新高考数学二轮总复习学案设计从审题中寻找解题思路
2020年高三数学第二轮复习方案
2020年高三数学第二轮复习方案1. 目标本文档旨在提供2020年高三数学第二轮复的方案，帮助学生有效备考数学高考。
2. 复策略为了确保复过程简单明了，避免法律复杂性，我们将采取以下简洁策略：- 系统性复：按照高考数学知识点的重要性和难度，制定系统性的复计划，确保全面覆盖相关知识点。
系统性复习：按照高考数学知识点的重要性和难度，制定系统性的复习计划，确保全面覆盖相关知识点。
- 刷题训练：通过大量的题训练，提高解题速度和准确性，加深对知识点的理解和掌握。
刷题训练：通过大量的习题训练，提高解题速度和准确性，加深对知识点的理解和掌握。
- 错题集整理：将做错的题目整理成错题集，经常复并找出解题思路上的问题，加强弱点的掌握。
错题集整理：将做错的题目整理成错题集，经常复习并找出解题思路上的问题，加强弱点的掌握。
- 模拟考试：定期进行模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力和心理素质。
模拟考试：定期进行模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力和心理素质。
3. 复计划以下是一个简单的复计划，供参考：第一周- 复集合与函数、数列与数列极限、函数与导数等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，提高对知识点的理解和应用能力。
第二周- 复微分中值定理、不等式与极值、定积分等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，加深对知识点的掌握和应用能力。
第三周- 复曲线的切线与法线、常微分方程、向量与空间解析几何等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，提高解题速度和准确性。
第四周- 复立体几何、概率与统计、数理统计等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，加强对知识点的掌握和应用能力。
第五周- 复复数、数学归纳法、数学证明等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，提高解题能力和思维能力。
第六周- 复矩阵与变换、数列的极限与级数、空间向量等知识点。
- 刷题训练：完成相关章节的题，加深对知识点的理解和应用能力。
第七周- 复三角函数与解三角形、导数与微分、数列与级数等知识点。
2021-2022年高考数学二轮复习方法3.3解答题的解法教学案
2021年高考数学二轮复习方法3.3解答题的解法教学案数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化． 【常见答题模板展示】模板一 三角函数的图像与性质试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为sin()(0,0)y A x k A ωϕω=++≠≠，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等．求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向．例1已知函数()21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数的对称中心； (Ⅱ)求在上的单调区间.思路分析：(1)由两角和差公式化简可得，，然后再令，即可求出对称中心；(2)令226222k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k k x k Z ππππ-≤+∈≤；又由于，所以，由此即可求出单调区间.(2)令226222k x k πππππ-≤-≤+，解得,63k k x k Z ππππ-≤+∈≤，又由于，所以，故所求单调区间为.【规律总结】答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成的形式或的形式． 如：.第二步：根据的表达式求其周期、最值．第三步：由 的单调性，将“”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范. 【举一反三】1.已知函数3()2sin cos()3f x x x π=++（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值及最小值.模板二三角变换与解三角形试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形．求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决．（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．例2在中，角所对的边分别为，的面积为，若.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.思路分析：（Ⅰ）由余弦定理及三角形面积公式得4312cos sin2ab C ab C=⨯⨯，因此，再根据三角形内角范围得（Ⅱ）将条件，代入得，再根据余弦定理得，所以，因此()22229, 3.a b a b ab a b+=++=+=【规律总结】答题模板第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形.【举一反三】在中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）若，求的面积的值．模板三离散型随机变量的分布列、期望与方差试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量的分布列和数学期望、方差等内容．求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系．（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解．（3）注意识别特殊的二项分布．（4）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题．例3. 【xx河南名校联考】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；（2）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.思路分析：（1）根据茎叶图数据计算中位数及平均数；（2）由题意知随机事件服从二项分布，故可套用二项分布公式求解.试题解析：（1）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众问卷得分的中位数是， 乙地被抽取的观众问卷得分的平均数是()170280490269036907858⨯+⨯+⨯++++++++=. 【规律总结】答题模板第一步：确定离散型随机变量的所有可能值． 第二步：求出每个可能值的概率． 第三步：画出随机变量的分布列． 第四步：求期望和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确. 【举一反三】【xx 云南昆明一中摸底】某市为了解本市万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求这名学生成绩在内的人数；（3）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求的分布列和数学期望.参考数据：若，则()0.6826p X μσμσ-<≤+=， (22)0.9544p X μσμσ-<≤+=(33)0.9974p X μσμσ-<≤+=（3）()P 33=0.9974X μσμσ-<≤+，则()10.9974P 900.00132X -≥==. .所以该市前名的学生听写考试成绩在分以上.上述名考生成绩中分以上的有人. 随机变量.于是，，. 的分布列：数学期望()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. 模板四 立体几何中位置关系的证明及空间角的计算问题试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算．求解策略：（1）利用“线线⇔线面⇔面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．例4如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点.PEDCBA（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.思路分析：（1）取中点，连接、，然后利用中位线定理推出为平行四边形，从而利用四边形与正三角形的性质推出平面，进而使问题得证；（2）以为原点，建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标与向量，从而利用空间夹角公式求解即可．（2）因为，，所以，又，，所以平面，所以平面，所以为与平面所成的角，即，从而.以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设，则，，，，.所以，.设平面的法向量为，则，即1320220x y zy⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得3x zy⎧=-⎪⎨⎪=⎩.令，得.由（1）可知平面，所以为平面的一个法向量.所以43257cos219AP nAP nAP n⋅-<>===-⨯，.所以二面角的余弦值为.【规律总结】答题模板第一步：根据条件合理转化．第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分．第三步：写出所证明的结论．第四步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标．第五步：求(或找)两个半平面的法向量．第六步：求法向量的夹角或 (若为锐二面角则求)．第七步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角．第八步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．【举一反三】如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值.（2）连结.因为,,,所以2211112cos 3AO AA AO AA A AB =+-⋅∠=，所以,所以.因为侧面底面，侧面底面，，所以平面.因为，，所以是等边三角形，所以.以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，所以1133GE GB BE GB BC =+=+=.设平面的一个法向量为，则所以3230,330.x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令，得，所以1117cos ,7n A B n A B n A B ⋅==-.所以127sin cos ,7n A B θ==.即直线与平面所成角的正弦值为. 模板五 数列通项公式及求和问题试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强．求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前项和．（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)．（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和．（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题．例5 已知数列的前项和为，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．（Ⅰ）求；(Ⅱ)设，数列的前项和为，求证：．思路分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，主要利用得221(1)44(1)n n nn na a an n-+=--，化简得，即得，也可利用叠乘法求：333312133121(1)21(1)(2)1n nnn na a a n na a na a a n n----=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=--(Ⅱ) 由于21111,(2)(1)1nb nn n n n n=<=-≥--，所以利用放缩结合裂项相消法求证不等式：47147)1(14313212112<-=⨯-++⨯+⨯++<nnnTn【规律总结】答题模板第一步：令，由求出.第二步：令，构造，用代换 (或用代换，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．第三步：验证当时的结论是否适合当时的结论．如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示．第四步：写出明确规范的答案．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n＝1和n≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.【举一反三】在公差不为零的等差数列中，已知，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，记，求数列的前项和．模板六 圆锥曲线中的探索性问题试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题．本模板就探索性问题加以总结求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．例6 已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析：(1) 设,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知，，即可得，由得，写出直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，由两点式求直线的方程即可；(3)由，得，设直线方程为，与椭圆方程联立得2221()2102k x kbx b +++-=，由根与系数关系计算1212121201111AF BF y y kx b kx bk k x x x x +++=+=+=++++得，从而得到直线方程为，从而得到直线过定点.【规律总结】答题模板第一步：假设结论存在．第二步：以存在为条件，进行推理求解．第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．常常容易忽略这一隐含条件以及忽略直线与轴垂直的情况. 【举一反三】如图，抛物线与双曲线()22222:10,0x y C a b ab-=>>有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且.（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，圆.已知点，过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为.试探索是否为定值？请说明理由.（Ⅱ）为定值.下面给出说明：设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：. ∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为()223313r ==+故圆.依题意的斜率存在且均不为零，所以设的方程为，即，设的方程为，即，∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，∴直线被圆截得的弦长22223363623211k k k s k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭，直线被圆截得的弦长22223123221211k k k t k k ⎛⎫--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭()()222263636323223k k s k k t k k k k--===--，故为定值.模板七 函数的单调性、最值、极值问题试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有32()f x ax bx cx d =+++，2()ln f x ax bx c d x =+++，2()()x f x ax bx c e =++⋅，根据对函数求导，按参数进行分类讨论，求出单调性、极值、最值.求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、△判别式、根的大小进行讨论.例7【xx 河北衡水二调】已知函数， ． （1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．思路分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值。
新高考数学二轮复习全套思想方法汇总
思想概述
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对 函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去 分析问题、转化问题，从而使问题得以解决. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组， 或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转 化问题，使问题得以解决.
所以y＝3x＋3－x在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数y＝log3x为增函数， 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 因为f(a－1)≥f(2a＋1)， 所以|a－1－2|≥|2a＋1－2|， 所以(a－3)2≥(2a－1)2，化简得(a＋2)(3a－4)≤0， 解得－2≤a≤43. 所以实数 a 的取值范围为－2，43.
规
律 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的
方 法
图象和性质求解问题.
方法三 构造函数解决数学问题
在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的 问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果.
例3 (2023·深圳模拟)已知ε>0，x，y∈ －π4，π4 ，且ex＋εsin y＝eysin x，则 下列关系式恒成立的为
规
律 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式
方 法
f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系.
利用数学概念、表达式的几何意义 方法二 求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图 形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距 离公式等.
高三数学第二轮复习教案2024文案
高三数学第二轮复习教案2024文案教案名称：高三数学第二轮复习教案教学目标：1.巩固和深化第一轮复习的基础知识，提升解题技能。
2.突破重点、难点，提高学生的应试能力。
3.培养学生的逻辑思维和创新能力。
教学内容：1.函数与导数2.三角函数3.数列4.解析几何5.统计与概率6.立体几何教学时间：12周一、第一周：函数与导数1.1复习函数的基本性质、图像及变换1.2复习导数的概念、求导法则及导数应用教学重点：1.函数的单调性、奇偶性、周期性、极值点等基本性质。
2.导数的定义、求导法则、导数应用（如函数的单调性、极值点、拐点等）。
教学难点：1.函数图像的变换。
2.导数应用中的极值点、拐点等。
教学案例：1.已知函数f(x)=x^33x，求f(x)的单调区间、极值点及拐点。
2.已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g(x)的周期、单调区间及极值点。
二、第二周：三角函数2.1复习三角函数的基本概念、图像及性质2.2复习三角恒等变换、解三角形教学重点：1.三角函数的基本概念（如正弦、余弦、正切等）。
2.三角函数的图像与性质（如周期性、奇偶性等）。
3.三角恒等变换（如和差化积、积化和差等）。
4.解三角形（如正弦定理、余弦定理等）。
教学难点：1.三角恒等变换的灵活运用。
2.解三角形中的实际问题。
教学案例：1.已知sin(α)=3/5，cos(α)=4/5，求tan(α)的值。
2.在△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求c的值。
三、第三周：数列3.1复习数列的基本概念、通项公式及求和公式3.2复习数列的递推关系及数列极限教学重点：1.数列的基本概念（如等差数列、等比数列等）。
2.数列的通项公式及求和公式。
3.数列的递推关系及数列极限。
教学难点：1.数列通项公式的推导。
2.数列极限的计算。
教学案例：1.已知数列{an}是等差数列，a1=1，a3=3，求an的通项公式。
2.已知数列{bn}满足递推关系bn=2bn-1+1，b1=1，求bn的通项公式。
【高三】2021届高考理科数学第二轮高考中的解答题的解题策略复习教案
【高三】2021届高考理科数学第二轮高考中的解答题的解题策略复习教案2021届高考数学二轮复习专题十二高考中的解答题的解题策略【重点知识回顾】解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．解答题的解题步骤1.分析条件，弄清问题2.规范表达，实施计划3.演算结果，回顾反思解答题的解题策略1.从条件入手�D�D分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；2.从结论入手�D�D执果索因，搭好联系条件的桥梁；．3.回到定义和图形中来；4.换一个角度去思考；5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；6.注重通性通法，强化得分点。
【典型例题】1.从定义信息入手定义信息型题是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．例1、根据定义在集合A上的函数，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，计算出；②若，则数列发生器结束工作，若，则输出x1,并将x1反馈回输入端，再计算出，并依此规律继续下去，现在有，，（Ⅰ）求证：对任意，此数列发生器都可以产生一个无穷数列；（Ⅱ）若，记，求数列的通项公式．【解析】（Ⅰ）证明：当，即0x>0，∴ ，又，∴ ，∴ ，即．故对任意有；由有，由有；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列．（Ⅱ）由，可得，∴ ，即，令，则，又，∴数列是以为首项，以为公比的等差数列，∴ ，于是．【题后反思】本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．2. 由巧法向通法转换巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．例2、已知，求的取值范围．【解析】由，得，∴ ，∴，从而得．【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一�D�D消元法上来，则解法通俗、思路清晰．3. 常量转化为变量转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．例3、设，求证：．【解析】令，则有，若，则成立；若，则，∴方程有两个相等的实数根，即，由韦达定理，，即，又，∴ ，∴ ，∴ ．【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．4. 主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．例4、对于满足的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围．【解析】把转化为，则成为关于p的一次不等式，则，得，由一次不等式的性质有：，当时，，∴ ；当时，，∴ ，综上可得：．【题后反思】视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决．5. 正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”例5、若椭圆与连接A（1，2）、B（3，4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围．【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为，，则方程组，消去y得：，即，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为．【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．6. 数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．例6、已知是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，解不等式．【解析】由在上为增函数，且是定义域上的奇函数，∴ 在上也是增函数．∵ ，∴ ，∴ 或，由函数的单调性知：或，∴原不等式的解集为：【题后反思】由已知，是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，由，则可得的大致图像如下图，可知7．自变量与函数值的转化函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．例7、设是定义在上的增函数，且对于定义域内任意x、y，都有，求使不等式成立的x的取值范围．【解析】∵ 的定义域是，∴ ，即，由于，得，由，得，∴由题设条件得：，∵ 是定义在上的增函数，∴ ，解之得：，又，∴适合题意的x的取值范围为[3，4]．【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将，根据等价转化为；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围．8. 类比归纳类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．例8、如下图所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零．）（Ⅰ）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为在D上有上界，请你类比函数有下界① ②的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在上是否有上界，并说明理由．【解析】∵ ，由，得，∵ ，∴x=2,∵当0当x>2时，，∴函数在（2，）上是增函数；∴x=2是函数在区间（0，）上的最小值点，，于是，对任意，都有，即在区间（0，）是存在常数A=32，使得对任意，都有成立，所以，函数在上有下界．（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常B，都有成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界．设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意，都有，∴ ，∵函数为奇函数，∴ ，∴ ，即，即存在常数B=-32，对任意，都有，所以，函数在上有上界．【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．【模拟演练】（1）已知函数（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）若对于恒成立，求实数m的取值范围．（2）设函数，曲线通过点（0，2a+3）且在点（-1，）处的切线垂直于x轴．用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间．（3）在直角坐标系xOy中，点P到两点（），（）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A、B两点，（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有．（4）已知函数，，，（Ⅰ）将函数化简成的形式；（Ⅱ）求函数的值域．（5）已知曲线C1：所围成的封闭图形的面积为，曲线C1的内切圆半径为，记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，是线段AB的垂直平分线，M是上异于椭圆中心的点，①若（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是与椭圆C2的交点，求面积的最小值．（6）已知元素为实数的集合S满足下列条件：① ；②若，则．若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．（7）已知椭圆的右准线与x轴相交于点P，右焦点F到上顶点的距离为，点C(m,0)是线段OF上的一个动点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线，其与椭圆交于A、B两点，且使得？亲说明理由．（8）设函数，函数，，其中a为常数且，令函数为函数和的积函数．（Ⅰ）求函数的表达式，并求其定义域；（Ⅱ）当时，求函数的值域；（Ⅲ）是否存在自然数a，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合，若不存在，试说明理由．（9）已知函数，当点在的图像上移动时，点在孙函数的图像上移动．（Ⅰ）若点P坐标为（1，-1），点Q也在的图像上，求t的值；（Ⅱ）求函数的解析式；（Ⅲ）当时，试探索一个函数，使得在限定域内为时有最小值而没有最大值．（10）矩形钢板的边长分别为，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论．答案：1．（1）；（2）2．（1）c=2a+3，b=2a；（2）的单调减区间为，单调增区间为（-2，2）；3．（1），（2），（3）略；4．（1），（2）的值域为；5．（1），（2）① ，② ．6. S的元素的个数为3的倍数；7. （Ⅰ）；（Ⅱ）当时，，即存在这样的直线；当时，k不存在，即不存在这样的直线．8，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），且．9. （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，有最小值0，但没有最大值． 10．如下图：易证：，即最大，最小．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
关于2023届高考数学二轮复习备考思考与建议
2022. 12. 4教师端线上形式1.假借平台拓展服务空间金太阳组织创建的平台，分享一些教学思考，提醒“抬头望路”2.节点差异提早预设布局时间点觉得确实有偏早，一轮复习尚未完成，预设“二轮布局”3.个人观点仅供择同选用认同点选择使用并落实，不认同点可以商榷，碰撞“思维火花”1.考什么与怎么考（命题）没有考试大纲？没有考试说明？如何研判最有可能的考向？2.备什么与怎么考（应考）需要丰富哪些应考储备？3.如何备与怎么学（教与学）——教学评价的参考教师的影响度学生的参与度内容的适标度媒介的适切度教学的规范度目标的达成度——“备、教、学、评”一体化【教师指导学生学习知能素养考试评价】要点二轮复习的目标与复习教学的遵循（1）备考的本质 考试培训！（2）培训的目的 学会考试的内容、学会考试的方法？会解答象近年高考那样的题目？解得好、解得快？会解答与近年高考不一样的题目？（宝典中没有的——突破应试题海的模式化） 提高有效解决问题（曾经的实测试题）的能力与效率；形成促进。
丰富内在储备+提升展示技能。
●培训的内容与方法 命题规律 考过试题“变式”考、“创新”考！实现旧题的“变式”和“创新”。
模拟训练+专题复习？（危险的外在表现形式！）夯实学科基础——针对中等及偏下水平稳固知识结构—— 强筋状腱强化关键重点——必考常考内容为重点补缺补漏扫盲——盲区规避优化应试策略——非智力因素、得全该得基本分、争取超常发挥分学校（班级、学科）的指标任务：平均成绩——整体水平的提升上线人数——改变发展的方向亮点培育——迎合各方的需求（强化分层意识）学生的目标：总分的提升目标（效益） 学科的分数位置（特长）旧四化：试题问题化、问题模型化、解模规律化、解题技能化立足通性通法、理顺逻辑顺序、清晰表达过程。
4. 复习教学的遵循二、研判卷题格局，把握基本考向《中国高考报告》、《高考试题分析》、高考评价报告落实评价体系的学科化突出学科素养的导向性突出学科特点的思维性体现本质考查的灵活性探索命题创新的积极性体现五育并举的全面性保持整体设计的稳定性当前评价量尺打造的顶层设计立德树人指导教学服 务 选 拔考试内容考试方法——挖掘命题改革信息、体会考试说明功能试题浏览：特别关注：2.分板块的命题改革方向把握非主干板块内容：集合——传统的语言定位与交汇方式、可能的集合思想及图形语言平面向量——工具地位的体现与交汇应用的自觉、图形方法的强化不等式——内容的改变与函数的交汇，着重考查不等式的运算性质、—元二次不等式、基本不等式（显性考查与隐性考查结合，交汇考查，应独立板块）常用逻辑用语——充分性必要性的强化推理与证明——考查方式的正确理解复数——趋势的变化、教学新定位计数原理——基本模型二项式定理——热点内容三视图——隐性考查处理、不考后如何保持直观想象素养的考查地位对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变换的要求有所下降，更多强调对公式的灵活运用．试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图像特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识；（5）关注结构不良试题设计。
高考数学二轮复习的策略与方法
第三章 二轮复习建议----从计划制定上说建议
4.落实——课比天大，重在落实
(1) 以教师为主导；以学生为主体；以提升能力（素养）为核心。 教师的主导作用体现在以下三个层面：一是指导学生学什么、怎么学；
二是当学生的思维受阻时，教师要适时有效地进行点拨和引导；三是帮助学 生进行必要的归纳和总结。
(2) 教师要精讲 讲规律、讲方法、讲思路；讲易错点、讲易混点、讲易忘点（生长点） 讲教师认为的重点知识和典型问题，学生存在的共性问题。 少讲学生会的或经过自主学习和思考探究能够会的；讲不透或讲了依 然不会的。
高考单选的前7题，多选的前两题运算量较小、难度较低，学生是比较容易 拿分的。（不排除个别年份题目的难易程度会调整）这就需要第二轮复习要在准 确率上下功夫，定时定量训练。 基础薄弱的学生这部分题绝对是得分的关键点， 要重点练习，当成重中之重。
选择题作为高考一种特殊题型的存在，它对学生是非常友善的。因为我们不 需要说明为什么，只要把答案选出来即可。由此，有部分选择题就出现了许多特 殊解法，如：代选项、特值法、排除法、数形结合等。
思考:小题如何做，快速突破，写出答案；大题如何做，规范严谨，不失步骤分。
小题解法1 由通项可以看出这是等差数列，由此可 以求出前两项，求出公差，自然通项就出来了。
s1 a1 3, s2 a1 a2 8, a2 s2 s1 5
d 5 3 2, an 3 (n 1) 2 2n 1
二轮复习建议----从试题形式上说建议
第四章
近几年，高考数学试题稳中有变，变中求新。其特点是：稳以基础为主体， 变以选拔为导向，能力寓“灵活”之中。二轮复习安排要做到：
1．选择题要加强速度和正确率的强化训练 。
选择题是试卷中三大题型之一。从它在全卷的作用和地位上看，能否在选择 题上获高分，直接影响每位考生的情绪和全卷的成绩。选择题的特点是：概念性 强、充满思辨性、解法多样、题量大，分值高。这部分保证得分是关键。
高三数学总复习教案
高三数学总复习教案【篇一：高三数学第二轮复习教案设计】高三数学第二轮复习专题教案设计《数列》（约2课时）一．复习目标1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和； 3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二．基础再现1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证an?an?1(an/an?1)为同一常数。
(2)通项公式法：①若an= a1+（n－1）d= ak+（n－k）d ，则{an}为等差数列；②若an=a1qn?1?akqn?k ，则{an}为等比数列。
2(3)中项公式法：验证2an?1?an?an?2,(an?1?anan?2),n∈n* 都成立。
3．在等差数列?an?中,有关sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1 0,d0时，满足?(2)当a1 0,d0时，满足?am0am10am0am10的项数m使得sm取最大值. 的项数m使得sm取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法（累积、累加）、错位相减法、倒序相加法等。
三．方法整理1．证明数列?an?是等差或等比数列常用定义，即通过证明an?1?an?an?an?1 或an?1ananan?1而得。
2021新高考数学二轮总复习学案：第4讲从审题中寻找解题思路含解析
第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息，挖掘隐含信息,提炼关键信息•条件是题目的“泉眼二为考核学生 的观察、理解、分析.推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式，精简试题从条件 到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系，隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科 学地审题是同学们最需耍掌握的基本技能.事实上，审题能力的培养并未引起应有的重视, 很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练，把数学学习等同于解题训练，一味 地机械模仿导致应变能力不强，遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入课区. 审题与解题的关系 审题和解题是解答数学试题的重耍两步，其中，审题是解题的前提，详细全面地审题为顺利 解题扫除大部分障碍，正确把握数学试题中的己知条件和所求，从题目关键词语中挖掘隐 含条件、启发解题思路，最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与 解题质量的必需条件•解题作为审题活动的升华，是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息，需耍我们去做什么，从题 目本身获取“如何解这道题"的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多 信息.试题的条件和结论是两个信息源，为了从中获取尽可能多的信息，我们要字斟句酌地 分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系，常常还要辅以图形或记号，以求手段 与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等儿 方面. 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响，看似相同，就按过去同类型题目进行求解，要审 出同还是不同，不能似是而非.【例1] （1）（2019 r 东广州二模，文12）若函数.心）二-"（”+祇+历的图象关于直线2-1对 称，则・心）的最大值是（） A. -2 C.0（2）（2019河北衡水高三联考，理 ⑵如图，在ZkABC 中,ZABC 二90° AB 二匹BC=\、P 为△ABC 内一点，ZBPC=90° ・若J!lj tan ZPBA=( )£3 V3 £3 A.2 B.-2 C.4D.-4（1）|审题指导一|从題目条件中只能看到图象关于直线*-1对称，但从已知中找不到与函数 ./U ）的零点的关系，所以应注意到方程血•）二0隐含有重根0.根据对称性，发现重根-2,确定函 数/U ）的解析式，从而求出最大值.审题指导二|根据对称性可知八-2）二人0）,且2-1是函数7U ）的极值点，得到/（-1）二0.联立得 到关于a,b 的方程组，从而求出几0的解析式，从而求出最大值.B.-1 D.1吏蹩鱼吕对于函数对称性问题，可以运用特殊值法•若函数/U)关于*d对称剧满足.心ja)=y(a・x);芋函数./U)关于(d,b)对称，则满足J{x+a)+f{a-x)=2l)・⑵审题指导T利用RtAABC和RtABPC的边角关系，求得ZPCB二ZABP二8,进而推出PC 二cos&同理根据ZPCB十ZPCA= ZACB= ZPCA+ APAC,推出ZPAC=0y将已知条件转化为已知两边及其对氛解△/!"?,由正弦定理及同角三角函数关系，求得tanZPBA.审题指导二|借助平面几何知识，过A点作BP延长线的垂线，构造RtAADB,利用RtA/ABC 和RtABPC 的边角关系，求得ZPCB二ZABP二&解Rt^ADB. Rt^BPC. RtA/WPJk出AD. BD、PD、BP之间的关系,并用与&有关的正、余弦表示出来，利用BD二BP+PD建立等量关系求解tanZPBA・二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显，审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工，只有这样，方可避免因忽视隐含条件而出现错课•要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息，关注问题中易丁•疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异，要清晰定理成立、公式存在的前提.l依必+刁Io i【例2] (1)已知函数•心)二、47+1的图象在L刃上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数Q的取值范围为()3ai 5n V s T.(2)(2020 浙江考前模拟,10)若对圆(x-l)2+(y.l)2=l 上任意一点P(xj),l3x-4y+dl+l3”4y・9l 的取值与xj无关,则实数“的取值范围是()A・(-oc,4]C・(-8,4] U [6,+oc) D・[6,+oo)<.壘愛嘶a象小社”是揩弓.：2材£ %+耳设，函数上的对称轴为匸]匸2 ,…,对称中心为(兀0),(2儿0),…几¥)的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，隐含着z" 知机W咗二但厶咗知(2)|审题指导一|看到I3x-4y+«l+l3x-4y-9l联想点到直线的距离公式，能审出其表示的是点、P(x,.y)到两条平行直线3x-4y+a=0和3J-4V-9=0的距离之和；审题指导二|由距离之和与XJ无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧，从而圆心(1,1)到每条直线的距离都大于或等于半径1,由此得到a的取值范围是或dW-4;审题指导三|由直线3A-4V-9二0的表达式，能审出该直线在圆的下方，所以另一直线必须在圆的上方，从而舍去aW-4.三、审条件中的结构特征审题指导根据题目所给的甲.乙两企业污水排放量W与时间/的函数关系图象,能审出砂㈣两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的強弱是用-"4来表示的,所以.此的几何意狡是解题的关键所在，若能审出.此表示区间端点连线斜率的负数，问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一•此类问题关注现实生活，试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，也往往暗示着解决问题的目标和方向，要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识來分析、解决•在审题时，耍认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系，为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理7 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下而柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数』表示1台机器在购买易损零件上所需的费用弹位:元)，"表示购机的同时购买的易损零件数.⑴若川二19,求y与x的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大丁- F的频率不小于0.5,求”的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？审题指导|把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大.⑴当"二19时，探求y与x的函数解析式，由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同，需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较，自然应用分类讨论思想对xW 19与x> 19,分别探求y与x的函数解析式；(2)本題的统计图表不是鬲频考查的频率分布直方图，而是统计图表中的柱状图；(3)许多考生没有读懂题意，本问是判斷购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件，而判断的决罠依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，为此需计算两种方案时的平均数•每一种方案，在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标，解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的. 审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，可以从结论中捕捉解题信息，确定解题方向•有些问题的结论看似不明确或不利丁•解决，我们可以转换角度，达到解决问题的目的.1【例6】（2020山东济南三模,16）己知函数y（x）=21n x^（x）=ax2-x^（a>0）.若直线y=lx-b与函数二g⑴的图象均相切，则a的值为 _________________ ;若总存在直线与函数y=7U）j=g（x）的图象均相切，则a的取值范围是_______ .审题指导T将条件两函数几丫）与g（Q的图象都与直线相切，转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率，从而得到方程组，解出参数d的值.审题指导三|将条件总存在直线与函数y=M，y=fi（x）的图象均相切，首先转换成函数fix）的图象的切线与函数g⑴的图象相切，其次再转换成由・心）的图象的切线方程与函数g（x）的解析式组成的方程有两相等实根，然后将有两相等实根转换成判别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的•弄清问题不仅要弄清条件，弄清结论，还耍弄清条件与所求结论的相互联系，以求手段与目标的统一.【借IJ 7】（2020 山东济南6 月模扌以,8）在AABC 中,COS A+COS B二二2。
高考数学二轮复习教案
高考数学二轮复习教案教案标题：高考数学二轮复习教案教案概述：本教案旨在为高考数学二轮复习提供指导和建议。
通过分析高考数学考试的题型和考点，结合学生的学习情况，制定相应的复习计划和教学策略，以提高学生的学习效果和应试水平。
教学目标：1. 熟悉高考数学考试的题型和考点；2. 掌握数学知识的基本概念、定理和公式；3. 提高解题能力和思维逻辑能力；4. 提高应试技巧和答题效率。
教学内容：1. 高考数学考试的题型和考点；2. 数学知识的基本概念、定理和公式；3. 解题技巧和答题方法；4. 典型题目的讲解和练习。
教学步骤：第一步：梳理考纲和教材1. 分析高考数学考试的题型和考点，明确复习重点；2. 对教材进行全面复习，整理知识点和公式。
第二步：制定复习计划1. 根据考试时间和学生的学习情况，制定合理的复习计划；2. 将复习内容分成不同的模块，按照一定的顺序进行复习。
第三步：教学设计和授课1. 根据每个模块的复习内容，设计相应的教学活动和讲解方法；2. 针对每个考点，提供相关的解题技巧和答题方法；3. 结合典型题目，进行讲解和练习。
第四步：巩固和拓展1. 定期进行知识点的巩固训练，加深学生对知识的理解和掌握；2. 引导学生进行拓展学习，提高解题能力和思维逻辑能力。
第五步：模拟考试和评估1. 定期进行模拟考试，以检验学生的学习效果和应试水平；2. 根据学生的表现和反馈，及时调整教学进度和方法。
教学资源：1. 高中数学教材和辅导书籍；2. 高考数学真题和模拟试卷；3. 网络教学资源和题库。
教学评估：1. 观察学生的学习态度和参与度；2. 检查学生的作业完成情况；3. 定期进行小测验和模拟考试；4. 根据学生的学习表现和考试成绩，进行个体化指导和反馈。
教学反思：1. 定期总结和评估教学效果；2. 分析学生的学习情况和问题，及时调整教学策略；3. 不断改进教学方法和教学资源，提高教学质量。
高考数学二轮复习整体思路及计划
高考数学二轮复习整体思路及计划来源：高分网三轮复习时间：13年5月至高考，要求：实战演练，全面模拟，查漏补缺，回扣基础。
复习模式：专题复习与综合训练、基础回扣融合。
专题复习为主，综合训练为辅，归纳总结规律方法。
（一）认真学习《考试大纲》，《考试说明》，明确其功能定位《考试大纲》既是命题的依据，也是考生复习的依据。
2013年《考试说明》的内容所涉及的考点与能力要求要熟练掌握。
适当关注新旧考纲的比较研究，比较新旧考纲（考试说明）对同一知识点的考查要求的变化，从而决定我们对这一知识点复习挖掘的程度。
要将2012年课标卷高考题与2013年的考试说明进行比较，主要是对考试说明要求的题型、题量与2013课标卷加以核对，估计2013年高考试题的难度；对考试说明中对于能力要求和知识点的表述、对试题规定的难度的要求要与课标卷加以核对，估计2013年高考试题的变化；对试题中出现的热点、难点问题在考试说明中寻找依据，估计2011年高考的新动向。
（二）认真反思常规教学的效率，注意几个值得思考的问题：（1）我们是否准确把握考试大纲、教材及它们之间的关系？（2）课堂教学效率如何？能否进一步提高课堂教学效率？（3）我们平时的考试是否过于频繁？怎样提高考试、讲评、纠错的效率？（4）我们是否依据某些教辅资料，盲目扩大知识的广度和深度？（5）我们是否了解学生对各考点的掌握程度？（6）我们是否准确把握了“考什么、怎样考”？（7）我们能否通过科学严格的教学和管理办法，避免题海战术、超强度的机械训练和重复练习，使高三复习成为一种循序渐进的能力培养过程？（三）高考备考三轮复习法一轮复习：时间：12年9月至11年3月中旬，要求：全面、系统，扎实、灵活；二轮复习：时间：13年3月中旬至4月底，要求：巩固、完善，综合、提高；三轮复习：时间：13年5月至高考，要求：实战演练，全面模拟，查漏补缺，回扣基础。
（四）二轮复习整体思路⑴指导思想：巩固、完善、综合、提高：巩固基础知识、基本能力和基本方法；完善认知结构（知识、技能、方法），查漏补缺；综合知识（增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性，即将陈述性知识转化为程序性知识，将知识转化为能力），提高思维能力、概括能力和分析解决问题的能力，提高应试水平，提升学科能力。
二轮复习 高考解题的数学思想 教案
函数中的数学思想 【举一反三系列】【考查角度1 分类讨论思想】【例1】（2019秋•小店区校级期中）已知定义在R 上的奇函数f （x ）），当x ＞0时，f （x ））＝2x +3．（1）求f （x ））的解析式；（2）若f （a ）＜7，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）根据f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +3．即可求解x ＜0的解析，可得结论；（2）根据f （x ））的解析式，分类求解实数a 的取值范围．【答案】解：（1）由题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （0）＝0． 当x ＞0时，f （x ）＝2x +3．那么：当x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）＝﹣2x +3．即﹣f （x ）＝﹣2x +3．∴f （x ）＝2x ﹣3故f （x ））的解析式为：{2x +3，x ＞00，x =02x −3，x ＜0；（2）由f （a ）＜7，当a ＞0时，可得2a +3＜7，∴0＜a ＜2．当a ＝0时，可得0＜7成立．当a ＜0时，可得2a ﹣3＜7，∴a ＜0．综上可得实数a 的取值范围是（﹣∞，2）【点睛】本题考查了函数解析式的求法，以及分段函数不等式的解法，属于基础题．【练1.1】已知函数f （x ）＝x 2+a x （x ≠0）．（1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）若f （1）＝2，试判断f （x ）在[2，+∞）上的单调性．【思路分析】（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a 进行分类讨论．（2）由f （1）＝2，确定a 的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．【答案】解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2，f （﹣x ）＝f （x ），函数是偶函数．当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x （x ≠0，常数a ∈R ），取x ＝±1，得f （﹣1）+f （1）＝2≠0； f （﹣1）﹣f （1）＝﹣2a ≠0，∴f （﹣1）≠﹣f （1），f （﹣1）≠f （1）．∴函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）若f （1）＝2，即1+a ＝2，解得a ＝1，这时f （x ）＝x 2+1x ． 任取x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12+1x 1−（x 22+1x 2） ＝（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+x 2−x 1x 1x 2＝（x 1﹣x 2）[（x 1+x 2）−1x 1x 2]，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2＞1x1x 2，所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[2，+∞）上是单调递增函数． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．【练1.2】（2019春•龙凤区校级月考）已知二次函数f （x ）的图象过点(−12，1)，(0，1)，且最小值为78． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）函数g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1（m ∈R ）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数m 的值．【思路分析】（Ⅰ）根据题意，分析f （x ）的对称轴，设f(x)=a(x +14)2+78(a ＞0)，将点（0，1）代入其解析式，解可得a 的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出g （x ）的解析式，分m ≤2与m ＞2两种情况讨论，结合函数的最小值求出m 的值，综合即可得答案．【答案】解：（Ⅰ）由题意得：二次函数f （x ）的图象过点(−12，1)，(0，1)，则f （x ）的对称轴为对称轴x =−14， 设f(x)=a(x +14)2+78(a ＞0)，又f （x ）的图象过点（0，1），代入得1=a 16+78，解得a ＝2，f(x)=2(x +14)2+78=2x 2+x +1， 故f （x ）＝2x 2+x +1；（Ⅱ）由已知g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1＝x 2﹣2mx +2，对称轴为直线x ＝m ，开口向上， 分两种情况：①当m ≤2时，函数g （x ）在区间[2，+∞）单调递增，g （x ）min ＝g （2）＝6﹣4m ＝﹣3，得到m =94，与m ＜2矛盾．②当m ＞2时，函数g （x ）在区间[2，m ）单调递减，在区间[m ，+∞）单调递增，从而g(x)min =g(m)=−m 2+2=−3，得到m =√5或m =−√5舍掉与m ＞2矛盾；综上所述：m =√5．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是求出该二次函数的解析式，属于基础题．【练1.3】（2019春•浉河区校级月考）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ．（1）求函数f （x ）（x ∈R ）的解析式；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1（x ∈[1，2]），求函数g （x ）的最小值h （a ）的表达式．【思路分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．（2）求出g （x ）的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．【答案】解：（1）∵f （x ）是偶函数，∴若x ＞0，则﹣x ＜0，则当﹣x ＜0时，f （﹣x ）＝x 2﹣2x ＝f （x ），即当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．即f （x ）={x 2+2x ，x ≤0x 2−2x ，x ＞0．（2）当x ∈[1，2]时，g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2x ﹣2ax +1＝x 2﹣（2+2a ）x +1，对称轴为x ＝1+a ，若1+a ≤1，即a ≤0时，g （x ）在[1，2]上为增函数，则g （x ）的最小值为h （a ）＝g （1）＝﹣2a ， 若1+a ≥2，即a ≥1时，g （x ）在[1，2]上为减函数，则g （x ）的最小值为h （a ）＝g （2）＝1﹣4a ， 若1＜1+a ＜2，即0＜a ＜1时，g （x ）的最小值为h （a ）＝g （1+a ）＝﹣a 2﹣2a ，即h （a ）={−2a ，a ≤0−a 2−2a ，0＜a ＜11−4a ，a ≥1．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．【考查角度2 数形结合思想】【例2】（2019•铁岭模拟）设奇函数f （x ）的定义域为[﹣5，5]，若当x ∈[0，5]时，f （x ）的图象如图，则不等式f （x ）≤0的解集为 [﹣2，0]∪[2，5] ．【思路分析】根据奇函数关于原点对称的性质即可得到结论．【答案】解：由图象可知：当x ＞0时，f （x ）≤0解得2≤x ≤5，f （x ）≥0解得0≤x ≤2；当x ＜0时，﹣x ＞0，因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）≤0，即﹣f （﹣x ）≤0⇒f （﹣x ）≥0⇒0≤﹣x ≤2，解得﹣2≤x ≤0．综上，不等式f （x ）≤0的解集为{x |﹣2≤x ≤0，或2≤x ≤5}．故答案为：[﹣2，0]∪[2，5]．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据奇函数的对称性是解决本题的关键．【练2.1】（2019秋•清流县校级期中）已知奇函数f （x ）在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集 （﹣2，﹣1）∪（1，2）． ．【思路分析】由f （x ）是奇函数得函数图象关于原点对称，由xf （x ）＜0可得x 与f （x ）符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果【答案】解：∵xf （x ）＜0①当x ＞0时，f （x ）＜0，结合函数的图象可得，1＜x ＜2，（2）x ＜0时，f （x ）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x ＜﹣1，∴不等式xf （x ）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．【练2.2】对a ，b ∈R ，记max {a ，b }={a ，a ≥bb ，a ＜b 函数f （x ）＝max {|x +1|，|x ﹣2|}（x ∈R ）的最小值是 32 ． 【思路分析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据|x +1|和|x ﹣2|的大小关系，结合新定义给出函数f （x ）的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答．【答案】解：由|x +1|≥|x ﹣2|⇒（x +1）2≥（x ﹣2）2⇒x ≥12，故f （x ）={|x +1|(x ≥12)|x −2|(x ＜12)， 其图象如右，则f min (x)=f(12)=|12+1|=32．故答案为：3．2【点睛】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．【练2.3】（2018•丰台区一模）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【思路分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．【答案】解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，偶函数的图象特征．属于基础题．【考查角度3 转化思想】【例3】（2019春•嘉兴期末）已知函数f（x）＝x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当a＝3时，利用二次不等式求解解不等式f（x）＜0即可；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，推出a的表达式，利用函数的单调性求解表达式的最大值，即可得到a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a＝3时，一元二次不等式x2+3x+2＜0的解为﹣2＜x＜﹣1（Ⅱ）当x∈[1，2]时，x2+ax+2≥0恒成立，即a≥−(x+2x )恒成立，令g(x)=−x−2x因g(x)=−(x+2x)，x∈[1，2]的最大值为−2√2故a≥−2√2．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及函数的单调性的应用，考查计算能力．【练3.1】（2019春•哈尔滨期中）已知函数f（x）＝x2+2x+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立⇔﹣a ＜x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，然后转化为最小值可得．【答案】解：（1）a ＝2时，x 2+2x +2＞1⇒x 2+2x +1＞0⇒x ≠﹣1，故不等式f （x ）＞1的解集为{x |x ≠﹣1}（2）对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立⇔﹣a ＜x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∵x ≥1，∴y ＝（x +1）﹣1为递增函数，∴x ＝1时，函数取得最小值3，∴﹣a ＜3，∴a ＞﹣3．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．【练3.2】已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）满足：当x ∈[0，2]时，f(x)=−x +2√3−x ．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝ax ﹣2﹣a （a ＞0），若对于任意的x 1，x 2∈[﹣2，2]，都有g （x 1）＜f （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）根据题意，设x ∈[﹣2，0]，则﹣x ∈[0，2]，由函数的解析式可得f （﹣x ）的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得f （x ）的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数f （x ）的最小值与g （x ）的最大值，分析可得f （x ）min ＞g （x ）max ，解即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，设x ∈[﹣2，0]，则﹣x ∈[0，2]，从而f(−x)=x +2√3+x ，因为f （x ）定义x ∈[﹣2，2]在偶函数，所以f(x)=f(−x)=x +2√3+x因此，f(x)={x +2√3+x ，x ∈[−2，0)−x +2√3−x ，x ∈[0，2]（2）因为对任意x 1，x 2∈[﹣2，2]，都有g （x 1）＜f （x 2）成立，所以g （x ）max ＜f （x ）min又因为f （x ）是定义在[﹣2，2]上的偶函数．所以f （x ）在区间[﹣2，0]和区间[0，2]上的值域相同． 当x ∈[﹣2，0]时，f(x)=x +2√3+x ．设t =√3+x ，则t ∈[1，√3]函数化为y =t 2+2t −3，t ∈[1，√3]，则f （x ）min ＝0又g （x ）max ＝g （2）＝a ﹣2所以a﹣2＜0即a＜2，因此，a的取值范围为0＜a＜2．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题．【练3.3】（2019秋•沈阳期中）已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），当x＞0时，f（x）＜0；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＞0对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【思路分析】（1）先计算f（0），再令b＝﹣a得出f（a）＝﹣f（a），结论得证；（2）判断f（x）的单调性，根据函数性质和单调性列出恒等式求出k的范围．【答案】解：（1）令a＝b＝0可得f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，令b＝﹣a得f（0）＝f（a）+f（﹣a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣a），由a的任意选可知f（x）＝﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）在R上为奇函数．（2）设x1＜x2，则f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1），∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0，∴f（x）是R上的减函数．∵f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＞0对任意的x∈R恒成立，∴f（﹣kx2+kx﹣2）＞f（0）对任意的x∈R恒成立，∴﹣kx2+kx﹣2＜0对任意的x∈R恒成立，当k＝0时显然成立，当k≠0时，得{−k＜0△=k2−8k＜0，解得0＜k＜8，综上所述k的范围为[0，8]【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性判断，函数恒成立问题，属于中档题．【趁热打铁】1．（2019春•桂林期末）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则满足不等式f（x）＞0的实数x的取值范围是（﹣2，2）．【思路分析】可以根据该函数在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，是偶函数，大体画出该函数图象的草图，结合图象可列出关于x的不等式．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，∴该函数在（﹣∞，0）上递增，且f（﹣2）＝0，∴可画出该函数的图象的草图如下：可见，当﹣2＜x＜2时，f（x）＞0．故答案为：（﹣2，2）．【点睛】抽象函数的问题常采用数形结合的方法解决问题，本题作为填空题，采用数形结合思想来解，既快捷，有准确．2．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，当﹣3＜x≤0时，f（x）的函数图象如图所示，则不等式x•f（x）≥0的解集为{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．【思路分析】结合函数的性质，函数的图象，对x≤0和x≥0进行讨论，分别求出不等式的解，最后求并集．【答案】解：当x≤0时，由不等式xf（x）≥0，可得f（x）≤0，则﹣1≤x≤0，∵函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，∴x≥0时，当0≤x≤1时，f（x）≤0，当1≤x＜3时，f（x）≥0，∴当x≥0时，由不等式xf（x）≥0，可得f（x）≥0，则1≤x＜3，∴不等式xf（x）≥0的解集为：{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．故答案为：{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查运用分类法解决不等式的能力，本题属于中档题．3．如图所示，函数y＝f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，16）．【思路分析】由已知中的函数图象可得f（4a）＝a，f（﹣4a）＝﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则{4a−(−2a)＜12a−(−4a)＜1，解不等式可得正实数a的取值范围．【答案】解：由已知可得：a＞0，且f（4a）＝a，f（﹣4a）＝﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则{4a−(−2a)＜12a−(−4a)＜1，解得a＜16，故正实数a的取值范围为：（0，16），故答案为：（0，16）【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．4．（2019春•香坊区校级期末）已知函数f（x）＝2x2﹣kx+8．（1）若函数g（x）＝f（x）+2x是偶函数，求k的值；（2）若函数y＝f（x）在[﹣1，2]上，f（x）≥2恒成立，求k的取值范围．【思路分析】（1）利用函数的奇偶性，直接求解k的值即可．（2）利用函数恒成立，转化求解函数的最小值大于等于2，求解即可．【答案】解：（1）函数f（x）＝2x2﹣kx+8．函数g（x）＝2x2﹣kx+8+2x是偶函数，可得﹣k+2＝0，解得k＝2；（2）函数y＝2x2﹣kx+8在[﹣1，2]上，f（x）≥2恒成立，函数是二次函数，对称轴为x=k4，当k4≤−1时，必有2+k+8≥2，解得k∈[﹣8，﹣4]，当k4∈（﹣1，2]时，有：k28−k24+8≥2，解得k∈（﹣4，4√3]，当k4∈（2，+∞）时，8﹣8k+8≥2，解得k≤74，无解．综上所述，k的取值范围是：[−8，4√3]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，二次函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论的思想，考查运算能力，属于中档题．5．（2019春•顺德区期末）设二次函数f（x）＝x2+mx．（Ⅰ）若对任意实数m∈[0，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（I）m的范围已知，要求x的范围，所以要把m当成自变量，把x当成参数来考虑；（II）f（x）是开口向上的二次函数，性质比较清楚，所以直接讨论对称轴的位置即可．【答案】（I）由题意，xm+x2＞0对于m∈[0，1]恒成立，令g（m）＝xm+x2．i．当x＜0时，g（m）在[0，1]上单调递减，所以只需要g（1）＝x+x2＞0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；ii．当x＝0时，g（m）＝0，所以不成立；iii．当x＞0时，g（m）在[0，1]上单调递增，所以只需要g（0）＝x2＞0，解得x≠0．综上x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．（II）二次函数f（x）开口向上，对称轴为x=−m2．i．当m＞6时，−m2＜−3，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递增．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，只需要f（﹣3）＝9﹣3m≤﹣4，解得m≥133，又m＞6，所以m＞6；ii．当﹣8≤m≤6时，﹣3≤−m2≤4，所以f（x）在区间[﹣3，4]上得最小值为f（−m2）．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，只需要f（−m2）=−m24≤−4，解得m≤﹣4或m≥4，又﹣8≤m≤6，所以m∈[﹣8，﹣4]∪[4，6]；＞4，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递减．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，iii．当m＜﹣8时，−m2只需要f（4）＝16+4m≤﹣4，解得m≤﹣5，又m＜﹣8，所以m＜﹣8．综上，m∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【点睛】（I）一般来讲，已知范围得变量要作为自变量，要求范围得变量要作为参数；（II）分参也可以完成解答，比较两种方法，选用顺手的方法即可．6．（2019春•温州期末）设函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＞0：（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（1）将m＝l，代入不等式f（x）＞0，利用一元二次不等式求解即可；（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＝x2﹣2x﹣3，f（x）＞0：即：f（x）＝x2﹣2x﹣3＞0，即：（x﹣3）（x+1）＞0，所以：此不等式的解集为：{x|x＞3或x＜﹣1}；（2）对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，当m＝0时，f（x）＝﹣3＜0，符合题意，当m≠0时，由题意：m＜0，且4m2+12m＜0，解得：﹣3＜m＜0，综上：﹣3＜m≤0；故实数m的取值范围：{m|﹣3＜m≤0}．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，一元二次不等式的解法，分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．7．（2019秋•文昌校级期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|，g（x）＝x2+2ax+1 （a为正常数），当x ＝0 时，函数f（x）＝g（x）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间．【思路分析】（1）由题意可得f （0）＝g （0），解方程可得a ；（2）讨论当 x ≥1时，当 x ＜1时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，即可得到所求增区间．【答案】解：（1）由题意，f （ 0 ）＝g （ 0 ），即|a |＝1 又 a ＞0，所以 a ＝1；（2）f （ x ）+g （ x ）＝|x ﹣1|+x 2+2x +1，当 x ≥1时，f （ x ）+g （ x ）＝x 2+3x ，它在[1，+∞）上单调递增；当 x ＜1时，f （ x ）+g （ x ）＝x 2+x +2，它在[−12，1 ） 上单调递增．则函数 f （ x ）+g （ x ） 的单调递增区间为[1，+∞）∪[−12，1 ）＝[−12，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．。
二轮复习 高考解题的数学思想 教案
数学思想渗其中，“解几”问题来体验【方法综述】大家知道，数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求.从直线与圆这部分内容看，所渗透的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想.下面举例加以说明，通过解析几何问题，体验上述思想方法的应用.【解疑释惑】（一）数形结合思想数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．例1.【数学奥林匹克高中训练题】若，则函数的最小值等于______．【答案】【解析】由配方得．左边可看作点与定点的距离的平方，约束条件表示点在直线的右上方区域．于是，问题转化为求点到区域的点之间距离的最小值，即点到直线的距离.．故由，有，即．故答案为：例2. 从点出发的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好通过点，求入射光线所在的直线方程．【答案】.点评：破解平面解析几何问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．（二）函数与方程思想1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想．例3.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：例4. 过已知点(3,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为原点)，求直线l 的方程． 【答案】【解析】设直线l 的方程为x ＋ay －3＝0(a ≠0)， 则点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0，x ＋ay －3＝0，消去y ，得x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x a 2＋x －6·3－x a ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－6a 2＋6a ＋1x ＋9a2－18a＋3＝0.所以x 1x 2＝3a 2－18a ＋9a 2＋1.①由方程组消去x ，得(3－ay )2＋y 2＋(3－ay )－6y ＋3＝0， 即(a 2＋1)y 2－(7a ＋6)y ＋15＝0. 所以y 1y 2＝15a 2＋1.② 因为OP ⊥OQ ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 由①②，得3a 2－18a ＋9a 2＋1＋15a 2＋1＝0. 整理，得a 2－6a ＋8＝0.解得a ＝2或a ＝4. 故直线l 的方程为x ＋2y －3＝0或x ＋4y －3＝0. 点评：本题由条件OP ⊥OQ ，若设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1－0x 1－0·y 2－0x 2－0＝－1.由P ，Q 在圆及直线上，借助方程，巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决． （三）分类与整合思想分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．例5. 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________. 【答案】5x －y ＝0或x ＋y －6＝0例6.(1)已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值． (2)已知直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，其中M (2，－3)，N (－3，－2)，求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）k ＝2，a ＝4，b ＝－3; （2）【解析】(1)由题意可知k AB ＝＝2，k AC ＝＝，k AD ＝＝.因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，所以k ＝2＝＝，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.(2)如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线．当l在PN位置转到l′位置时，倾斜角增大到90°，k≥k PN＝.当l在l′位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，k≤k PM ＝－4.综上所述：k∈(－∞，－4]∪.故答案为：（1）k＝2，a＝4，b＝－3;（2）（四）转化与化归思想转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．例7.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．例8. 求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的最大距离与最小距离．【答案】点评：圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径．凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题．【提升训练】一、选择题1．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为23，则m的值为( )A.1B.－3C.1或－3D.2【答案】C【解析】∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝ 5. 又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2 3.∴圆心C到直线的距离d＝r2－（3）2＝2，因此|1－0＋m|12＋（－1）2＝2，∴m＝1或m＝－3.2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.4【答案】B3．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选：B．二、填空题4．已知1≤t≤2，过两点(u,2t)，(t－2，u)的直线l的斜率为2，则直线l在y轴上的截距的取值范围为________．【答案】[，2]【解析】由题意知，则.设直线与轴的交点为，则，则，故.5. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_____【答案】6. 在平面直角坐标系中，已知点在圆C：内，直线AB过点P，且与圆C交于A，B两点，若面积的最大值为5，则实数m的取值范围为______．【答案】或【解析】点在圆C：内，，解得：面积的最大值为5，，，圆心到直线AB的距离，又，，解得或，又，或，故答案为或．三、解答题7. 【2017·全国Ⅲ卷】在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的根，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，又C的坐标为(0，1)，则由AC、BC的斜率x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况.令x＝0得y1＝1，y2＝－2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为1－(－2)＝3.所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.法二设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内.由相交弦定理可得|OD||OC|＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝2，又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值.8.【2016·江苏卷选】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；【答案】2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.9. 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．【答案】入射光线所在直线的方程为：5x－4y＋2＝0.反射光线所在直线的方程为：4x－5y＋1＝0.【解析】由题意，设点关于直线对称点为，则，解得，即，由于反射光线经过点和，则直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即，解方程组，得，即反射点，则入射光线的所在直线的斜率为,所以入射光线所在直线的方程为，即.10. 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？【答案】见解析．【解析】所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组得所以P点的坐标为．故供水站应建在点P处．。
2021数学二轮复习学案板块2应试技巧必备含解析
2021新高考数学（山东专用）二轮复习学案：板块2 应试技巧必备含解析应试技巧必备活用4招巧解“中高档”解答题高考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题，解答题既要结果又要过程，考生必须严格按照推理的方式按部就班地进行解答和表述．因此对于基础性的解答题要做到“对而全”,防止被扣“步骤分”；对于中高档题目要学会“踩点得分”，也就是我们常说的“缺步解答、跳步解答、逆向解答和退步解答"．妙招1缺步解答——化繁为简，能解多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是,将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出,但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”．结合示例:本例第（1)问是椭圆离心率的求解问题,难度较小，而第（2)问有一定难度，如果不能拿全分，可采用缺步解答，尽量多得分．首先，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,若需要设直线方程,应考虑直线的斜率是否存在，因此当直线l的斜率不存在时，求出点Q的坐标为错误!,这是每位考生都应该能做到的．其次，联错误!错误!两个焦点分别为F1(－1，0）,F2(1，0），且椭圆C经过点P错误!.（1)求椭圆C的离心率;（2)设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M,N两点，点Q是线段MN上的点，且错误!＝错误!＋错误!,求点Q的轨迹方程．［规范解答］(1)由椭圆定义知，2a＝｜PF1｜＋|PF2|＝错误!＋错误!＝2错误!，所以a＝错误!. 2分又由已知，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!. 4分(2）由(1）知，椭圆C的方程为错误!＋y2＝1。
设点Q的坐标为(x，y)，①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0,1），(0，－1)两点，此时点Q的坐标为错误!。
高三数学第二轮复习教案2024文案
高三数学第二轮复习教案2024文案课题：高三数学第二轮复习目标：1. 复习高三数学中的重要概念和知识点。
2. 强化对解题方法和技巧的掌握。
3. 提供实践机会，巩固数学思维和解题能力。
教学重点：1. 高级函数和方程。
2. 数列和数列的极限。
3. 平面向量。
4. 导数与微分。
教学难点：1. 高级函数和方程的应用。
2. 数列极限的推导和证明。
3. 平面向量的运算和几何应用。
4. 导数和微分的应用题。
教学方法：1. 讲解：通过讲解来巩固学生对知识点的理解。
2. 实例分析：通过实例分析来提高学生的解题能力。
3. 小组讨论：通过小组讨论来激发学生的思维和合作能力。
4. 解题演练：通过解题演练来巩固学生对知识点的应用。
教学过程：1. 复习高级函数和方程的知识点，讲解相关例题和解题技巧。
2. 复习数列和数列的极限的概念和性质，讲解相关例题和解题方法。
3. 复习平面向量的基本操作和几何应用，讲解相关例题和解题技巧。
4. 复习导数与微分的基本概念和运算规则，讲解相关例题和解题方法。
5. 综合练习：组织学生进行综合练习，加强对各知识点的综合应用。
课堂活动：1. 小组讨论：学生分成小组，通过讨论和合作解决一些复杂问题。
2. 解题演练：学生独立完成一些应用题，并在全班进行讲解和讨论。
3. 思维拓展：学生进行一些拓展思维题的思考和讨论。
教学资源：1. 教学课件：包括教学内容、例题和解题步骤的展示。
2. 练习册：提供各类练习题，供学生进行练习和巩固。
评估方式：1. 平时表现：包括参与讨论、解题能力和思维拓展等方面的评估。
2. 作业完成情况：通过检查和订正作业，评估学生对知识点的掌握情况。
3. 期末考试：以期末考试成绩作为对学生整个学期学习成果的评价。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4讲从审题中寻找解题思路审题亦即提取有效信息,挖掘隐含信息,提炼关键信息.条件是题目的“泉眼”.为考核学生的观察、理解、分析、推理等能力,高考试题往往变换概念的表述形式,精简试题从条件到结论的中间环节,透析试题的条件之间的联系,隐去问题涉及的数学思想及背景.如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能.事实上,审题能力的培养并未引起应有的重视,很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练,把数学学习等同于解题训练,一味地机械模仿导致应变能力不强,遇到陌生的问题往往束手无策,致使解题失误或陷入误区.审题与解题的关系审题和解题是解答数学试题的重要两步,其中,审题是解题的前提,详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍,正确把握数学试题中的已知条件和所求,从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路,最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件.解题作为审题活动的升华,是全面解答数学试题的核心.怎样算是审清题意怎样才算审清题意了呢?主要是弄清题目已经告诉了什么信息,需要我们去做什么,从题目本身获取“如何解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.试题的条件和结论是两个信息源,为了从中获取尽可能多的信息,我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系,常常还要辅以图形或记号,以求手段与目标的统一.审题典例示范一、审清条件信息审视条件一般包括“挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据”等几方面.审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响,看似相同,就按过去同类型题目进行求解,要审出同还是不同,不能似是而非.【例1】(1)(2019广东广州二模,文12)若函数f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的最大值是()A.-2B.-1C.0D.1(2)(2019河北衡水高三联考,理12)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.若∠APB=150°,则tan ∠PBA=()A.√32B.-√32C.√34D.-√34x=-1对称,但从已知中找不到与函数f(,所以应注意到方程f(x)=0隐含有重根0,根据对称性,发现重根-2,确定函数f(x)的解析式,从而求出最大值.f(-2)=f(0),且x=-1是函数f(x)的极值点,得到f'(-1)=0,联立得,从而求出f(x)的解析式,从而求出最大值.,可以运用特殊值法.若函数f(x)关于x=a对称,则满足若函数f(x)关于(a,b)对称,则满足f(x+a)+f(a-x)=2b.Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,进而推出∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,推出∠PAC=θ,将已知条件转化为已知两边及其对角,解△APC ,由正弦定理及同角三角函数关系,求得tan ∠PBA.,过A 点作BP 延长线的垂线,构造Rt △ADB ,利用Rt △ABC 和Rt △BPC 的边角关系,求得∠PCB=∠ABP=θ,解Rt △ADB 、Rt △BPC 、Rt △ADP ,找出AD 、BD 、PD 、BP 之间的关系,并用与θ有关的正、余弦表示出来,利用BD=BP+PD 建立等量关系求解tan ∠PBA.二、审条件中的隐含有的数学试题条件并不明显,审题时要注意挖掘隐含条件和信息,对条件进行再认识、再加工,只有这样,方可避免因忽视隐含条件而出现错误.要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息,关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形、相近概念之间的差异,要清晰定理成立、公式存在的前提.【例2】(1)已知函数f (x )=√2sin (2ωx +π4)+1的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为( )A.[3π8,5π8)B.(3π8,5π8]C.[3π4,5π4)D.[3π4,5π4] (2)(2020浙江考前模拟,10)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P (x ,y ),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x ,y 无关,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4]B.[-4,6]C.(-∞,4]∪[6,+∞)D.[6,+∞)f (x )的图象在[0,12]上”是指x ∈[0,12],∴2ωx+π4∈[π4,ω+π4],设t=2ωx+π4,函数y=sin t 在[π4,ω+π4]上的对称轴为t=π2,t=3π2,…,对称中心为(π,0),(2π,0),…,f (x )的图象在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,隐含着π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],但3π2∉[π4,ω+π4].|3x-4y+a|+|3x-4y-9|联想点到直线的距离公式,能审出其表示的是点3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和;x ,y 无关,能审出隐含条件两条平行直线在圆的两侧,从而圆心1,由此得到a 的取值范围是a ≥6或a ≤-4;3x-4y-9=0的表达式,能审出该直线在圆的下方,所以另一直线必须在圆的上方,从而舍去a ≤-4.三、审条件中的结构特征高考数学试题中的已知条件,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中,往往隐含着某种特殊关系,我们不仅要认真审视数式的浅层结构特征,还要对数式结构进行深入的分析、加工、转化,努力弄清其深层结构特征,在这个逐步清晰的过程中,力争寻找到突破问题的方案.【例3】在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=5,△ABC 的面积S △ABC =25√34,且b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,则sin B+sin C=( )A.3B.9√32C.√3D.3√33个.由a=5和S△ABC=25√34得不出结果,所以突破口为b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,该条件是关于三边两角的关系式,等式左边的结构与余弦定理的变式2bc cos A相等,代换后进行化简得结论A=π3,此为解法一;观察该等式的右边,为减少变量进行角边的转换,利用边表示角,得第二种解法.四、审图形特点寻简捷在一些高考数学试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,最好画一个图,并在图中标出必要的条件和数据,画图的过程是一个熟悉问题的过程,是一个对已知条件进行再认识的过程.不仅如此,还要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问题.【例4】(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.W与时间t的函数关系图象,能审出两函数图象在不同的时间段的变化特征,但企业污水治理能力的强弱是用-f(b)-f(a)b-a来表示的,所以-f(b)-f(a)b-a 的几何意义是解题的关键所在,若能审出-f(b)-f(a)b-a表示区间端点连线斜率的负数,问题迎刃而解.五、审图表数据找关联数据分析是数学学科核心素养之一.此类问题关注现实生活,试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系,也往往暗示着解决问题的目标和方向,要求考生发现生活中的问题,学着运用课堂上学到的知识来分析、解决.在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,找到其中的内在联系,为解决问题提供有效的途径.【例5】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购19个还是20个易损零件?,有综合性但难度不大.时,探求y与x的函数解析式,由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同,需对1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数x与购机的同时购买的易损零件数n=19加以比较,自然应用分类讨论思想对x≤19与x>19,分别探求y与x的函数解析式;(2)本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图,而是统计图表中的柱状图;(3)许多考生没有读懂题意,本问是判断购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件,而判断的决策依据是:这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,为此需计算两种方案时的平均数.每一种方案,在求解其平均数时自然需要借助于柱状图.六、审结论善转换结论是解题的最终目标,解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,可以从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.有些问题的结论看似不明确或不利于解决,我们可以转换角度,达到解决问题的目的.(a>0).若直线y=2x-b与【例6】(2020山东济南三模,16)已知函数f(x)=2ln x,g(x)=ax2-x-12函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则a的值为;若总存在直线与函数的图象均相切,则a的取值范围是.f(x)与g(x)的图象都与直线相切,转换成两个函数的导数都等于该直线的斜率,从而得到方程组,解出参数a的值.y=f(x),y=g(x)的图象均相切,首先转换成函数f(x)的g(x)的图象相切,其次再转换成由f(x)的图象的切线方程与函数g(x)的解析式组成的方程有两相等实根,然后将有两相等实根转换成判别式等于0,从而得出关于参数a的表达式,最后转换成求a的最小值.七、审已知与结论建联系高考试题的条件和结论是两个信息源,其条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.弄清问题不仅要弄清条件,弄清结论,还要弄清条件与所求结论的相互联系,以求手段与目标的统一.【例7】(2020山东济南6月模拟,8)在△ABC中,cos A+cos B=√3,AB=2√3.当sin A+sin B 取最大值时,△ABC内切圆的半径为()A.2√3-3B.2√2-2C.13sin A+sin B取最大值时,△ABC内切圆的半径,首先要求出sin A+sin B取最大.cos A+cos B=√3是解决问题的突破口,条件是两角的余弦,要求的最大值是两角的正弦,同角三角函数的平方公式能够将条件和要求的结论联系起来,从而找到解决问题的思路.审题策略归纳1.试题的条件和结论是解题的两个信息源,题目的条件对于得出结论是充分的,解题的钥匙就放在题目的条件里,其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们,所以,审题要逐字逐句看清楚,力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意.只有细致审题才能挖掘出来,避免发生会而不对、对而不全的现象.欲速则不达,审题不要怕慢!当然这有待于平时的审题训练.2.审题决定成败.审题是解题的一个重要步骤,通过审题收集信息、加工信息,熟悉题目并深入到题目内部去思考、去分析,我们就会找到问题解决的突破口.第4讲从审题中寻找解题思路审题典例示范【例1】(1)C(2)C解析(1)(方法一)∵f(x)=-x2(x2+ax+b)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)=0有重根0,所以x2+ax+b=0有重根-2,∴f(x)=-x2(x+2)2=-(x2+2x)2.所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法二)由对称性可知f(-2)=f(0),得2a=b+4, ①由f(x)关于x=-1对称,可知f'(-1)=0,得3a=2b+4, ②联立①②解得a=b=4,得f(x)=-x2(x+2)2,可知f(x)≤0,所以当x=0时,f(x)的最大值是0.(方法三)因为f (x )=-x 2(x 2+ax+b )的图象关于直线x=-1对称,则满足f (x-1)=f (-1-x ).运用特殊值法.取x=1,x=2,代入上式,则{f (0)=f (-2),f (1)=f (-3),{4-2a +b =0,7a -2b -20=0,解得{a =4,b =4.当a=b=4时,f (x )=f (-2-x )恒成立,即a=b=4满足题意.即f (x )=-x 2(x+2)2.当x=0时,f (x )取最大值0,故选C .(2)(方法一)设∠ABP=θ,则∠PCB=θ,∴PC=cos θ.在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,∴AC=2,∠ACB=π3.在△PAC 中,∠APC=120°,∠PCB+∠PCA=∠ACB=∠PCA+∠PAC ,∴∠PAC=θ.由正弦定理,得AC sin∠APC =PC sin∠PAC ,即2sin120°=cosθsinθ,tan θ=sin120°2=√34.(方法二)借助平面几何知识,寻找到线段长度关系.延长BP ,过A 点作BP 延长线的垂线,垂足为D.记∠PBA=θ,由∠ABC=∠BPC=90°,得∠PCB=θ.Rt △ADB 中,AD=√3sin θ,BD=√3cos θ.Rt △BPC 中,BP=sin θ.又∠APB=150°,得∠APD=30°,Rt △ADP中,PD=AD tan30°=3sin θ,由BD=BP+PD ,得√3cos θ=sin θ+3sin θ,所以tan θ=√34,即tan ∠PBA=√34.【例2】(1)C (2)D 解析(1)由题意,x ∈[0,12],2ωx+π4∈[π4,ω+π4],在[0,12]上恰有一条对称轴和一个对称中心,∴π2∈[π4,ω+π4],π∈[π4,ω+π4],3π2∉[π4,ω+π4],∴{ω+π4≥π2,ω+π≥π,ω+π4<3π2,即π≤ω+π4<3π2,即3π4≤f <5π4.故选C . (2)依题意|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=|3x -4y+a |5+|3x -4y -9|5, 表示P (x ,y )到两条平行直线3x-4y+a=0和3x-4y-9=0的距离之和,由距离之和与圆上任意一点的坐标x ,y 无关,故两条平行直线在圆的两侧,又直线3x-4y-9=0在圆的下方,所以直线3x-4y+a=0应该在圆的上方,故圆心(1,1)到直线3x-4y+a=0的距离d=|3-4+a |5≥1,解得a ≥6或a ≤-4(舍去),故选D . 【例3】C 解析(方法一)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c2cos A ,∴cos A=accosC+c 2cosA 2bc =acosC+ccosA 2b . ∴cos A=sinAcosC+cosAsinC 2sinB =sin (A+C )2sinB =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,∴b+c=10.∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.(方法二)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴b 2+c 2-a2=ac ·a 2+b 2-c 22ab +c 2·b 2+c 2-a 22bc =c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b=2b 2c 2b =bc.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12,又A ∈(0,π),∴A=π3.∵S △ABC =12bc sin A=25√34, ∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50.则(b+c )2=100,∴b+c=10,∴b=c=5.∴△ABC 为等边三角形.∴sin B+sin C=√3.【例4】①②③ 解析-f (b )-f (a )b -a表示区间端点连线斜率的负数,在[t 1,t 2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;在t 2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确;甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,甲企业在[t 1,t 2]这段时间内斜率最小,则其相反数最大,即在[t 1,t 2]的污水治理能力最强,④错误.故正确的结论为①②③.【例5】解(1)当x ≤19时,y=3800;当x>19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y 与x 的函数解析式为y={3800,x ≤19,500x -5700,x >19(x ∈N ). (2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000元.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050元.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【例6】23 [32,+∞) 解析由题意,f'(x )=2x ,g'(x )=2ax-1,因直线y=2x-b 与函数y=f (x ),y=g (x )的图象均相切,所以{2x =2,2ax -1=2,解得x=1,a=32;设直线l 与y=f (x )的图象相切于点P 1(x 1,y 1),x 1>0,则切线方程为y-2ln x 1=2x 1(x-x 1),代入g (x )=ax 2-x-12(a>0),得2x 1x-2+2ln x 1=ax 2-x-12,即ax 2-(1+2x 1)x+(32-2lnx 1)=0,所以Δ=(1+2x 1)2-4a ×(32-2lnx 1)=0, 所以a=(x 1+2)22x 12(3-4lnx 1)(x 1>0). 令y=(x 1+2)212(3-4lnx 1)(x 1>0), 则y'=2(x 1+2)(4lnx 1+x 1-1)x 1(3-4lnx 1)2,所以y'=0,解得x 1=1. 当x 1>1时,y'>0,y 单调递增,当0<x 1<1时,y'<0,y 单调递减,因此y ≥(1+2)22×12(3-4ln1)=32,即a ≥32. 【例7】A 解析令t=sin A+sin B ,t>0,cos A+cos B=√3,平方相加得t 2+3=2+2cos A cos B+2sin A sin B ,得t 2=2cos(A-B )-1,显然,当A=B 时,t 有最大值,t max =1,则cos A=cos B=√32.又A ,B ∈(0,π),得A=B=π6,则C=2π3,设D 为AB 的中点,如图所示,则CD=1,AC=BC=2,设内切圆的半径为r ,则S △ABC =12×2√3×1=12(2+2+2√3)r ,解得r=2√3-3.故选A .。