高等数学向量代数与空间解析几何总结

研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
[1] 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
设有平面曲线
L
:
f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、曲面
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
a//
b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
1、空间直角坐标系
z 竖轴
空间的点
定点 o •
横轴 x
y 纵轴
(x, y,z)
有序数组
z
空
间
直
角
o
坐
y
标
x
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.
两点间距离公式: 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱 面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(1) 平面 y x
(2) 圆柱面 (3) 抛物柱面
x2 y2 R2
x2 2 py ( p 0)
空间解析几何与向量代数
习题课
一、主要内容
（一）向量代数 （二）空间解析几何
（一）向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
向量积
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1、向量的概念
定义:既有大小又有方向的量称为向量. 重要概念: 向量的模、单位向量、 零向量、 自由向量、 相等向量、 负向量、 平行向量、 向径.
2、向量的线性运算
4、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx ayby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
ax2 ay2 az2
向量方向余弦的坐标表示式
cos cos
ax
ax2 ay2 az2
ay
ax2
a
2 y
az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
（1）数量积 ③求一个向量在另一个向量上的投影：
Pr
jba
a
b
|b|
3.
④两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
（2）向量积 ①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取
a
{a x
,
ay,
az }
b {bx , by , bz }
a b {ax bx , ay by , az bz }
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax bx )i
{ax ,ay ,
n ab
其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小 时可取λ =1）；
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途（续）
（2）向量积
c ab
②几何上
|
a
b
|表示以a
和b
为邻边
a
b
的平行四边形的面积.
③ (2)
a //b
a
b
0.
(a 0, b 0)
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
向量的分解式：
a
axi ay j azk
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
(1) 加法：
ab c
(2) 减法：
ab d
b
a
a
b
c
a
b
d
(3) 向量与数的乘法：
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，| a | | a |
(3) 0, a与a 反向， | a || | | a |
3、向量的表示法
(4) 椭圆柱面 x2 y2 a2 b2 1
[3] 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
f ( x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x2 z2 , y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
5、向量积 (叉积、外积)
|
c
||
a
||
b
|
sin
其中
为a
与b
的夹角
c 的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a b (a ybz azby )i (azbx axbz ) j
(axby aybx )k
i j k a b ax ay az
bx by bz