人教版九年级数学上册课件 《二次函数与一元二次方程》精品课件
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3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根. 此时函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点
新知讲解
巩固练习：下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点横坐标.
（1） y = x2＋x－2 （2） y =4x2 －4x +1 （3） y = 2x2 – 2x+ 1
y
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
导入新知
一、观察思考
ax²+bx+c=0和y=ax²+bx+c之间的关系和区别是怎么样？ 关系： 当函数y=ax²+bx+c的值为0时，就得到方程ax²+bx+c=0。
区别：一个是方程，一个是二次函数。
新知讲解
二、探究新知
活动1：小组合作
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路 线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m） 与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
新知讲解
y＝x2＋x－2 （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。 （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
新知讲解
y＝x2－6x＋9 （1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. （2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
∴当x＜1或x＞3时，y＞0．
课堂练习
4. （1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象； （2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在 图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
课堂练习
解：（1）如下图， y=x2-2x=（x-1）2-1， 作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑．
有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两
个不等的实数根.
新知讲解
总结： 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由 于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
近似值的求法： 1.可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根; 2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
新知讲解
y＝x2－x＋1. （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点. （2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
新知讲解 总结：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根:
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
新知讲解
解：（4）当小球落地，则h=0m时， 解方程：0=20t-5t2, 转化为：t2-4t=0, 解得：t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
新知讲解
二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，可以利用二次函数y=ax²+bx+c深入探究一元二次方程ax²+bx+c=0
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
新知讲解
三、重难点精讲
1.二次函数 (1)y＝x2＋x－2； (2)y＝x2－6x＋9； (3)y＝x2－x＋1. 的图象如图所示。观察并回答： （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二 次方程的根吗？
新知讲解
解：（2）当h=20m时， 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米 .
新知讲解
解：（3） 当h=20.5m时， 解方程：20.5=20t-5t2, 即t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
新知讲解
（1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （x＋2）（x－1）=0 x1=-2，x2= 1 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
新知讲解
（2）解：当y=0时，4x2-4x+1=0 （2x－1）2=0
x1=x2=0.5 所以与 x 轴有一个交点。
新知讲解
（3）解：当y=0时，2x2–2x+1=0 因为（-2）2－4×2×1=-4<0 所以与 x 轴没有交点。
新知讲解
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度 能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？
新知讲解
活动2.讨论分析： 由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2， 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方 程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题 中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ D )
A．abc＜0
B．2a+b=0
C．b2-4ac＞0
D．a-b+c＞0
课堂Biblioteka Baidu习
2.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根， 作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，
则方程的另一个近似根为x2=___2_._5___(精确到0.1）．
新知讲解
归纳：
一般地，如果二次函数y= ax²+bx+c=0的图像与x轴相交，那么交点的横坐标
就是一元二次方程ax²+bx+c =0的根。
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当 x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，
有两个交点
有两个不相等的实数根 b2 – 4ac > 0
只有一个交点 没有交点
有两个相等的实数根 没有实数根
b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
谢谢观看！
（2）正确作出点M，N； （3）写出方程的根为-0.4，2.4．
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0 根的判别式Δ=b2-4ac
新知讲解
四、巩固应用
利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
二次函数 与一元二次方程
人教版 九年级上册
导入新知
复习回顾：
我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根, 3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
新知讲解
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的 值.可以解一元二次方程20t－5t2＝15(即5t2-20t+15＝0); 反过来，解方程5t2-20t+15＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t+15的 值为0，求自变量t的值.
新知讲解
解：（1） 当h=15m时， 解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得： t1=1,t2=3. ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
课堂练习
3.已知抛物线y=x2-4x+3 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）当x取何值时，y＞0？
解：（1）∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3） ∴该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）；
课堂练习
（2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）． ∵y=x2-4x+3=（x-2）²-1， ∴该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物线的开口方向向上，大致图象如图所示：
新知讲解
巩固练习：下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点横坐标.
（1） y = x2＋x－2 （2） y =4x2 －4x +1 （3） y = 2x2 – 2x+ 1
y
o
x
令 y= 0，解一元二次方程的根
导入新知
一、观察思考
ax²+bx+c=0和y=ax²+bx+c之间的关系和区别是怎么样？ 关系： 当函数y=ax²+bx+c的值为0时，就得到方程ax²+bx+c=0。
区别：一个是方程，一个是二次函数。
新知讲解
二、探究新知
活动1：小组合作
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路 线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m） 与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
新知讲解
y＝x2＋x－2 （1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。 （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
新知讲解
y＝x2－6x＋9 （1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. （2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
∴当x＜1或x＞3时，y＞0．
课堂练习
4. （1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象； （2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在 图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
课堂练习
解：（1）如下图， y=x2-2x=（x-1）2-1， 作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑．
有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两
个不等的实数根.
新知讲解
总结： 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由 于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
近似值的求法： 1.可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根; 2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
新知讲解
y＝x2－x＋1. （1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点. （2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
新知讲解 总结：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根:
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
新知讲解
解：（4）当小球落地，则h=0m时， 解方程：0=20t-5t2, 转化为：t2-4t=0, 解得：t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
新知讲解
二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，可以利用二次函数y=ax²+bx+c深入探究一元二次方程ax²+bx+c=0
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
新知讲解
三、重难点精讲
1.二次函数 (1)y＝x2＋x－2； (2)y＝x2－6x＋9； (3)y＝x2－x＋1. 的图象如图所示。观察并回答： （1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二 次方程的根吗？
新知讲解
解：（2）当h=20m时， 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米 .
新知讲解
解：（3） 当h=20.5m时， 解方程：20.5=20t-5t2, 即t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
新知讲解
（1）解：当y=0时，x2+x-2=0 （x＋2）（x－1）=0 x1=-2，x2= 1 所以与 x 轴有交点，有两个交点。
新知讲解
（2）解：当y=0时，4x2-4x+1=0 （2x－1）2=0
x1=x2=0.5 所以与 x 轴有一个交点。
新知讲解
（3）解：当y=0时，2x2–2x+1=0 因为（-2）2－4×2×1=-4<0 所以与 x 轴没有交点。
新知讲解
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度 能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？
新知讲解
活动2.讨论分析： 由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2， 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方 程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题 中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ D )
A．abc＜0
B．2a+b=0
C．b2-4ac＞0
D．a-b+c＞0
课堂Biblioteka Baidu习
2.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根， 作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，
则方程的另一个近似根为x2=___2_._5___(精确到0.1）．
新知讲解
归纳：
一般地，如果二次函数y= ax²+bx+c=0的图像与x轴相交，那么交点的横坐标
就是一元二次方程ax²+bx+c =0的根。
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当 x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。 （2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，
有两个交点
有两个不相等的实数根 b2 – 4ac > 0
只有一个交点 没有交点
有两个相等的实数根 没有实数根
b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
谢谢观看！
（2）正确作出点M，N； （3）写出方程的根为-0.4，2.4．
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程ax2+bx+c= 0 根的判别式Δ=b2-4ac
新知讲解
四、巩固应用
利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示) 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈0.7，x2≈2.7.
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
二次函数 与一元二次方程
人教版 九年级上册
导入新知
复习回顾：
我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根, 3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
新知讲解
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的 值.可以解一元二次方程20t－5t2＝15(即5t2-20t+15＝0); 反过来，解方程5t2-20t+15＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t+15的 值为0，求自变量t的值.
新知讲解
解：（1） 当h=15m时， 解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, 解得： t1=1,t2=3. ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
课堂练习
3.已知抛物线y=x2-4x+3 （1）求该抛物线与x轴的交点坐标； （2）当x取何值时，y＞0？
解：（1）∵y=x²-4x+3=（x-1）（x-3） ∴该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）；
课堂练习
（2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）． ∵y=x2-4x+3=（x-2）²-1， ∴该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物线的开口方向向上，大致图象如图所示：