二阶线性偏微分方程的化简

i , j 1
a
ij i
j
，由线性代数二次型理论知，存在
n
实线性变换： i
c
k 1
i k
(i 1,...., n)
(1.6)
将 A( ) 化为标准形式
2
n kl 1
n
akl k l k k 2
k 1
n
( k 1, 1或0)
其中 akl
0 0 0
0
(1.7)
证明：由引理知，不妨设方程（1.1）的系数矩阵 ai j 正定，则存在正交矩阵 u ，使

uAu` diag ( n ， 记 x ( x1 ,..., xn ) ，y ( y1 ,..., yn ) 。 变换 y ux 使方程 （1.1）
A 为正定或负定的充要条件似 A 的特征根不为零且同号或方程（1.1）为椭圆型。 证明：先考虑只含两个自变量的情形： 含 两 个 自 变 量 的 二 阶 线 性 偏 微 分 方 程 的 一 般 形 式 为 ：
a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f 在 P 0 ( x10 , x2 0 ) 对应的二次型为：
3
2 u n u bi cu f 2 zi i 1 zi i 1
n
再令 V u exp(
1 bi zi ) ，上式即化为 v c1v f1 ， 2 1 2 1 f1 f exp( bi zi ) 其中 c1 c bi 4 2
证毕。
aij
因此，当方程（1.1）在 P 为椭圆型时，即可化为（1.2） 当方程（1.1）在 P 为双曲型时，即可化为（1.3） 当方程（1.1）在 P 为超双曲型时，即可化为（1.4） 当方程（1.1）在 P 为抛物型时，即可化为（1.5） 定理 2： 若方程 （1.1） 为常系数椭圆方程时， 则可化为形如： u cu f
n n n 2u 2u 2u u a a bi cu f ij ij 2 y1 yi y1 i , j 2 yi y j i 1 yi i2
(1.9)
n z zl 2 ai l 0 y yi i 2 现在再将自变量换成 z1 ,..., zn ，其中 z1 y1 ， zl (l 2) ，由 1 决定 z yl l y1 y1 p
(1.3)
0
(1.4)
其中 l>1,n−l>1 ⑶若方程（1.1）在 P 为抛物型，则方程可化为：
n u 2u n u c 2 i u r 0 y1 yi i 2 yi i 2
0
(1.5)
其中 c 一般为正值。
n
证明：若方程（1.1）的二次型为 A( )
p1l
2
n zl z 2 ai l 0 y1 yi i 2
n 2u 2u p ij z12 i , j 2 zi z j
所以（2.0）的二阶项即为：
由于在自变量变换下，二阶线性偏微分方程的二阶项系数矩阵 aij 仅作了相似变换， 所以矩阵 ( Pij ), i, j 1..., n 有一个特征根为正，n−1 个特征根为负，故（Pij）是负定阵。
i , j 1
a c
ij ik
c jl
(k , l 1,..., n)
另一方面，用（1.6）变换矩阵的转置矩阵作线性变换的矩阵，即
n
yi cki xk
k 1
(i 1,..., n)
设 P 点对应 P 点，则有：
n u u cik xi k 1 yk
0
0
(i 1,..., n)
aij
(1.1)
其中 aij 不同时为零， aij a ji ，作矩阵 A= aij ，并记它的特征值为 n ，则对任一
0 0 0 点 P ( x1 ,..., xn ) ，有如下分类：

⑴当特征根同号时，称方程（1.1）在 P 为椭圆型的。 ⑵在 P 点，有（n−1）个特征根同号，另一个特征根与（n−1）个特征根异号时，称方 程（1.1）在 P 为狭义双曲型的，通常简称双曲型。若（n−l）个特征根同号，另外 l（l>1） 个特征根与此（n−l）个特征根异号时，称方程（1.1）在 P 为超双曲型的。 ⑶在 P 点，有一个零特征根，其余（n−1）个特征根同号，且用非起义实线性变换将 方程在点 P 化为标准型时， 零特征根对应的新变量 i ， 使
1
A( ) a1112 2a12 1 2 a22 2 2 (a12 a21 )
它的特征根满足方程
a11 a12
a12 a22
=0
2 2 展开，得： 1 ( a11 a12 ( a11a22 a12 ) 2 当 a11a22 a12 0 时，方程为椭圆型，此时特征根不为零且同号，即二次型为正定
4
n i , j 1

pij
n 2u u ai ru g zi z j i 1 zi
(2.0)
其中 p11
n n z1 z1 z z z z z z 2 ai ( 1 1 1 1 ) aij 1 1 1 y1 y1 y1 yi yi yi i , j 2 yi y j i 2 n n z1 zl z z z z z z 2 ai ( 1 l 1 l ) aij 1 l y1 y1 y1 yi yi yi i , j 2 yi y j i2
Abstract：Applying real linear transform simplifies two order linear partial differeatial equation， and make it easy to calculate and use. Keywords：limited independent variable ；two order linear partial differential equation； real linear
n
(1.2)
⑵若方程（1.1）在点 P 为狭义双曲型，则方程可化为：
0
2u n 2u n u 2 i u r 0 2 y1 i 2 yi yi i 1
若方程（1.1）在点 P 为超双曲型，则方程可化为：
n n 2u 2u u i u r 0 2 2 yi i 1 yi j l 1 y j i 1 n
n i , j 1


aij
n 2u u bi cu f yi y j i 1 yi
(1.8)
其中 (aij ) 在点 P 为对角阵， a11 ( p) 1 0 ，故在点 P 的邻域 中 a11 ( y ) 0 ，今在 中 用 a11 除（1.8）式，得
n 2u 2u cik c jl xi x j k ,l 1 yk yl n n n n 2 x 2u 2u ( aij cik c jl ) k xi x j k ,l 1 i , j 1 yl yk k 1 yk 2
故
i , j 1
0 0 0 0 0
0
u 的系数不为零， 则称方程 （1.1） i
在 P 为广义抛物型的。 类似地可以定义二阶线性偏微分方程在区域 中为双曲、超双曲、抛物、广义抛物、椭 圆的概念。
0
2
主要引理
n
引理：若方程（1.1）相应的二次型为
i , j 1
a
ij i
j
二次型矩阵 A ( aij ) ， A( ) 或
由于该变换在点 P 的 Jacobi 行列式为：
1 0 ... 0 * 1 0 ( z1 ,...zn ) =1 ... ( y1 ,... yn ) ... * 0 1
可以在点 P 的邻域 中定义了一个可逆变换 T：
z z ( y ) ,对方程（1.9）施行变换 T 后，得到：
定理 3：若方程（1.1）为区域 中的变系数双曲线方程，则对 p ，在点 P 的某一
n 2u 2u ，其中（Pij）为 n−1 P ij x12 i , j 2 x1x2
邻域中一定可以将方程（1.1）的二阶项部分化成： 阶负定矩阵。
证明：按双曲型方程的定义可知，矩阵 aij ( P ) A （i,j=1，…，n）的特征根 n 均不等于零，且 n−1 个同号，另一个取异号，不妨设 n 1 0, n 0 ，若常系数 正交矩阵 U 满足 uAu ` diag (1 ,..., n ) ，则通过变换 y ux 可将方程化成
n
变成：
i , j 1
aij
n 2u u bi cu f yi y j i 1 yi
(1.8)
记 A (aij ) ，则 A uAu ` ，所以（1.8）式即为
n
i
i 1
1 2u n u 2 z yi (i 1,..., n) 可得： 令 b cu f i i i 2 yi yi i 1
或负定。反之，也成立。由线性代数中得二次型的惯性定律知，上述结果可以将它用于多个 自变量的二阶线性方程（1.1）上去。故结论得证。
3
主要结论与证明
定理一：⑴若方程在点 p 0 为椭圆型，则方程可以化为：
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2u n u i u r 0 2 yi i 1 yi i 1
二阶线性偏微分方程的化简
【摘 要】 利用实线性变换将含有多个自变量的二阶线性偏微分方程进行化简， 从而便 于计算与应用。 【关键词】多个自变量；二阶线性偏微分方程；实线性变换
1
主要定义
定义：含多个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为：
n i , j 1 n 2u u bi cu f xi y j i 1 xi
5

参考文献 [1] 邓惠民．数学物理方法．江苏：南京大学出版社，2000． [2] 齐植兰．数学物理方法．天津：天津大学出版社，1999． [3] 陈恕行．数学物理方程．上海：复旦大学出版社，2001．
Simplifying Two Order Linear partial Differeatial Equation about Limited Independent Variable