二、新课1．定义．直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立．2．直接证明的一般形式．本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式2a b ＋ (00)a b ＞，＞？证法1 对于正数a ，b ，有2002a b a b a b ⇒⇒＋≥＋－＋≥2a b ＋，只要证：a b ＋，只要证：0a b ≤－，只要证：20≤，因为最后一个不等式成立，故结论成立．上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明．不同：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．综合法和分析法的推证过程如下：例1 如图，已知AB ，CD 交于点O ， △ACO ≌△BDO ，AE ＝BF ，⇐⇐⇐⇒⇒⇒求证：CE＝DF．证法一：（综合法）因为△ACO≌△BDO，所以CO＝DO，AO＝BO，因为AE＝BF（已知），所以EO＝FO，所以∠EOC＝∠FOD（对顶角相等），所以△EOC≌△FOD，所以EC＝FD．证法二：（分析法）证（分析法）要证明CE＝FD，只需证明△EOC≌△FOD为此只需证明CO DOEOC FOD EO FO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，为了证明CO＝DO，只需△ACO≌△BDO，为了证明EO＝FO，只需证明AO＝BO（因为已知AE＝BF ），也只需△ACO≌△BDO（已知），因为∠EOC与∠FOD是对顶角，所以它们相等，从而△EOC≌△FOD成立，因此命题成立．三、练习1．若a＞0，b＞0，求证：a b＋．2．若│a │＜1，│b │＜1，求证：11a b ab ＋＜＋． 3．△ABC 三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°．四、回顾小结分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述．通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程．五、作业课本P87第1，2，3，4题．。

人教课标版高中数学选修1-2《直接证明与间接证明(第2课时)》教案-新版

2.2.2直接证明与间接证明（第2课时）一、教学目标1．核心素养培养学生用分析法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力．2．学习目标（1）结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．（2）会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．学习重点掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．4．学习难点根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．二、教学设计1．预习任务任务1预习教材P38—P41，思考：什么是分析法？分析法的本质是什么？任务2分析的思考过程、特点分别是什么？任务3分析法证明问题的方法、步骤是怎样的？2．预习自测1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：Cb2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．（二）课堂设计1．知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题．证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2．展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？从结论开始．2．证题思路是什么？寻求每一步成立的充分条件．2．问题探究问题探究一●活动一什么是分析法？1．分析法：一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法．●活动二分析法证明问题的模式①用分析法证明的逻辑关系是：11223()()()Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→L (得到一个明显成立的条件)②分析法的思维特点是：执果索因(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．问题探究二怎样用分析法处理问题分析法证题的一般步骤是：要证明命题Q 为真，只需要证明命题1P 为真，从而有………………这只需要证明命题2P 为真，从而又有…………………这只需要证明命题P （P 是一个明显成立的条件）．而已知P 为真，故命题Q 必为真．●活动一用分析法证明不等式例1设a ＞b ＞0，求证： a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】详解：因为a ＞b ＞0，所以a 2＞ab ＞b 2，所以ab －b 2＞0．要证 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a － b )，只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b2＞a 2－ab a 2＋ab ，只需证 a 2－b 2－ab －b 2＜a 2＋ab ．而a 2－b 2＜a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立．所以 a 2－b 2＋ ab －b 2＞ a (a －b )成立．点拔：分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用练习：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法，同角三角函数的基本关系，三角函数的符号，两角和的余弦公式】证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0．即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0．∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1．点拔：（1）分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．（2）用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．（3）用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．●活动二用分析法证明其他问题例2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1，设b n ＝2n a n ，证明：数列{b n }是等差数列．【知识点：等差数列，分析法】详解：要证{b n }为等差数列，只要证b n ＋1－b n ＝d (常数)(n ≥1)，即证2n ＋1a n ＋1－2n a n 为常数．即证11112()222n n n n n a a +++-g 为常数，即证2n a n ＋1－2n a n 为常数，2n a n ＋1－2n a n ＝1成立．∴{b n }是等差数列．点拔：(1)利用分析法证明时，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．活学活用练习：已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+=，2sin cos sin θθβ=g ，求证：()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++ 【知识点：分析法，三角恒变换】证明：()222222222222sin sin 111tan 1tan cos cos sin 1tan sin 21tan 121cos cos βααββαααββαβ----=⇐=+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 2222cos sin cos sin 2ββαα-⇐-=222(12sin )12sin αβ⇐-=-224sin 2sin 1αβ⇐-=．由已知得：2224sin sin cos 2sin cos 12sin cos αθθθθθθ=++=+，2sin 2β＝2sin θcos θ，∴4sin 2α－2sin 2β＝1成立，∴()22221tan 1tan 1tan 21tan αβαβ--=++成立． ●活动三综合法和分析法的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．求证：111()()3()a b b c a b c ---+++=++．【知识点：分析法，等差数列，余弦定理】证明：要证111()()3()a b b c a b c ---+++=++，即证113a b b c a b c +=++++，只需证3a b c a b c a b b c+++++=++．化简，得1c a a b b c +=++，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac ．因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以2221cos B=22a cb ac +-=，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立． ∴111()()3()a b b c a b c ---+++=++成立．点拔：（1）综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．（2）在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．●活动四切记用分析法与综合法因逻辑混乱而出错例4 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，若tan αtan β＝16，求证：a ∥b ．【错解】 ∵a ∥b ，且a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，∴tan αtan β＝16，即结论正确．【错因分析】以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．【防范措施】分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．【知识点：向量的平行，三角恒变换，分析法】【正解】分析法：要证明a ∥b ，而a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即要证sin αsin β＝16cos αcos β，即要证sin αcos α·sin βcos β＝16，即要证tan αtan β＝16，而tan αtan β＝16已知，所以结论正确．综合法：∵tan αtan β＝16，∴sin αcos α·sin βcos β＝16，即sin αsin β＝16cos αcos β，∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，即a ＝(4cos α，sin α)与b ＝(sin β，4cos β)共线，∴a ∥b ．3．课堂总结【知识梳理】(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．【难点突破】（1）综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．（2）分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．（3）分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4．随堂检测1．直接证明中最基本的两种证明方法是（）A．类比法和归纳法B．综合法和分析法C．比较法和二分法D．换元法和配方法【知识点：综合与分析法】答案：B根据综合法和分析法的定义可知，二者均为直接证明方法．2．欲证2－3＜6－7，只需要证（）A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)2【知识点：分析法，不等式的证明】答案：C∵2－3＜0，6－7＜0，∴要证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，即证(2＋7)2＜(3＋6)2．3．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了（）A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法答案：B【知识点：综合与分析法】解：符合综合法的证明思路．4．已知a>b>0，试用分析证明a2－b2a2＋b2>a－ba＋b．【知识点：分析法，不等式的性质，不等式的证明】证明：要证明a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b(由a＞b＞0，得a－b＞0)．只需证(a2－b2)(a＋b)＞(a2＋b2)(a－b)，只需证(a＋b)2＞a2＋b2，即2ab＞0，因为a＞b＞0，所以2ab＞0显然成立．因此当a＞b＞0时，a2－b2a2＋b2＞a－ba＋b成立．（三）课后作业基础型自主突破1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有（）A．2个B．3个C．4个D．5个答案：C【知识点：综合与分析法】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．2<(0a ≥)可选择的方法有多种，其中最合理的是（）A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法答案：C【知识点：综合与分析法】要证明< (0a ≥)只需证2727a a ++<++只需证<(7)(3)(4)a a a a +<++，只需证0＜12，故选用分析法最合理．故答案为C3．已知(21)2()21x x a f x +-=+是奇函数，那么实数a 的值等于（）A ．1B ．－1C ．0D ．±1答案：A【知识点：函数的奇偶性，综合法】当1a =时，21()21x x f x -=+，2121()()2121x xx x f x f x -----==-=-++，()f x 为奇函数．当a ＝－1或0时,得不出()f x 为奇函数，故A 正确．答案为A4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是（）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案：A【知识点：函数的单调性，综合法】若满足题目中的条件，则f (x )在(0，＋∞)上为减函数，在A 、B 、C 、D 四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选A ．5．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，－2]B ．[－2,2]C ．[－2，＋∞)D ．[0，＋∞)答案：C【知识点：不等式的证明，综合法】用分离参数法可得a ≥－(|x |＋1|x |)(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立．6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A 、B 的大小关系为________．答案：A B ≥【知识点：不等式的证明，综合法】222()4()022()2()a b a b ab a b A B ab a b ab a b ab a b ++---=-==≥+++．能力型师生共研1．若抛物线y ＝4x 2上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，则点P 的坐标为________．答案：(12，1)【知识点：直线与圆锥曲线的位置关系，综合法】解：数形结合知，曲线y ＝4x 2在点P 处的切线l 与直线y ＝4x －5平行．设l ：y ＝4x ＋b ．将y ＝4x ＋b 代入y ＝4x 2，得4x 2－4x －b ＝0，令△＝0，得b ＝－1．∴4x 2－4x ＋1＝0，∴x ＝12，∴y ＝1．．2．补足下面用分析法证明基本不等式a 2＋b 22≥ab 的步骤：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证____________，只需证____________．由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0；(a －b )2≥0；(a －b )2≥0【知识点：不等式的证明，分析法】解：要证明a 2＋b 22≥ab ，只需证明a 2＋b 2≥2ab ，只需证a 2＋b 2－2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，由于(a －b )2≥0显然成立，因此原不等式成立．3．如下图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD ＝G ．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1．【知识点：分析法，线线垂直，面面垂直，线面垂直】证明：要证明平面B 1EF ⊥面BDD 1B 1，只需证面B 1EF 内有一线垂直于面BDD 1B 1，即EF ⊥面BDD 1B 1．要证EF ⊥面BDD 1B 1，只需证EF 垂直平面BDD 1B 1内两条相交直线即可，即证EF ⊥BD ，EF ⊥B 1G ．而EF ∥AC ，AC ⊥BD ，故EF ⊥BD 成立．故只需证EF ⊥B 1G 即可．又∵△B 1EF 为等腰三角形，EF 的中点为G ，∴B 1G ⊥EF 成立．∴EF ⊥面BDD 1B 1成立，从而问题得证．4．设a ，b >0，且a ≠b ，用分析法证明：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2．【知识点：不等式的证明，分析法】证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．探究型多维突变1．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋b a ≥a ＋b ．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法，分析法】证明：法一 (综合法)：因为a >0，b >0，所以a b ＋b a －a －b ＝(a b －b )＋(b a－a )＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )(1b －1a ) 所以a b ＋b a≥a ＋b ．法二 (分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号，所以(a －b )(a －b )≥0成立，所以a b ＋b a≥a ＋b 成立． 2．已知a 、b 、c 为三角形的三条边，0m >，求证：a b c a m b m c m +>+++．证明：a b c a m b m c m+>+++2()()()ab m a b c a m b m c m ++⇔>+++2()2()ab m a b m c m ab m a b c ++++⇔<++ 22()ab m m ab m a b c-+⇔<++2(2)[()]ab c m m a b ⇔+>-+ ∵(2)0ab m +>，c a b <+，2[()]0m c a b -+<∴上式成立， ∴a b c a m b m c m+>+++．（四）自助餐1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C【知识点：综合法与分析法概念】由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：C【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C【知识点：三角形形状的判定，余弦定理】要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是（）A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α答案：D【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．5．设x>0，y>0，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是（）A．2 2B． 2C．2D．1答案：B【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】解析：要使x＋y≤a x＋y恒成立．只需a≥x＋yx＋y恒成立．设t＝x＋yx＋y，则t2＝x＋y＋2xyx＋y≤2（x＋y）x＋y，∴t2≤2(当且仅当x＝y时等号成立)则t＝x＋yx＋y的最大值为2，因此a≥2时，原不等式恒成立．∴a的最小值为2．6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．答案：a≥0，b≥0且a≠b【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．7．设m＝6－5，n＝2－3，则m与n的大小关系是________．答案：m<n【知识点：不等式的性质，不等式的证明，综合法】由于m＝6－5＝16＋5，n＝2－3＝12＋3又6>2，5>3，∴6＋5>2＋3，从而m<n．8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)【知识点：分析法，线线垂直，线面垂直】要证明A1C⊥B1D1只需证明B1D1⊥平面A1C1C因为CC1⊥B1D1只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1从而得B1D1⊥A1C1．9．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则ab＋c＋bc＋a＝________．答案：1【知识点：综合法，恒等变形】因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab．所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝c2＋ab＋ac＋bc＝(a＋c)(b＋c)，所以ab＋c＋bc＋a＝（a2＋ac）＋（b2＋bc）（b＋c）（c＋a）＝1．10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，分析法】证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2，只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即证(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．11．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α．【知识点：三角恒等变换，两角和与差正余弦公式，分析法】证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立．只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin α＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．12．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1．求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】证明：要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc ．(*)由基本不等式得a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0．又因为a ，b ，c 是不全相等的正数，所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2> a 2b 2c 2＝abc ．因此不等式(*)成立．所以log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且01x <<，求证：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，对数及运算，分析法】证明：要证明：log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++．只需证明：log log ()222x x a b b c c a abc +++⎡⎤∙∙<⎢⎥⎣⎦．由已知：01x <<，只需证明：222a b b c c a abc +++∙∙>．由公式：02a b +≥>，02b c +≥>，02c a +≥>，∵a 、b 、c 不全相等，上面三式相乘，有：222a b b c c a abc +++∙∙>=．即：222a b b c c a abc +++∙∙>成立． ∴log log log 222x x x a b b c c a +++++log log log x x x a b c <++成立．14．已知0,0,1a b a b >>+=2+≤．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，基本不等式，分析法】证明：为了证明：2+≤．只需证明：11422a b ++++≤．由1a b +=，只需证明：1≤，只需证明：11()()122a b ++≤，即：14ab ≤．∵0,0a b >>，1a b =+≥，∴14ab ≤成立．∴ 2+≤成立．。

人教版高中数学选修(1-2)-2.2《直接证明与间接证明(第2课时)》教学设计

2.2.2直接证明与间接证明（第2课时）（陈昌杰）一、教学目标1．核心素养培养学生用分析法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生逻辑推理能力，以及分析、解决问题的能力．2．学习目标（1）结合学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：分析法．了解分析法的思维过程、特点．（2）会用分析法证明数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，提高学生思维能力．3．学习重点掌握分析法的思维过程、特点及其解题步骤，会用分析法证明数学问题．4．学习难点根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，应用分析法证明较复杂的数学问题．二、教学设计1．预习任务任务1预习教材P38—P41，思考：什么是分析法？分析法的本质是什么？任务2分析的思考过程、特点分别是什么？任务3分析法证明问题的方法、步骤是怎样的？2．预习自测1．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案：C由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac <3a，则证明的依据应是（）A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0答案：Cb2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是（）A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2答案：C要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2．（二）课堂设计1．知识回顾引例：阅读下列证明过程，回答问题．证明不等式：3＋22<2＋7成立，可用下面的方法进行．证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2．展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．∴3＋22<2＋7成立．1．本题证明从哪里开始？从结论开始．2．证题思路是什么？寻求每一步成立的充分条件．。

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计 (2)

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计一、课程背景•课程名称：高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明•适用对象：高中二年级学生•教材版本：人教版•课程性质：必修课程•课程时长：2学时本课程是数学选修课程中的一门重要课程，主要介绍了直接证明和间接证明的概念和方法。

课程内容广泛，包括证明方法的基本概念、命题和命题的逆否、矛盾和排中律等相关知识。

本课程还涉及到数学的启发式教学方法，培养学生的思维能力和数学推理能力。

通过本课程的学习，学生将掌握直接证明和间接证明的基本思想和方法，提高数学综合素质。

二、教学目标1.掌握直接证明和间接证明的概念和方法。

2.理解数学证明的逻辑基础，提高数学推理能力。

3.发展学生的思维能力和启发式教学方法，培养学生的独立思考能力。

4.培养学生的数学兴趣，激发学生学习数学的热情。

三、教学重点1.掌握直接证明和间接证明的基本概念和方法。

2.分别运用直接证明和间接证明方法进行问题求解。

3.理解数学证明的逻辑基础，提高数学推理能力。

4.发展学生的思维能力和启发式教学方法，培养学生的独立思考能力。

四、教学难点1.熟练运用直接证明和间接证明方法。

2.理解和掌握数学证明的逻辑基础。

3.培养学生的思维能力和启发式教学方法，在问题求解中运用创造性思维。

五、课程设计1. 教学内容1.1 直接证明1.直接证明的基本概念和思想。

2.直接证明的方法和步骤。

3.直接证明中常用的思路方法。

1.2 间接证明1.间接证明的基本概念和思想。

2.间接证明的方法和步骤。

3.间接证明中常用的思路方法。

2. 教学方法本课程采用启发式教学法，通过引导式教学、探究式学习等多种方法，培养学生主动学习的能力，激发学生的求知欲。

同时还涉及到数学证明的方法论、问题解决和思维方式等问题的探讨。

在教学中还会遇到一些具体的问题，例如：“如何使用数学符号来构建有效的证明？证明中的反证法和分步证明是如何实现的？我们如何在证明过程中把握好逻辑思维？”等问题进行探讨。

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明，共计5个学时。

本课程原本是在高中数学教学中，采用了系统的教学方法来对直接证明和间接证明进行详细介绍，让学生们通过实际操作，掌握证明思想与方法，提高数学素养，也让学生们更好地了解到数学在实际生活中的运用。

二、课程内容本课程主要内容包括直接证明和间接证明两个部分，分别从如下几个方面进行讲解：1. 直接证明•直接证明的定义和原理•直接证明的方法和技巧•直接证明的实践操作2. 间接证明•间接证明的定义和原理•间接证明的方法和技巧•间接证明的实践操作三、课程设计本课程的教学设计采用了PBL（Problem-based Learning）的教学法，以问题为引导，让学生自主探究和学习。

具体设计如下：1. 开始设计本节课的目标是让学生了解什么是直接证明和间接证明，以及它们的区别和联系，引导学生独立思考如下问题：•直接证明和间接证明分别是什么？•直接证明和间接证明的区别是什么？•直接证明和间接证明的联系是什么？2. 探究设计本节课的目标是让学生掌握直接证明和间接证明的具体方法和技巧。

老师将提供两个问题，学生自己选择用直接证明或间接证明来解决。

•问题1：证明一个三角形等边三角形的内角都是60度•问题2：证明两个角分别是垂直角和锐角的三角形，第三个角一定是钝角3. 实践设计本节课的目标是让学生通过实践掌握直接证明和间接证明的应用。

老师提供一组数据，学生需要在课堂上进行实践操作，运用所学的知识和方法解决问题。

•数据：假定在一个三角形ABC中，AB=5，AC=6，BC=9•问题：证明三角形ABC是钝角三角形四、课程评价针对本课程，将会采用二元评价模型，分别从过程与结果两个角度对学生进行评价。

具体评价如下：1. 过程评价•是否能积极参与课堂互动•是否能认真听讲并做好笔记•是否能主动提出疑问并寻求解答•是否能合理安排时间并高效完成课堂任务2. 结果评价•是否能准确理解直接证明和间接证明的概念和区别•是否能掌握直接证明和间接证明的方法和技巧•是否能运用所学的知识和技能解决问题•是否能具备一定的分析和解决问题的能力五、总结本课程通过PBL的教学方法，使学生独立思考、自主探究和实践应用，旨在提高学生的数学素养和解决问题的能力，同时也能让同学们更好地理解和应用数学知识，在日常生活和学习中大有裨益。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

直接证明与间接证明__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________(1)了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法；(2) 了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点，会用综合法、分析法、反证法证明数学问题. 类型一、直接证明：一. 综合法1.定义：_______________________________________________________________2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论)二.分析法1.定义：_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q 表示要证明的结论，P n 表示充分条件)4.分析法的书写格式：：（；c 、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

（3）应用反证法的情形：①直接证明困难；②需分成很多类进行讨论．③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；④结论为 “唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a 、与已知条件矛盾；b 、与公理、定理、定义矛盾；c 、自相矛盾。

要证：⋯⋯ 只要证：⋯⋯ 只需证：⋯⋯ ⋯⋯显然成立上述各步均可逆所以,结论成立题型一综合法：例1 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：c b a a c c b b a lg lg lg 2lg 2lg 2lg ++>+++++ 例2 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列， a ， b ，c成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.练习：1、在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列， ,,a b c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 题型二分析法：例2若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +＞lga+lgb+lgc 。

练习:在锐角ABC ∆中，求证:1tan tan >⋅B A 题型三反证法：例1、已知a 是整数，2能整除2a ，求证：2能整除a.例3、求证：2是无理数。

练习：已知，,,(0,1)a b c ∈，求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不能同时大于14。

1、已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：2、已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++3、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++4、已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++5、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 2．已知x 、y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab 4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2. 5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b 2，则m 与n 的大小关系为________． 8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a 、b 应满足的条件是________．三、解答题10．已知n ∈N *，且n ≥2，求证：1n>n －n －1. 能力提升一、选择题11．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln2)>2f (ln3)B ．3f (ln2)<2f (ln3)C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b13．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)14．在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1，1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)；给出下列三个结论： ①f (1，5)＝9；②f (5，1)＝16；③f (5，6)＝26；其中正确的结论个数是( )个．A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.三、解答题16．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：a a ＋m ＋b b ＋m ＞c c ＋m. 17．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 备用例题1：已知+∈∈R c b a R z y x ,,,,, 求证：)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++ 备用例题2: 已知1tan 2tan 1=+-αα，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解2．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a 、b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－28．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁10．已知x1>0，x1≠1且x n＋1＝x n(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1，2…)，试证“数列{x n}或者对任意正整数n都满足x n<x n＋1，或者对任意正整数n都满足x n>x n＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为() A．对任意的正整数n，都有x n＝x n＋1B．存在正整数n，使x n＝x n＋1C．存在正整数n，使x n≥x n＋1且x n≤x n－1D．存在正整数n，使(x n－x n－1)(x n－x n＋1)≥0二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p 1、p 2、…、p n 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．三、解答题15．已知：a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0.求证：a >0，b >0，c >0.16．已知a ，b ，c ∈(0，1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. 17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．18．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝⎛⎭⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．。