定量遥感-第三章辐射传输方程-2

，则得到 将方程两边同时乘以 e dI ( , ) / e I ( , )e / J ( , )e / d dI ( , ) / 1 / 1 e I ( , )( )e J ( , )e / d
I ( 0, ) I (0, )e
0 /
0 1 0 / (1/ 0 1/ ) F 0 P(, 0)e e d 0 4
当μ0= μ时 当μ0μ时
I (0, )e
0 /
F 0 0 P(, 0)e 4
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《定量遥感技术与应用》
第三章
辐射传输方程
武汉大学遥感信息工程学院 龚 龑
第三章 辐射传输方程
§3.1 传输方程 §3.2 源函数中散射的表达 §3.3 辐射传输方程的解
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 §3.3.2 单次散射解 §3.3.3 散射逐次计算法 §3.3.4 二流 (two-stream) 近似
对上式从0 到 τ0 积分：
I ( , )e
/
0
0

0
0

J ( , )e / d
I ( 0, )e
0 /
I (0, )

1
0
0
J ( , )e
/
d
7
从τ0到 0 积分，结果一样。
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
0/ 0
e 0 / )
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第三章 辐射传输方程
§3.1 传输方程 §3.2 源函数中散射的表达 §3.3 辐射传输方程的解
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 §3.3.2 单次散射解 §3.3.3 散射逐次计算法 §3.3.4 二流 (two-stream) 近似
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§3.3.3散射的逐次计算方法
• 不考虑源函数的解为比尔定律
• 只考虑发射的解相对简单 • 辐射传输方程中单次散射项也与I 无关
dI (, ) I(, ) F0e / 0 P(, 0) d 4
4

4
I(, ' )P(, ' )d' B[T()]
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第三章 辐射传输方程
dI (, ) I(, ) J(, ) d
源函数J 与I的关系决定求 解复杂度 实际解决方法
• J与I无关时的求解
• J与I有关时的数值求解 • J与I有关时的近似求解
4
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
dI (, ) I(, ) J(, ) d
d [ In( , )e / ] 1 Jn( , )e / d
注意是对τ 积分, 还是对Ω积分
I(, )
I (, )
n n 1

包含多次散射的总强度
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小结
• 在辐射传输方程中，单次散射源函数J 与 待求强度I 无关，可以求出解析解。 • 单次散射解中的第 1 项反映了比尔定律， 有时也称为零次散射解，而将第 2项，即对源函 数的积分结果称为单次散射解。 • 利用逐次计算方法可以依次得到各次散射 的源函数和强度，进而求出考虑多次散射的方 程解。
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§3.3.2 单次散射解
I ( 0, ) I (0, )e
I (0, )e

0 /
0 /


1
0
0
J ( , )e
( 0 ) /
d
0 1 0 / (1/ 0 1/ ) F 0 P(, 0)e e d 0 4
dI(, ) I(, ) F0e / P(, 0) d 4
0
此时源函数与待求强度I 无关，可利用I与J无 关时的解法。
14
§3.3.2 单次散射解
I(0, ) I(0, )e
0 /
1

0
0
J(, )e / d
• 不考虑各方向发射辐射因素 • J 与I 无关
dI (, ) I(, ) B[T()] d
B(T)为普朗克函数，是物体亮温为T时发射的出射辐射亮度， 它的强度与出射方向无关，即各向均一。
请根据前面的推导过程，自行推导上述方程的解。
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小结 辐射传输方程的求解是对 τ 的积分，而J 与I 是否 有关决定了求解难易，除上述J 与I 无关解以外：
解该方程需要明确积分上下界和边界条件
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§3.3.3散射的逐次计算方法
同样我们可以由二次散射强度推导出三次散 射源函数，继而推出三次散射强度。 • 任意次散射的强度递归关系式
Jn 1( , ) 4
I ( , ') P(, ')d '
4 n
利用递归关系式可 以设计数值方法，逐级 导出源函数和强度。
§3.1 传输方程 §3.2 源函数中散射的表达 §3.3 辐射传输方程的解
§3.3.1 §3.3.2 §3.3.3 §3.3.4
源函数J与待求强度I无关时的解 单次散射解 散射逐次计算法 二流 (two-stream) 近似
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§3.3.2 单次散射解 不考虑发射和多次散射，仅考虑源函数为单 次散射情况时的传输方程为：
每个辐射源 辐射源被衰减
整层介质中
位于τ= τ0处的辐射强度由两部分组成： •τ= 0 处的辐射强度穿过整层介质而经过 衰减的值； •整层介质中的每个辐射源被衰减后到达 τ= τ 0处的辐射强度的总和。
0 τ
τ0
10
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 • 源函数只考虑介质发射情况 当源函数只考虑介质发射时，辐射传输方程相对 考虑散射时要简单得多。
2
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
普遍传输方程
dI I J kds
不考虑源函数J 时
dI I kds
I(s1) I(0)e ku
比尔定律
不考虑源函数J 时传输方程的解是极不准确的
3
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 仍考虑平面平行介质，其传输方程为：
1 I(, ' )P(, ' )d' 2 1
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§3.3.4 二流近似 • 勒让德（Legendre）展开 散射相函数可以表征为散射角余弦的函数：
P(, ') P(cos )
4
I ( , ') P(, ')d ' B[T ( )]
4
J ( , )
4
P(, ') I ( , ') d ' 4
由于二次散射是由一次散射引起的，因而从一 次散射强度 I1(τ,Ω)即可求出二次散射源函数。
J 2( , ) 4
I ( , ') P(, ')d '
4 1
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§3.3.3散射的逐次计算方法
J 2( , ) 4
I ( , ') P(, ')d '
4 1
对同一次散射来讲，源函数J与强度I无关 二次散射强度是可以由其源函数按下式计算
d [ I 2( , )e / ] 1 / J 2( , )e d
8
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系也可以表述为：
0 /
I(0, ) I(0, )e
1 0 J(, )e( 0 ) / d 0
θ 0 τ0
请注意，此时μ<0， 若将其变为正数，上式可变为：
I ( 0, ) I (0, )e
0
I(0, ) I(0, )e

0 /
1

0
0
J(, )e / d
I (0, ) I ( 0, )e
0 /
0 1 F 0 P(, 0) e (1/ +1/ 0） d 0 4
16
§3.3.2 单次散射解
I(0, ) I(0, )e
0 /
1 0 J(, )e ( 0 ) / d 0
关键：对源函 数意义的理解
代入 J(, ) F0e / 0 P(, 0) 4
即可求得仅考虑源函数为单次散射情况时的传 输方程的解。
有时也称上面等号右面第1 项（即比尔定律）为零次散射解
/
d[ I( , )e / ] 1 / J ( , )e d
5
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
d[ I ( , )e
/
]
1

J ( , )e
/
d
两边对 τ 积分，即可求得带有源函数的传输方程
明确：传输方 程自变量和应变量 是什么？
0/
I ( 0, ) I (0, )e
0 /
1 0 / 0 F 0 P(, 0)e e (1/ 01/ ) 4 0
0 /
0
0
I (0, )e
0 F 0 P(, 0)(e 4 ( 0 )
不同大气光学厚度τ和传输 方向Ω所对应的辐射强度I。
根据上式，求解τ=0处的辐射强度 I(0, Ω)与 τ= τ 0处的辐射强度I(τ 0, Ω)之间的关系表达式。
6
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
d[ I ( , )e
/
]
1

1
J ( , )e / d
散射的逐次计算方法是这样一种方法，我们 单独对散射一次、二次、三次等的光子计算其强 度，而总强度则为所有各次散射之和。
I(, )
I (, )
n n 1

式中 n表示散射的次数。
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§3.3.3散射的逐次计算方法
多次散射的源函数
dI ( , ) I ( , ) F 0e / 0 P (, 0) d 4
整理得I(0, Ω) 与 I(τ 0, Ω) 之间的关系：
I (0, ) I ( 0, )e
τ0处辐射强度被衰减
0 /


1
0
0
J ( , )e
每个辐射源
/
d
整层介质
辐射源被衰减
位于τ=0处的辐射强度由两部分组成： τ= τ 0处的辐射强度穿过整层介质而经过衰减的值； 整层介质中的每个辐射源被衰减后到达τ=0处的辐射强 度的总和。
• 积分复杂
• 高斯公式展开
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§3.3.4 二流近似 • 辐射传输与方位无关时的简化
当辐射传输与方位 φ无关，而仅
与 μ有关时，注意到此时

4
d'
2
0

1
-1
d' d 2 d'
1
1
注意 μ = cos θ
dΩ = sinθdθdφ
则有：
dI (, ) I(, ) F0e / 0 P(, 0) d 4
0 /

0
1
0
J ( , )e( 0 ) / d
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§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解
整理得任意光学厚度τ0处与初始入射辐射强度之间的关系：
I ( 0, ) I (0, )e
入射辐射强度被衰减
0 /

0
1
0
J ( , )e( 0 ) / d
dI ( , ) I ( , ) F 0e / 0 P (, 0) d 4
4
I ( , ') P(, ') d '
4
复杂性
二流近似 3 个关键步骤
• 方向性复杂
• 相函数复杂
• 辐射传输方程的简化
• 勒让德多项式展开
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第三章 辐射传输方程
§3.1 传输方程 §3.2 源函数中散射的表达 §3.3 辐射传输方程的解
§3.3.1 源函数J与待求强度I无关时的解 §3.3.2 单次散射解 §3.3.3 散射逐次计算法 §3.3.4 二流 (two-stream) 近似
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§3.3.4 二流近似 观察我们已熟知的辐射传输方程(不考虑发射)：